Метод перевала в физике В.П. Крайнов, Кафедра теоретической физики МФТИ,

Метод перевала в физике
В.П. Крайнов,
Кафедра теоретической физики
МФТИ,
28 февраля 2007 г.
1. Сущность приближения
• Рассмотрим интеграл
b
I   g (t ) exp( f (t ))dt.
a
• Приближение метода перевала в
простейшей форме применимо, если
функция exp(f(t)) имеет резкий
максимум при некотором значении t = t0
(a < t0 < b)
• В окрестности этого максимума
предполагается, что функция g(t)
меняется медленно по сравнению с f(t).
• Тогда вблизи точки максимума t0, где
f '(t0 )  0
функцию f(x) можно разложить в ряд
Тейлора до второго члена
1
2
f (t )  f (t0 )  (t  t0 ) f "(t0 ).
2
• Математическое выражение
предположения о резкости максимума
функции f(t) имеет вид
•
1
| f "(t0 ) | 2
t0
или f(t0) >>1
• Исходим из известного выражения для
интеграла Пуассона

2
exp(

t
)dt   .


• Тогда, распространяя пределы
интегрирования до бесконечности в обе
стороны, получим искомое приближенное
выражение для искомого интеграла
2
I
g (t0 ) exp( f (t0 ))
| f "(t0 ) |
• Вклад из-за увеличения интервала
интегрирования экспоненциально мал по
сравнению с этим выражением
2. Пример гамма-функции
• Гамма-функция определяется
интегралом


0
0
( x  1)   t x exp(t )dt   exp  t  x ln t  dt.
• При целых значениях x она равна x!
• Мы рассмотрим ее при больших x >> 1.
Пример: подынтегральная функция exp(-t + xlnt)
при x = 10
Точка перевала находится из условия
f '(t0 )  0, т.е. t0  x.
Голубая линия – подынтегральное выражение
в методе перевала; площади под обеими кривыми
почти одинаковы
• Формула Стирлинга:
 x
( x  1)  2 x  
e
x
при x  1
• Как найти следующую поправку к этой
формуле? Запишем ее с поправкой в
виде
x
x
( x  1)  2 x   1   ( x)  ;
e
 x 1 
( x  1)  x( x)  x 2 ( x  1) 

e


x 1
1   ( x  1).
• Приравнивая оба выражения друг другу,
находим:
1   ( x)  1   ( x 1) exp 1  ( x 1/ 2)ln(1 1/ x) .
• Раскладывая в ряд Тейлора логарифм
1
1
1
ln(1  1/ x)    2  3
x 2 x 3x
• получим
 1 
1   ( x)  1   ( x  1)  exp  

2
 12 x 
1 

 1   ( x  1)  1 
2 
12
x


• При больших значениях x >> 1 можно
заменить
 ( x)   ( x  1)   '( x)
• В результате получим
дифференциальное уравнение
1
 '( x)  
12 x 2
1
и  ( x) 
.
12 x
• Итак, улучшаем формулу Стирлинга,
учитывая первую поправку
 x
( x  1)  2 x  
e
x
1 

1 
 при
 12 x 
x  1
С большой точностью эта формула работает
и для небольших значений x:
В частности, при x = 2 вместо точного значения
2! = 2 она дает значение,
равное 1.9990. А при x = 1 вместо точного
значения 1! = 1 она дает
значение, равное 0.9990.
3. Метод стационарной фазы
• В случае быстро осциллирующих
подынтегральных выражений
максимальный вклад в интеграл
определяется областью, где
осцилляции слабее всего.
• Эта область может быть как на
вещественной оси (пример 1), так и в
комплексной плоскости переменной
интегрирования (пример 2).
• Пример 1: распространение звука в
диэлектрике при больших временах
• Звуковой волновой пакет вдоль оси z

v(t , z ) 
 v(k ) cos  kz   (k )t  dk.

• Закон дисперсии звука с волновым
числом k и частотой 
 (k ) 
ku
1   ku / 0 
2
Условие применимости приближения: 0t >> 1.
0t  200; z  ut / 2.
x  ku / 0
Интеграл Френеля

J

 cos x dx  Re  exp(ix
2

2
)dx 


1 i

 Re i  exp(  y ) dy  Re
 
.
2
2

2
• Точка стационарной фазы лежит на
вещественной оси:
d
z
 vg ( k0 )  .
dk
t
k0 
0  ut 
u
 
 z
2/3
 1;
z  ut.
• Решение (без предэкспоненты)
v(t , z )
2 / 3 3/ 2 
 

z


cos 0t 1     
   ut   


На заднем фронте волны (z << ut) доминируют
высокие частоты (порядка 0), а на переднем (z ~ ut)
- низкие (<< 0).
Пример 2: функция Эйри при x >> 1

1 3

Ai( x)   cos  t  xt  dt.
3

0
Мы увидим, что в этом случае
подынтегральное выражение слабее
всего осциллирует в комплекcной
области переменной t, куда надо
смещать контур интегрирования
1 3

cos  t  4t 
3

на вещественной
оси t, x = 4.
Представляя косинус в виде суммы
двух экспонент и заменяя во втором
интеграле t  -t, рассмотрим интеграл

1
i 3

Ai( x)   exp  ixt  t  dt.
2 
3 

t i x
• Точка перевала имеет вид:
• Тогда подынтегральная функция вблизи
точки перевала записывается в виде:

2 3/ 2
f (t )   x  x t  i x
3

2
• Вычисляя интеграл Пуассона, получим
1
Ai( x) 
2

 2 3/ 2 
exp   x  .
x
 3

• При этом контур интегрирования после
прохождения точки перевала в
горизонтальном направлении затем
поворачивается в верхний сектор, где
величина it3 отрицательна, чтобы
обеспечить сходимость интеграла, т.е. с
аргументом t, равным /6.
Imt
t
i x
0
Ret
Соответственно аргумент комплексной переменной t равен 5/6 при
t  
Вещественная часть подынтегральной функции для
функции Эйри в плоскости комплексной переменной t
0
3
0.5
1
Imt
0
2
3
-3
x = 4, t0 = 2i.
Ret