Левокурсивные и правокурсивные грамматики Лекция 10

Лекция 10
Левокурсивные и
правокурсивные
грамматики
Определение 10.1
• Некоторый нетерминальный символ А
контекстно-свободной грамматики G = (N, ,
P, S) называется рекурсивным, если
существует вывод А + А для некоторых 
и . Если при этом  = , то А называется
леворекурсивным. Аналогично, если  = , то
А называется праворекурсивным.
Грамматика, имеющая хотя бы один
леворекурсивный нетерминальный символ,
называется леворекурсивной. Грамматика, в
которой все нетерминальные символы,
кроме, быть может, начального символа,
рекурсивные, называется рекурсивной.
• Заметим, что для рекурсивных грамматик в выводе А
+ А всегда либо   , либо   . Если  =  и 
= , то грамматика G является циклической
грамматикой.
• Пример 10.1. Примером праворекурсивной
грамматики является грамматика со следующей
схемой:
• <число>  <цифра>
• <число>  <цифра><число>
• <цифра>  1
• <цифра>  0
• Данная грамматика порождает множество
чисел, состоящих из нулей и единиц.
• Пример 10.2. Тот же самый язык, что и в
примере 10.1. порождает леворекурсивная
грамматика со следующей схемой:
• <число>  <цифра>
• <число>  <число><цифра>
• <цифра>  1
• <цифра>  0
• Пример 10.3. Примером леворекурсивной
грамматики является грамматика со следующей
схемой:
• <идентификатор>  <буква>
• <идентификатор>  <идентификатор><буква>
• <идентификатор>  <идентификатор><цифра>
• <буква>  А
• <цифра>  1
• <цифра>  0
• Данная грамматика порождает множество
идентификаторов, начинающихся с буквы А.
• Пример 10.4. Тот же самый язык, что и в примере
10.3. порождает праворекурсивная грамматика со
следующей схемой:
• <идентификатор>  <буква>
• <идентификатор>  <буква><символ
идентификатора>
• <символ идентификатора><буква>
• <символ идентификатора>  <буква> <символ
идентификатора>
• <символ идентификатора><цифра>
• <символ идентификатора>  <цифра> <символ
идентификатора>
• <буква>  А
• <цифра>  1
• <цифра>  0
• Рассмотрим алгоритм преобразования КСграмматики, в которой имеется непосредственная
левая рекурсия, к КС-грамматике без левой рекурсии.
Лемма 10.1
• Пусть G = (N, , P, S) – КС-грамматика, в которой для
некоторого нетерминального символа А все Аправила имеют вид
• А  A1 | A2 | … | Am | 1 | 2 | … | n |
• причем ни одна из цепочек i не начинается с А.
• Пусть G'=(N{A'}, , P', S), где A' – новый нетерминал,
а P' получается из P заменой этих А-правил
следующими правилами
• А  1 | 2 | … | n | 1A' | 2A' | … | nA' |
• А'  1 | 2 | … | m | 1A' | 2A' | … | mA'
• Тогда L(G') = L(G).
• Доказательство. Цепочки, которые можно получить в
грамматике G из нетерминала А применением Аправил лишь к самому левому нетерминалу,
образуют регулярное множество
• (1 + 2 + … + n )( 1 + 2 + … + m )*
• Это в точности те цепочки, которые можно получить в
грамматике G' из А с помощью правых выводов,
применив один раз А-правило и несколько раз А'правила (в результате вывод уже не будет левым).
Все шаги вывода, на которых не используются Аправила, можно непосредственно сделать и в
грамматике G', так как не А-правила в обеих
грамматиках одни и те же. Отсюда можно заключить,
что L(G)  L(G').
• Обратное включение доказывается
аналогично. В грамматике G' берется правый
вывод и рассматриваются
последовательности шагов, состоящие из
одного применения А-правила и нескольких
применений А'-правил. Таким образом, L(G') =
L(G).
• Грамматика примера 10.4. получена из
грамматики примера 10.3. с использованием
преобразования леммы 10.1.
Лемма 10.2
• Пусть G = (N, , P, S) – КС-грамматика, в которой для
некоторого нетерминального символа А все Аправила имеют вид
• А  A1 | A2 | … | Am | 1 | 2 | … | m
• причем ни одна из цепочек i не начинается с А.
• Пусть G'=(N, , P', S), где P' получается из P заменой
этих А-правил следующими правилами
• А  1 | 2 | … | m | 1A | 2A | … | mA
• Тогда L(G') = L(G).
• Грамматика примера 10.1. получена из грамматики
примера 10.2. с использованием преобразования
леммы 10.2.
На рисунке 10.1. показано, как действуют
преобразования на дерево вывода
A
A
A
i1
i2
...

