Классификация грамматик по Хомскому Лекция 5

Лекция 5
Классификация
грамматик по
Хомскому
Линейные грамматики
Определение 5.1
• Грамматика G = (N, , P, S) называется линейной,
если все ее правила имеют вид  либо ,
где   N,  N,   *,   *.
Определение 5.2
• Грамматика G = (N, , P, S) называется право
линейной, если все ее правила имеют вид  либо
, где  N,  N,   *.
Определение 5.3
• Грамматика G = (N, , P, S) называется лево
линейной, если все ее правила имеют вид  либо
, где N,   N,   *.
• Пример 5.1.
• G=({<цифра>}, {0, 1, …, 9}, {<цифра>0,
<цифра>1, …, <цифра>9},<цифра>)
• Здесь <цифра> рассматривается как
единственный нетерминальный символ.
• L(G) – это множество, состоящее из 10 цифр. L(G)
– конечное множество. Здесь грамматика является
как праволинейной, так и леволинейной.
• Частным случаем праволинейной грамматики
является правоавтоматная грамматика.
Определение 5.4
• Грамматика G = (N, , P, S) называется
правоавтоматной, если все ее правила имеют вид
 либо , где   N,   N,  , и
допускается правило S  .
• Таким образом, в правилах правоавтоматной
грамматики допускается использование
единственного терминального символа, тогда как в
праволинейной – цепочки терминальных символов.
Грамматика примера 5.1. является правоавтоматной
грамматикой.
• Частным случаем леволинейной грамматики
является левоавтоматная грамматика.
Определение 5.5
• Грамматика G = (N, , P, S) называется
левоавтоматной, если все ее правила имеют вид
 либо , где  N,  N, , и
допускается правило S  .
Задание 6
• Построить примеры леволинейной, праволинейной,
левоавтоматной и правоавтоматных грамматик.
Описать порождаемые ими языки.
Контекстно-свободные
грамматики
Определение 5.6
• Грамматика G = (N, , P, S) называется контекстносвободной (или бесконтекстной) (КС-грамматикой),
если все ее правила имеют вид , где  N, а  
(N)*.
Определение 5.7
• Контекстно-свободная грамматика называется
неукорачивающей, если правая часть ни одного из
правил (за исключением правила S  ) не является
пустой цепочкой (т.е. грамматика не содержит правил
вида  , где   S).
• Пример 5.2.
• Пусть G0 = ({E, T, F}, {a, +, *, (, )}, P, E), где P
состоит из правил
•
E  E+T | T
•
T  T*F | F
•
F  (E) | a
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Пример вывода в этой грамматике:
E  E+T
 T+T
 F+T
 a+T
 a+T*F
 a+F*F
 a+a*F
 a+a*a
Язык L(G0) представляет собой множество
арифметических выражений, построенных из
символов a, +, *, (, ).
Задание 7
• Построить пример контекстно-свободной
грамматики. Описать порождаемый ею язык.
Контекстно-зависимые
грамматики
грамматики непосредственных
составляющих
Определение 5.8
• Грамматика G = (N, , P, S) называется грамматикой
непосредственных составляющих, если все ее
правила имеют вид , где   N,   (N)*,
  (N)* а   (N)*. Здесь цепочки  и 
называются левым и правым контекстом
(соответственно).
• Таким образом, каждое правило грамматики
непосредственных составляющих указывает
подстановку некоторой цепочки вместо
нетерминального символа. Однако возможность
реализации этой подстановки зависит от символов,
окружающих заменяемый, или, другими словами, от
контекста, в котором находится заменяемый символ.
Очевидно, что в случае, когда в каждом правиле
грамматики непосредственных составляющих как
левый, так и правый контекст есть пустая цепочка,
получим контекстно-свободную грамматику.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Пример 5.3.
Пусть G определяется правилами:
(1) S  aSBC
(2) S  aBC
(3) bCBC  bBCBC
(4) aB  ab
(5) bB  bb
(6) bC  bc
(7) cC  cc
(8) cBC cсC
•
•
•
•
•
•
•
•
•
В грамматике G возможен вывод
S  aSBC
применяется правило (1)
 aaBCBC
применяется правило (2)
 aabCBC
применяется правило (4)
 aabBCBC применяется правило (3)
 aabbCBC применяется правило (5)
 aabbcBC применяется правило (6)
 aabbccC
применяется правило (8)
 aabbccc
применяется правило (7)
Задание 8
• Построить пример контекстно-зависимой
грамматики, описать порождаемый ею язык.
Грамматики без ограничений
грамматики общего вида
• Грамматики общего вида (или просто
грамматики) – это грамматики, правила в
которых имеют вид AX, где A 
(N)*N(N)*, X  (N)*.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Пример 5.4.
Пусть G — грамматика с правилами
(1) S
 CD
(2) C
 aCA
(3) C
 bCB
(4) AD  aD
(5) BD  bD
(6) Aa
 aA
(7) Ab
 bA
(8) Ba
 aB
(9) Bb
 bB
(10) C  
(11) D  
• Пример вывода в грамматике G:
• S  CD
применяется правило (1)
•
 aCAD
применяется правило (2)
•
 abCBAD
применяется правило (3)
•
 abBAD
применяется правило (10)
•
 abBaD
применяется правило (4)
•
 abaBD
применяется правило (8)
•
 ababD
применяется правило (5)
•
 abab
применяется правило (11)
• L(G) = {|{a,b}}, т.е. L(G) состоит из цепочек
четной длины, составленных из букв a и b, причем
первая половина каждой цепочки совпадает со
второй половиной.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Пример 5.5.
Пусть G определяется правилами:
(1) S  aSBC
(2) S  aBC
(3) CB  BC
(4) aB  ab
(5) bB  bb
(6) bC  bc
(7) cC  cc
•
•
•
•
•
•
•
•
•
В грамматике G возможен вывод
S  aSBC
применяется правило (1)
 aaBCBC
применяется правило (2)
 aabCBC
применяется правило (4)
 aabBCC
применяется правило (3)
 aabbCC
применяется правило (5)
 aabbcC
применяется правило (6)
 aabbcc
применяется правило (7)
Данная грамматика порождает язык anbncn
(n 1).
• Легко видеть, что каждая линейная грамматика
является КС-грамматикой, каждая КС-грамматика
является грамматикой непосредственных
составляющих, каждая грамматика
непосредственных составляющих является
грамматикой общего вида. Но не каждая КСграмматика является линейной грамматикой, не
каждая грамматика непосредственных составляющих
является КС-грамматикой, и, в свою очередь, не
каждая грамматика общего вида является
грамматикой непосредственных составляющих.
Таким образом, класс грамматик общего вида шире
класса грамматик непосредственных составляющих;
класс грамматик непосредственных составляющих
шире класса КС-грамматик; класс КС-грамматик
шире класса линейных грамматик.
• По аналогии будем называть некоторый язык
• линейным языком, если для него существует
хотя бы одна порождающая его линейная
грамматика,
• левоавтоматным (правоавтоматным) языком,
если существует хотя бы одна порождающая
его левоавтоматная (правоавтоматная)
грамматика,
• КС-языком, если для него существует хотя бы
одна порождающая его КС-грамматика.