Простые и сложные проценты.

Проценты
• Мишенькина Т.И.
• лицей №9 им.А.С.Пушкина
• Г.Зеленодольск РТ
Простые и сложные проценты.
1. Простые проценты.
1.Нахождение процента от числа
На ремонт мебели в школе затрачено 1 200 руб. 45% этой суммы пошло на оплату труда
столярам, а остальная часть — на материалы. Сколько было израсходовано на оплату
труда и сколько на материалы?
Решение: Найдём сначала, сколько уплатили столярам. Из условия задачи видно, что
им уплатили 45% от 1 200 руб.
1200:100•45=540 руб.
Из этой записи видно, что для нахождения нескольких процентов от числа нужно это
число разделить на 100 и умножить на число процентов.
Эту мысль можно записать в виде формулы; обозначим искомое число буквой b,
данное в задаче число — буквой а и число процентов буквой р.
Таким образом, формула примет вид:
Теперь нам нужно ещё найти стоимость материалов Найдём сначала, сколько
процентов составляет стоимость материалов от общей суммы ремонта. Так как на
рабочую силу израсходовано 45%, то на материалы:
100 % - 45 % = 55 %.
Следовательно, нам нужно найти 55% от 1 200 руб. Мы можем воспользоваться теперь
формулой. В данном случае вместо а подставим 1 200, а вместо р число 55. Получим
следующее:
(руб.)
Таким образом, из 1200 руб. рабочим уплатили 540 руб., а на материалы
израсходовали 660 руб.
Ответ: 540 руб., 660 руб.
2. Нахождение числа по его проценту
Задача : На оплату труда израсходовано 540 руб., и это составляет 45% от общей
суммы ремонта. А остальная часть - на материалы. Во что обошёлся ремонт
мебели?
Решение: Задача требует, зная 45% числа, найти 100% его, т. е. всё число.
Поступим так: найдём сначала 1% (путём деления данного числа на 45), а
потом найдём 100% (умножением):
Эту мысль можно записать в виде, формулы. Для этого обозначим искомое
число буквой а, данное в задаче число, соответствующее нескольким
процентам, — буквой b, а число процентов— буквой р. Тогда формула примет
вид: .
Воспользуемся этой формулой для того, чтобы, зная стоимость материалов
(660 руб.) и соответствующее ей число процентов (55%), найти снова всю
сумму денег, затраченных на ремонт:
(руб.)
Ответ:1200 руб.
3. Нахождение процентного отношения двух чисел
Задача: На 10 кг муки получилось 4,5 кг припёка. Сколько процентов
составляет припёк от данного количества муки?
Решение: Попробуем составить формулу для решения этой задачи.
Припомним указание, сделанное к первой задаче. Там было сказано, что
для решения подобных задач нужно разделить одно из чисел на другое
(взять их отношение) и полученное частное умножить на 100. Обозначим
одно из чисел буквой а, другое — буквой А, число процентов — буквой р.
Тогда формула примет вид:
Применим её к решению нашей задачи, подставив в неё вместо букв
числа из задачи: p=4,5•100/10=45%
Ответ. Припёк составляет 45%.
Задачи на сплавы, растворы и смеси
Задача 1:Слиток сплава серебра с цинком весом в 3.5 кг содержал 76% серебра. Его
сплавили с другим слитком и получили слиток весом в 10.5 кг, содержание серебр
в котором было 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке?
Решение:
1) 3.5-0.76 = 2.66 (кг) серебра в первом слитке.
2) 10.5-0.84 = 8.82 (кг) серебра в 10.5 кг сплава.
3) 8.82 - 2.66 = 6.16 (кг) серебра во втором слитке.
4) 10.5 - 3.5 = 7 (кг) вес второго слитка.
5) 6.16: 7 = 0.88 = 88% серебра содержалось во втором слитке.
Ответ: 88% серебра.
Задача2: Сколько граммов 8% серной кислоты можно получить из 200 г жидкости,
содержащей 62% серной кислоты?
Решение:
1) 200•0.62 = 124 (г) - столько крепкой (100%) серной кислоты содержится в 200 г
62-х процентной кислоты.
2) 124: 0.08 = 1550 (г) - столько 8-ми процентной кислоты можно получить из 200 г
62-х процентной серной кислоты.
Ответ: 1550 г.
2. Сложный процент.
S - доход, планируемый к получению в n-ом
году;
Р - текущая стоимость, т. е. оценка величины
S- c позиции текущего момента;.
1. Формула увеличения числа на заданный процент. Сумма с НДС.
A2= A1 + A1•P/100. или
A2= A1 • (1 + P/100).
Пример 1. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Общая сумма долга
составит.
A2= 10000 •(1+5/100) = 10000 •1.05 = 10500.
2. Формула уменьшения числа на заданный процент.
A2= A1• (1 - P / 100).
Пример. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13
процентов). Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда сумма к выдаче
составляет:
A2= 10000•(1 - 13/100) = 10000•0.87 = 8700.