A
ik
A
A
A

ik
ik-1
...
i1
• Пример 10.5. Пусть G0 – обычная
грамматика с правилами
• E  E+T
• ET
• T  T*F
• TF
• F  (E)
• Fa
• Эквивалентная ей грамматика G`
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
ET
E  TE'
E'  +T
E'  +TE'
TF
T  FT '
T '  *F
T '  *FT '
F  (E)
F a
Рассмотрим теперь, как преобразовать приведенную
леворекурсивную КС-грамматику к КС-грамматике, не
имеющей левой рекурсии.
Алгоритм 10.2
• Устранение левой рекурсии.
• Вход:
Приведенная КС-грамматика
G=(N,,P,S)
• Выход: Эквивалентная КС-грамматика G`
без левой рекурсии.
• Метод.
• Пусть N = {A1,…, An}, т.е. все
нетерминальные символы грамматики
упорядочены некоторым произвольным
образом. Преобразуем G так, чтобы в
правиле Ai   цепочка  начиналась либо с
терминала, либо с такого Aj, что ji.
• 1) Положим i=1.
•
•
•
•
•
•
2) Пусть множество Ai – правил – это Ai  Ai | … |
Aim | 1 | … | p , где ни одна из цепочек j не
начинается с Ak, если k  i (если это не выполнено,
можно ввести новый нетерминальный символ,
заменить первый символ правила этим символом и
добавить дополнительное правило в грамматику).
Заменим Ai–правила правилами:
Ai  1 | … | p | 1Ai' | … | pAi'
Ai'  1 | … | m | 1Ai' | … | mAi'
где A'i — новый нетерминал. Правые части всех Aiправил начинаются теперь с терминала или с Ak
для некоторого k > i.
3) Если i=n, полученную грамматику G' считать
результатом и остановиться. В противном случае
положить i=i+1 и j=1.
•
•
•
4) Заменить каждое правило вида Ai  Aj
правилами Ai  1|…|m, полученными в
результате замены Aj правыми частями всех
Aj-правил вида
Aj  1|…|m. Так как правая часть каждого
Aj-правила начинается уже с терминала или
с Ak для k > j, то и правая часть каждого Aiправила будет теперь обладать этим
свойством.
5) Если j=i–1, перейти к шагу (2). В
противном случае положить j=j+1 и перейти
к шагу (4).
Теорема 10.1
• Для каждого КС-языка существует порождающая его
не леворекурсивная грамматика.
• Доказательство есть следствие приведенных в
данном разделе преобразований.
• Пример 10.5. Пусть G есть КС-грамматика с
правилами
• ABCa
• BCAAb
• CABCCa
• Положим A1=A, A2=B и A3=C
• После каждого применения шага (2) или (4)
алгоритма получаются следующие грамматики
(указываем только новые правила).
• Шаг (2) для i=1: G не меняется
• Шаг (4) для i=2, j=1: BCABCbab
• Шаг (2) для i=2: BCAabCABabB
• BCb BCb
• Шаг (4) для i=3, j=1: CBCBaBCCa
• Шаг (4) для i=3, j=2: CCACBabCB CABCBab
BCBaBCCa
• Шаг (2) для i=3: CabCBab BCBaB a
abCBCab BCB CaB CaC
• CACB CABCB CCCACB ABCB C
Задание 13
• Привести пример лево-рекурсивной
грамматики (рекурсия не является
непосредственной), устранить в грамматике
левую рекурсию.