(Основные понятия. Формула n-го члена арифметической прогрессии.)

(Основные понятия. Формула n-го
члена арифметической прогрессии.)
Понятие числовой последо вательности возникло и развивалось задолго до соз дания учения о функциях.
На связь между
прогрессиями первым
обратил внимание
великий
АРХИМЕД (ок. 287–212 гг.
до н.э)
Сведения, связанные с прогрессиями,
впервые встречаются в дошедших до нас
документах Древней Греции. Уже в V в.
до н. э. греки знали следующие
прогрессии и их суммы:
n(n  1)
1  2  3  ......  n 
2
2  4  6  ......  2n  n(n  1)
В XVIII в. в английских учебниках
появились обозначения
арифметической и геометрической
прогрессий:
Арифметическая
Геометрическая
1. Определение
арифметической прогрессии.
Арифметической прогрессией называется числовая
последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему,
сложенному с одним и тем же числом d.
аn1  an  d
З А Д А Н И Е №1.
Из предложенных последовательностей
выберите ту, которая может являться
арифметической прогрессией.
1. 1; 2; 4; 9; 16…
2. 2; 4; 8; 16…
3. 1; 11; 21; 31…
4. 7; 7; 7; 7…
Почему остальные не могут являться
арифметической прогрессией?
2. Что называют разностью
арифметической прогрессии? Как
обозначают?
Это число, показывающее на сколько каждый
последующий член больше или меньше
предыдущего. Обозначают буквой d.
d- разность арифметической
прогрессии
d = аn+1 – аn
Найти разность арифметической
прогрессии:
1; 5; 9………
105; 100….
-13; -15; -17……
11;
; 19,….
3. Формула n-ого члена
арифметической
прогрессии.
а2= а1+d
а3= а2+d = а1+d +d = а1+2d
а4= а3+d = а1+2d +d = а1+3d
а5= а4+d = а1+3d +d = а1+4d
an  a1  (n  1)  d
4. Какие бывают
арифметические прогресcии?
Если в арифметической прогрессии разность
d > 0, то прогрессия является возрастающей.
Если в арифметической прогрессии разность d <0,
то прогрессия является убывающей.
Если в арифметической прогрессии d = 0, то
прогрессия является постоянной.
Даже в литературе мы встречаемся с математическими
понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".


...Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить...
Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2;
4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую
прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных
слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую
прогрессию 1; 3; 5; 7...
Ямб
«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»
Прогрессия: 2; 4; 6; 8...
Хорей
«Я пропАл, как звЕрь в загОне»
Б. Л. Пастернак
Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...
Зная эти формулы, можно решить много
интересных задач литературного,
исторического и практического содержания.
З А Д А Н И Е №2.
Перед нами четыре числа. Какое из этих чисел
является шестым членом последовательности
натуральных чисел, кратных 5:
25; 30; 22; 35?
З А Д А Н И Е №3.
Перед вами четыре конечные последовательности
чисел. Какая из этих последовательностей
задается рекуррентной формулой
bn1  2bп  4
и условием
1) 2; 0; -2; -4;
b1  3
?
2) 3; -2; 8; -12;
данная
последовательность
3)Является
- 2; 8;ли-12;
28;
4) 3; 2; -4; 0.
арифметической прогрессией? Почему?
З А Д А Н И Е №4.
В арифметической прогрессии ( bп ) известны
b1 = - 12 и d = 3. Под каким номером
находится член прогрессии, равный 0 ?
bn  b1  n  1 d
п5
З А Д А Н И Е №5.
Можно ли найти седьмой член
арифметической прогрессии, если
известны:
1)
ап , d ;
2)
а1 , d ;
3)
а6 , а8 ;
4)
S7 , d .
Какие из последовательностей являются
арифметическими прогрессиями?
d=3
3, 6, 9, 12,…..
5, 12, 18, 24, 30,…..
7, 14, 28, 35, 49,….
d = 10
5, 15, 25,….,95….
d=1
1000, 1001, 1002, 1003,….
1, 2, 4, 7, 9, 11…..
d=-1
5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,….
Устная работа
1) Дано: (а n ) арифметическая прогрессия
а1 = 5 d = 3
Найти: а6 ; а10.
Решение: используя формулу а n = а 1+( n -1) d
а6 = а1 +5 d = 5+ 5 . 3 = 20
а10 = а1 +9 d = 5+ 9 . 3 = 32
Ответ: 20; 32
Решение
Устная работа
3) Дано: (а n ) арифметическая прогрессия
а4 = 11 d = 2
Найти: а1 .
Решение: используя формулу а n= а 1+ ( n – 1) d
а4 = а1 +3 d ; а1= а4 – 3 d =11 – 3 . 2 = 5
Ответ: 5.
Решение
Между числами 6 и 21 вставьте 4 числа так, чтобы
вместе с данными числами они образовали
арифметическую прогрессию.
Решение: а1 = 6, а6 = 21,
d = (21 – 6)/ (6 – 1)= 3,
6, 9, 12, 15, 18, 21.
Дана “стайка девяти чисел”:
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.
Она представляет собой арифметическую
прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел
привлекательна способностью разместиться в
девяти клетках квадрата 3х3 так, что образуется
магический квадрат с константой, равной 33.
Знаете ли вы, что такое магический квадрат?
Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают
числа, так чтобы сумма чисел по вертикали,
горизонтали диагонали была одним и тем же числомconstanta.
9 19 5
7 11 15
17 3 13
Замечание об арифметической прогрессии само по
себе очень интересно. Дело в том, что из каждых
девяти
последовательных
членов
любой
арифметической прогрессии натуральных чисел
можно составить магический квадрат.
1) а1 = 5, d = 3, а7 - ?
2) а4 = 11, d = - 2, а1-?
3) а4 = 12,5, а6 = 17,5 а5 - ?
4) а1 = -3, а2 = 4, а16 - ?
5) а1 = 4, а7 = -8, d -?
6) а7 = -5, а32 = 70, а1 - ?
23
17
15
102
-2
-23
§ 16, стр. 145-151, № 16.7 ( а,б ), 16.14 ( а,б ),
16.16 ( а,б).
Урок сегодня завершён,
Дружней вас не сыскать.
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут.
Спасибо за урок!