ОГОУ СПО «БИТ» Геометрическая алгебра и понятие бесконечности Подготовил: студент 16К группы Щербаков Денис Преподаватель: Горячева А.О. 2011 – 2012 уч. г. Математика в древности В странах-современниках Эллады математика использовалась • либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), • либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п.). Греки считали: • «Числа правят миром» или • «Природа разговаривает с нами на языке математики». Вавилоняне • рассматривали, для наглядности, неизвестные числа как длину линии или площадь фигуры, но последние всё же всегда оставались числами. • Это проявлялось уже в том, что с неизвестными величинами, по названию имеющими различные измерения, обращались как с однородными: “площадь” складывали со “стороной”, от “объема” отнимали “площадь” Вавилоняне • при решении уравнений с двумя неизвестными, одно неизвестное называли “длиной”, другое ”шириной”. • произведение неизвестных называли “площадью”. • в задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина “глубина”, а произведение трех неизвестных именовали “объемом”. Геометрическая алгебра • В Древней Греции пифагорейцы открыли несоизмеримые величины, чертежи из средства наглядности превратились в основной элемент алгебры. Чертежи стали основным элементом алгебры. Евклид • Результаты такого подхода нашли отражение во второй книге “Начал” Евклид. Новое исчисление получило впоследствии название “геометрической алгебры”. Геометрическая алгебра • В этом исчислении величины стали изображаться с помощью отрезков и прямоугольников, а любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. • Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок. • В геометрической алгебре величины стали изображать с помощью отрезков и прямоугольников. Геометрическая алгебра • Сложение отрезков осуществлялось путем приставления одного из них к другому вдоль прямой. b a a + b Геометрическая алгебра • Вычитание - путем отсечения от большего отрезка части, равной меньшему отрезку. b a a-b Геометрическая алгебра • Умножение осуществлялось путем построения прямоугольника на соответствующих отрезках. b a a*b Геометрическая алгебра • Деление приводило к понижению размерности и выполнялось с помощью все того же “приложения площадей”. Найти ab : с Доказательство распределительного (дистрибутивного) закона умножения ab = (a1+a2+…+an)b = a1b+a2b+…anb a b a1 … an Доказательство тождества (a+b)2 = a2+2ab+b2 a a2 b ab b ab b2 a Задачи о «приложении площадей» 1) преобразовать данный прямоугольник в квадрат, т.е. решить уравнение x2=ab (параболическая задача); 2) приложить к данному отрезку а прямоугольник заданной площади S так, чтобы «недостаток» был квадратом: x(a-x)=S (эллиптическая задача); 3) приложить к данному отрезку а прямоугольник заданной площади S так, чтобы «избыток» был квадратом: x(a+x)=S (гиперболическая задача); Задачи о «приложении площадей» • С помощью циркуля и линейки можно решать задачи, эквивалентные квадратным уравнениям, имеющим действительный положительный корень. Задачи о «приложении площадей» Очень скоро появились и другие задачи: • об удвоении куба, 2V V • о трисекции угла, • о квадратуре круга. S S Зенон Элейский • • • • Самые известные апории Зенона: «Дихотомия» «Ахиллес и черепаха» «Стрела» «Стадион» Апории Зенона Дихотомия (рассечение пополам). • Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, поскольку сначала оно должно дойти до середины пути, потом – до середины остатка и так далее. Значит, прежде чем дойти до конца, оно должно «отсчитать» бесконечное число середин, а следовательно, до конца дойти ему не удастся. Апории Зенона Ахиллес и черепаха. • Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если даст ей хотя бы маленькую фору. Ведь пока он пробежит расстояние форы, черепаха уползет на другое расстояние, и пока Ахиллес добежит до того места, она уползет еще дальше, и так до бесконечности. Спор Зенона и Диогена Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить. Сильнее бы не мог он возразить; Хвалили все ответ замысловатый. Но, господа, забавный случай сей Другой пример на память мне приводит: Ведь каждый день пред нами солнце ходит, Однако ж прав упрямый Галилей. А.С. Пушкин Своим апориям Зенон придал ярко выраженный физический смысл: он направил их против возможности движения. Но ведь движение тел происходит ежедневно на наших глазах! В чём же дело? Понятие бесконечности в древней математике • В Древней Греции развитие математики протекало в сотрудничестве с философией. Идея бесконечности возникла в связи с представлениями о Вселенной. • В сочинении «О природе» Анаксагор (около 500 – 428 гг. до н. э.), в котором он вводит понятие бесконечности, говорит так: «Среди малых величин не существует наименьшей, но уменьшение идет непрерывно. Всегда имеется нечто большее, чем то, что большее». Анаксагор Анаксагор (V в. до н. э.) В сочинении «О природе» провозгласил, что «в малом не существует наименьшего, но всегда есть ещё меньшее». В результате деления отрезка всегда будут получаться отрезки, которые по-прежнему остаются делимыми величинами, и таким путём мы никогда не дойдём до неделимых частиц. Это означает, что отрезок не состоит из точек, а есть «геометрическое место» точек.