Теория определителей и натуральные числа

Автор: Боднарь Дмитрий, учени 6 «Б» класса
Научный руководитель: Смирнова Надежда Вячеславовна
© МОУ Гимназия № 8 2007- 2008год
цель работы: исследовать возможности
числовых таблиц размером 3*3,
составленных из цифр от 1 до 9 для записи
чисел.
Предмет исследования: Числовые
таблицы третьего порядка, записанные с
помощью цифр от 1 до 9
Объект исследования: Множество
натуральных значений таких таблиц
ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ:
познакомиться с понятием «множество
чисел»
применить навыки комбинаторики для
подсчета числа возможных комбинаций
познакомиться с понятием «определитель»
и научиться вычислять значения
определителей 2-го, 3-го порядка
рассмотреть свойства определителей 3
порядка и постараться их доказать
ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ
провести вычислительный практикум для
записи натуральных чисел с помощью
определителей 3 порядка
определить максимальное число, которое
возможно записать с помощью определителя
путем перебора и путем применения свойств
составить натуральный ряд чисел, записанных
в виде определителя 3 порядка.
Гипотеза исследования: с помощью
определителя 3 порядка можно записать
натуральное число, если результат вычислений
будет соответствовать определению натуральных
чисел, то есть это будет число, удовлетворяющее
множеству: {1,2,3,4…..}
Актуальность работы: Заключается в том, что
в 5 классе проходит изучение натуральных чисел
и действий с ними, соединив две идеи: числовое
значение каждой числовой таблицы и подсчет
возможностей разных вариантов записи таких
таблиц – хороший практический навык
применения полученных знаний на практике
I ГЛАВА
Для сложения имеют место
1) сочетательное свойство
(a+b)+c=a+(b+c);
2) переместительное свойство
a+b=b+a
Для умножения справедливы
3) сочетательное свойство
(a*b)*c=a*(b*c);
4) переместительное свойство a*b=b*a;
5) закон нейтральности числа 1: a*1=a
сложение и умножение связывает
6) распределительное свойство
a*(b+c)=a*b+a*c
ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ
Матрица - прямоугольная таблица,
состоящая из чисел.
 x11 x12 x13 ...x1m 


 x 21 x 22 x 23 ...x 2 m 
A
..................... 


 x x x ....x 
nm 
 n1 n 2 n 3
Общий вид матрицы n×m
5 6 2


B  9 7 8
6 1 3 


Числовая матрица
ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
Для матрицы определитель представляет собой сумму
произведений элементов матрицы со всевозможными
комбинациями различающихся номеров строк и столбцов,
причём в каждом из произведений элемент из любой
строки и любого столбца ровно один. Каждому
произведению приписывается знак плюс или минус в
зависимости от чётности перестановки номеров.
8 2 6
3 4 1 2
9 7 5
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2×2
Для вычисления определителя
матрицы размером 2×2,
перемножаются её элементы
стоящие на главной диагонали (красный
цвет) и из них вычитается произведение
остальных элементов (синий цвет):
Пример:
3 2
 35  2  4
4 5
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 3×3
Для вычисления определителя матрицы размером
3×3, строится шесть произведений следующим
образом:
На рисунке элементы, входящие в сумму с плюсом,
отмечены красным, а с минусом — синим, каждой
законченной фигуре из трёх точек соответствует
один член суммы из трёх сомножителей.
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА:
• Свойство 1. Если все элементы какой-либо
строки (столбца) определителя 3-го порядка
равны нулю, то и определитель равен нулю
• Свойство 2. Определитель 3-го порядка не
изменится, если его строки заменить
столбцами с теми же номерами
• Свойство 3. Если поменять местами две
строки (столбца) определителя 3-го порядка,
то абсолютная величина определителя не
изменится, а знак изменится на
противоположный
III ГЛАВА
1 3 9
2 4 7 1
1 6 2
4 9 7 3
1 3 2
4 5 6 9
5 8 6
5 3 9
7 8 9
2 3 4
5 6 7  18
1 2 5
4 7 6  34
1 2 5
4 3 6  46
1 8 9
3 8 9
7 8 9
СТРУКТУРА РАССУЖДЕНИЙ:
1. Число перестановок находится по формуле
P  n!
n
9!=362880
2.
3.
362880:2=181880 ( 2 свойство )
(а11 - а13)
5 8 2
9 7 4 5
2 8 5
9 7 4 5
3 6 1
3 6 1
(а21- а23)
5. (а31-а33)
4.
181880:2=90720
90720:2=45360
45360:2=22680
6. свойство 3 определителя третьего порядка
Так как число перестановок строк равно 3!=6 то
получается, что шесть определителей будут равны
по абсолютной величине
1 3 2
4 5 6 9
4 5 6
7 8 9 9
7 8 9
1 3 2 9
7 8 9
1 3 2
4 5 6
1 3 2
7 8 9  9
4 5 6
1 3 2  9
7 8 9
4 5 6  9
4 5 6
7 8 9
1 3 2
22680:6=3780
7. аналогично рассуждая для столбцов
3780/6=630
РЕЗУЛЬТАТ ИССЛЕДОВАНИЙ
1 2 3
4 5 6 0
1 3 9
2 4 7 1
1 5 2
3 7 4 2
1 6 2
4 9 7 3
7 8 9
5 8 6
9 6 8
5 3 9
1 3 2
4 5 6 9
6 9 8
5 4 1
8 7 1
6 4 2  10 3 6 8  11 2 7 4  12
1 5 3
9 7 2
9 3 5
7 8 9
2 3 4
1 7 3
1 2 5
5 6 7  18 4 2 6  26 4 7 6  34
1 8 9
5 9 8
3 8 9
4 5 2
3 6 1  39
8 7 9
судоку
Правила игры: дан квадрат из 81 клетки, который в свою
очередь состоит из 9 квадратов по 9 клеток. Нужно
расставить в клетках числа от 1 до 9 так, чтобы в каждой
строке и столбце большого квадрата, а также внутри
каждого из малых квадратов числа не повторялись. Часть
клеток в начале заполнена, остальное нужно заполнить
самостоятельно, используя логику.