Квазипериодическая динамика и переход к хаосу в отображении окружности

Квазипериодическая динамика и переход к хаосу
в отображении окружности
При общем обсуждении проблемы перехода к хаосу мы говорили, что в
многомерных нелинейных системах хаосу часто предшествует несколько
бифуркаций рождения колебательных составляющих, отношение частот которых в
общем случае зависит от параметров задачи. Когда оно иррационально,
реализуются квазипериодические режимы. В фазовом пространстве им
соответствуют аттракторы в виде торов, размерность которых определяется
количеством основных частотных компонент. При отношениях частот, близких к
рациональным, из-за присущей системе нелинейности эти компоненты
взаимодействуют, обнаруживая тенденцию к взаимной синхронизации («захвату
частот», mode locking) с возникновением периодических режимов.
Квазипериодические и периодические режимы в свою очередь могут претерпевать
различные бифуркации.
Говоря о переходе к хаосу через квазипериодичность, нужно иметь в виду всю эту
сложную картину. Для обсуждения данного механизма перехода к хаосу мы
анализируем простую модельную систему – одномерное отображение окружности.
Отображение окружности
Если в задаче о потере устойчивости
предельного цикла рассматривать выход из
треугольника устойчивости через верхнюю
границу, то это соответствует переходу двух
комплексно-сопряженных
мультипликаторов
через единичную окружность и рождению новой
частотной составляющей движения. Пусть
нелинейность в системе такова, что она
способствует ограничению возникающей новой
компоненты, т.е. это мягкая (суперкритическая)
бифуркация рождения тора.
Рассмотрим ситуацию вдали от точки бифуркации, когда тор-аттрактор уже
образовался. Рассмотрим его сечение площадкой S.
В сечении имеем замкнутую кривую, точкам которой можно
приписать угловую координату . Если выпустить
траекторию из точки  =n, то, оставаясь на торе, она
обойдет вокруг него и вновь пересечет поверхность S в
какой-то другой точке  = n+1 . Соотношение, связывающее
n+1 и n , в общем случае будет иметь вид
n1  n    f (n ).
(61)
n1  n    f (n ).
(61)
f() – некоторая периодическая функция, а параметр  определяется отношением
периодов обхода тора по параллели и меридиану, т.е. отношением частоты,
существовавшей до рождения тора, и частоты, появившейся в результате
бифуркации. Функцию f() можно представить в виде ряда Фурье. Предположим,
что допустимо ограничиться первой гармоникой. Обозначим ее амплитуду через
k и выберем начало отсчета  так, чтобы f(0) = 0. Тогда из (61) получаем
n1  n    k sin n , mod(2 ).
(62)
Переменную  можно трактовать как координату точки на окружности, поэтому
об отображении (62) говорят как об отображении окружности (circle map).
К этому же отображению можно прийти на основе рассмотрения физической
задачи о воздействии последовательности импульсов на автоколебательную
систему. Тогда параметры k и  в отображении (62) имеют ясный физический
смысл. Первый характеризует амплитуду импульсных толчков, а второй –
расстройку между частотой их следования и частотой автоколебаний.
Динамика отображения окружности
Обсудим, как зависит динамика отображения окружности от параметров k и .
Прежде всего заметим, что фигурирующая в правой части выражения (62)
функция f() =  +  + k sin  имеет существенно разные свойства при k < 1,
k = 1 и k > 1.
При k < 1 она монотонная, отображение является взаимно-однозначным, причем
обратная функция гладкая. При k = 1 отображение по-прежнему монотонное и
взаимно-однозначное, но имеет кубические точки перегиба. Обратная функция
более не является гладкой: первая и вторая производные стремятся к
бесконечности при приближении к сингулярным точкам, отвечающим точкам
перегиба функции f(). Наконец, при k > 1 функция f() становится
немонотонной, она имеет максимумы и минимумы ( по одному на каждый
период) и уже не является взаимно-однозначной.
Полезной характеристикой, позволяющей различать типы динамических
режимов, служит число вращения, определяемое как
n  0
.
n  2 n
 (, k )  lim
(63)
Режим считается периодическим, если начальное значение 
через
некоторое число шагов q воспроизводится с точностью до добавки целого
числа полных периодов, т.е. n+q - n = 2p. Такому режиму отвечает
рациональное число вращения  = p/q. Квазипериодические режимы имеют
иррациональное число вращения и нулевой ляпуновский показатель. Хаос
диагностируется по наличию положительного ляпуновского показателя.
Карта динамических режимов на
плоскости
параметров
отображения окружности (62).
Области,
изображенные
различными тонами серого цвета,
отвечают периодическим режимам
(языки Арнольда), для нескольких
языков цифрами указано число
вращения.
Области
квазипериодичности
и
хаоса
показаны белым.
В области k < 1 возможны периодические и квазипериодические режимы, в области
k > 1 – периодические и хаотические режимы. Линия k = 1, разграничивающая
области существенно разного динамического поведения, называется критической
линией.
При k = 0 число вращения  = /2, так что при рациональных значениях /2 имеют
место периодические, а при иррациональных – квазипериодические режимы. На
плоскости параметров области периодичности имеют вид характерных языков (языки
Арнольда, области синхронизации), которые остриями подходят к рациональным
точкам оси абсцисс.
Несмотря на то, что количество языков бесконечно, между ними остается место
для квазипериодических режимов. Это очевидно при k = 0, но оказывается
справедливым и при конечных k, пока k < 1.
При фиксированном 0 < k < 1 для каждого рационального числа p/q существует
свой интервал значений параметра расстройки, в пределах которого число
вращения фиксировано и равно p/q. Этот интервал определяется шириной
соответствующего языка Арнольда при данном k.
Зависимость
числа
вращения
от
параметра
расстройки
оказывается
монотонной непрерывной функцией,
содержащей
бесконечное
число
горизонтальных ступенек. Ее называют
«чертовой лестницей» (devil’s staircase).
При k  0 суммарная длина всех
ступенек чертовой лестницы стремится к
нулю. При увеличении k она монотонно
возрастает и при k = 1 становится равной
единице.
Множество значений параметра /2, не принадлежащих ступенькам,
соответствует иррациональным числам вращения и квазипериодическим режимам
динамики. Мера этого множества равна единице при k = 0 и убывает до нуля при k
= 1. В этом последнем случае чертову лестницу называют полной.
Зависимость числа вращения от k и /2
показана в виде трехмерного графика.
Проекция этого графика на плоскость (, k)
дает расположение языков синхронизации, а
сечение плоскостью k = 1 – полную чертову
лестницу.
В закритической области k > 1 языки Арнольда частично перекрываются, что
говорит о наличии мультистабильности: при одних и тех же значениях параметров
может сосуществовать несколько аттракторов, отвечающих разным динамическим
режимам. Каждый из них реализуется при задании начальных условий в бассейне
притяжения соответствующего аттрактора. Внутри языков можно видеть сложную
картину областей, где имеет место переход к хаосу через каскад бифуркаций
удвоений периода на базе основного для данного языка периодического режима.
Чем больше знаменатель рационального числа вращения  = /2, тем ближе к
критической линии k = 1 располагается в данном языке Арнольда область хаоса. В
пределе q , что соответствует иррациональным числам вращения, хаос можно
обнаружить сколь угодно близко к критической линии.