Арифметическая прогрессия

Арифметическая
прогрессия
Боголюбова
Марина
Ивановна
Урок в 9 классе по
теме
"Арифметическая
прогрессия"
Педагогические
идеи и технологии: МБОУ "Кочёвская
среднее
СОШ"
образование
Задачи урока:
• Повторить определение и формулы
• Уметь применять формулы
арифметической прогрессии при
решении задач практической
направленности и в исторических
задачах
Повторим теорию
• Числовой последовательностью
называется…
• Способы задания числовой
последовательности…
• Какие виды последовательности вы
знаете? Перечислите их.
Арифметическая прогрессия
•
•
•
•
•
Арифметической прогрессией называется…
Разность арифметической прогрессии d  an1  an
an 1  an 1
Характеристическое свойство an 
2
Формула n-го члена an  a1  d (n  1)
Сумма n-первых членов арифметической
прогрессии
a1  an
Sn 
n
2
2a1  d ( n  1)
Sn 
n
2
1 вариант
Дано (an ) : 10; 7; … арифметическая
прогрессия.
1. Найдите разность
прогрессии.
2. Найдите десятый
член прогрессии.
3. Найдите сумму 10-и
первых членов
прогрессии.
2 вариант
Дано (an ) : 15; 10 ; … арифметическая
прогрессия.
1. Найдите разность
прогрессии.
2. Найдите
двенадцатый член
прогрессии.
3. Найдите сумму 12-и
первых членов
прогрессии.
НАЗАД, В ИСТОРИЮ!
Понятие числовой
последовательности
возникло и развивалось
задолго до создания учения
о функциях.
На связь между прогрессиями
первым обратил внимание
великий
АРХИМЕД (ок. 287–212 гг.
до н.э)
Прогрессии в древности
Задачи на
прогрессии,
дошедшие до нас из
древности, были
связаны с запросами
хозяйственной
жизни:
распределение
продуктов, деление
наследства и др.
Древняя Греция
Сведения, связанные с прогрессиями,
впервые встречаются в дошедших до нас
документах Древней Греции. Уже в V в.
до н. э. греки знали следующие
прогрессии и их суммы:
n(n  1)
1  2  3  ......  n 
2
2  4  6  ......  2n  n(n  1)
Германия
Карл Гаусс нашел
моментально сумму
всех натуральных
чисел от 1 до 100,
будучи еще учеником
начальной школы.
КАРЛ ГАУСС
(1777 – 1855)
Решение
1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99+100 = (1 + 100) + (2
+ 99) + …… + (50 + 51) = 101 ∙ 50 = 5050
Зная формулы n- члена и суммы nпервых членов прогрессии, можно
решить много интересных задач
литературного, исторического и
практического содержания.
Задачи с практическим
содержанием
• При хранении бревен строевого леса
их укладывают как показано на
рисунке. Сколько брёвен находится в
одной кладке, если в ее основании
положено 12 бревен?
Задачи с практическим
содержанием
• В первом ряду кинотеатра 21 кресло, в
каждом последующем на 2 кресла больше,
чем в предыдущем. Сколько кресел в 40-м
ряду кинотеатра? (из ОГЭ)
• Юноша подарил девушке в первый день 3
цветка, а в каждый последующий день дарил
на 2 цветка больше, чем в предыдущий день.
Сколько денег он потратил на цветы за две
недели, если один цветок стоит 10 рублей?
(из ЕГЭ)
Решение
a1  21,
d 2
a40  a1  d (n  1)  21  2(39  1) 
 21  76  97
Решение
1. Пусть a1  3 (кол-во цветов, купленных в 1-ый
день), тогда d  2 (на столько юноша увеличивал
каждый день кол-во купленных цветков).
2. Найдем S14(кол-во цветков, купленных за две
недели):
2a1  (n  1)d
Sn 
n
2
2a1  13d
2 * 3  13 * 2
S14 
*14 
*14  32 * 7  224
2
2
3. Найдем количество потраченных денег на цветы:
S14 *10  224 *10  2240 (руб)
Ответ: юноша потратил за две недели 2240 рублей.
Задачи с практическим
содержанием
• В рессоре 10 стальных дуг.
Длина верхней дуги 105см, а
каждая последующая на 9см
короче от предыдущей. Какова
длина всех дуг рессоры?
Задача Феофана Прокоповича
• Некто имеет лошадей, и всем им
разная цена. Наихудший конь стоит 4
золотых, а наилучший – 55 золотых,
и цена от одного до другого коня всё
время возрастает на 3 золотых.
Сколько всего было коней?
Задача Франкера
• Сколько раз пробьют часы в течении
12 часов, если они отбивают каждые
полчаса?
Прогрессии в литературе:
строки из “Евгения Онегина”.
«…Не мог он ямба от хорея
Как мы не бились отличить…».
Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных
слогов стиха.
Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах
2; 4; 6;8;…
Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах
стиха.
1; 3; 5; 7;..
Примеры.
• Ямб. «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…»,
прогрессия 2; 4; 6; 8;…
• Хорей. «Я пропАл, как звЕрь в загОне»Б.Л.Пастернак,
«БУря мглОю нЕбо крОет» А.С. Пушкин,
прогрессия 1; 3; 5;7.
3; 7,5; 12; 16,5;…
-7;-7;-7;-7;…
6,2; 4,1; 2; -0,1;…
1 1 1 1
; ; ; ;...
2 4 8 16
1 1
 ; ;1;2;4;...
4 2
Задача
легенда
Индийский царь Шерам позвал к себе
изобретателя шахматной игры, своего
подданного Сету, чтобы наградить его за
остроумную выдумку. Сета, издеваясь над
царем, потребовал за первую клетку
шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2
зерна, за третью — 4 зерна и т. д.
Обрадованный царь посмеялся над Сетой
и приказал выдать ему такую «скромную»
награду. Стоит ли царю смеяться?
Прогрессио – движение
вперед!
- будешь
как я!
Домашнее задание
1 уровень
1.Найти сумму первых 8 членов арифметической
прогрессии, если её первый член равен -4, а
разность равна -3.
2.Первый член арифметической прогрессии равен -5,
а разность равна 6. Сколько надо взять членов
прогрессии, чтобы их сумма была равна 35?
№16.63,
2 уровень
№16.66, №16.68(а)