3. Формула вычисления исходной суммы. Сумма без НДС.
Обозначим p = P / 100, тогда:
A1= A2 + p• A2.
A2= A1 / (1 + p).
Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС 18 процентов. Стоимость без НДС
составляет:
A2= 1180 / (1 + 0.18) = 1000.
4. Расчет процентов на банковский депозит. Формула расчета простых процентов.
Если проценты на депозит начисляются один раз в конце срока депозита, то сумма
процентов вычисляется по формуле простых процентов.
S = K + (K•P•d/D)/100
Sp = (K•P•d/D)/100
Где:
S — сумма банковского депозита с процентами,
Sp — сумма процентов (доход),
K — первоначальная сумма (капитал),
P — годовая процентная ставка,
d — количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу,
D — количество дней в календарном году (365 или 366).
Пример 1. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 1 год по ставке 20
процентов.
S = 100000 + 100000•20•365/365/100 = 120000
Sp = 100000•20•365/365/100 = 20000
5. Расчет процентов на банковский депозит при начислении процента на процент. Формула расчета
сложных процентов.
Если проценты на депозит начисляются несколько раз через равные промежутки времени и
зачисляются во вклад, то сумма вклада с процентами вычисляется по формуле сложных
процентов.
S = K •( 1 + P•d/D/100 )n
Где:
S — сумма депозита с процентами,
К — сумма депозита (капитал),
P — годовая процентная ставка,
n — число периодов начисления процентов.
При расчете сложных процентов проще вычислить общую сумму с процентами, а потом вычислить
сумму процентов (доход):
Sp = S - K = K •( 1 + P•d/D/100 )n - K
или
Sp = K •(( 1 + P•d/D/100 )n - 1)
Пример 1. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 90 дней по ставке 20 процентов
годовых с начислением процентов каждые 30 дней.
S = 100000 • (1 + 20•30/365/100)3 = 105 013.02
Sp = 100000 •((1 + 20•30/365/100)n - 1) = 5 013.02
6. Еще одна формула сложных процентов.
Если процентная ставка дана не в годовом исчислении, а непосредственно для периода
начисления, то формула сложных процентов выглядит так.
S = K • ( 1 + P/100 )n
Где:
S — сумма депозита с процентами,
К — сумма депозита (капитал),
P — процентная ставка,
n — число периодов начисления процентов.
Пример. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 3 месяца с ежемесячным
начислением процентов по ставке 1.5 процента в месяц.
S = 100000 • (1 + 1.5/100)3 = 104 567.84
Sp = 100000 •((1 + 1.5/100)3 - 1) = 4 567.84
Задачи на расчет сложного процента
Задача 1: В скорость тела, движущегося равноускоренно, каждую секунду увеличивается на
10%. В данный момент его скорость 10 м/с. Какова будет его скорость через три секунды?
Решение:
Ответ: через три секунды скорость будет 13,31 м/с.
Задача 2: Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесенной суммы.
Клиент сделал вклад в размере 500 руб. Какая сумма будет на его счете через
полгода?
Решение: (1+2•6/100)•500=1,12•500=560(руб).
Ответ: 560 руб.
Задача 3: В книжном магазине энциклопедию по биологии стоимостью 350 рублей
уценивали дважды на одно и то же число процентов. Найдите это число, если
известно, что после двойного сложения цен энциклопедия стоит 283 рубля 50
копеек.
Решение:
350(1-0,01р)2=283,5
(1-0,01р)2=0,81
1-0,01р=0,9
0,01р=0,1
р=10
Ответ: энциклопедию уценивали на 10%.
Задача 4: Цена 51, 2 рубля за шариковую ручку трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем
трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилась цена ручки 21,6 рубля. На сколько
процентов увеличили, а затем уменьшили цену шариковой ручки?
Попробуем по приведенным цифрам рассчитать, на сколько процентов увеличили, а затем
уменьшили цену капиллярной ручки. Это задача на расчет сложного процента. Расчет сложных
процентов производится по формуле сложного процентного роста:
Действительно, если изменение числа на р% заменить умножением на нужное число, то, увеличив
число S на р%, получим
То есть чтобы увеличить число на р%, достаточно умножить его на
и чтобы число уменьшить на р%, достаточно умножить его на
Решение: Вернемся к задаче и из условия задачи имеем
Ответ: цена капиллярной ручки увеличивалась и уменьшалась на 50%.
Задача 5: 1 января вкладчик положил на счет в банке 2000 рублей по схеме
обыкновенный процент и приблизительное число дней под 22% годовых. По какое
число нужно делать вклад, чтобы получить 2350 рублей?
Решение :Длительность года по схеме приблизительное число дней будет 360.
Преобразуем формулу
однократных внутригодовых начислений таким образом, чтобы выделить число дней
финансовой операции:
т.е. 286 дней = 30•9 + 16 дней.
Ответ. Вклад нужно сделать на 9 месяцев и 16 дней, то есть по 16 октября.