n = 1, 2, 3

тема: АТОМ РЕЗЕРФОРДА-БОРА
§ Ядерная модель атома
Ядерная модель атома:
 Любой атом состоит из положительно заряженного ядра и
окружающей его электронной оболочки.
 Размеры ядра менее 10-12 см.
 Размеры самого атома, определяемые электронной
оболочкой, порядка 10-8 см.
 Практически вся масса атома сосредоточена в ядре.
Поэтому, атом должен быть в высокой степени прозрачным для
пронизывающих его частиц.
Экспериментальное доказательство изложенной модели атома
было дано Резерфордом (1911) с помощью рассеяния α-частиц
(ядер атомов Не) тонкой металлической фольгой.
Результаты экспериментов:
 большее число α-частиц, рассеивалось на небольшие углы
(не больше 3°),
 наблюдались также отдельные α-частицы, рассеянные на
большие углы.
Вывод: такие частицы появляются в результате единичного
акта их взаимодействия с ядром атома.
Предположения:
 взаимодействие α-частиц с ядром является кулоновским,
 заряд и масса ядра локализованы в очень малой области
атома,
 рассеяние α-частиц происходит только на ядрах, так как
заметного отклонения α-частиц электронами не может быть
из-за того, что масса электронов на четыре порядка меньше
массы α-частиц.

qq0
tg 
2 2bT
(СГС)
где q и q0 — заряды налетающей частицы и ядра, b — прицельный параметр (расстояние от ядра до первоначального направления движения налетающей частицы, когда она находится
вдали от ядра), T — кинетическая энергия частицы вдали от
ядра.
Непосредственная
проверка
последней
формулы
экспериментально невозможна, т.к. мы не можем измерить
прицельный параметр b налетающей частицы.
Из нее можно получить формулу, определяющую долю dN/N
частиц, рассеянных в телесном угле dΩ=2π sinθdθ, в пределах
которого заключены углы рассеяния (θ, θ + dθ).
Формула Резерфорда
dN
d
 qq0 
 n

4
N
 4T  sin ( 2)
2
где N — число падающих частиц, n — число ядер (атомов) в
расчете на единицу поверхности.
Экспериментальная проверка формулы Резерфорда:
 α-частицы от радиоактивного источника.
 кинетическая энергия α-частиц порядка нескольких МэВ.
Если зафиксировать телесный
угол dΩ, в котором подсчитывают рассеянные α-частицы, и
менять при этом угол θ то из
формулы Резерфорда следует,
что
dN sin4(θ/2) = const
Каждый из сомножителей изменялся (в процессе изменения угла
θ) на три порядка. Произведение с хорошей точностью
оставалось постоянным.
Вывод: формула Резерфорда правильно описывает процесс
рассеяния α-частиц, и свидетельствует в пользу предположения,
что масса атома сосредоточена в очень малой его области — в
ядре, размеры которого <10-12 см.
Противоречие планетарной модели атома и законов
классической электродинамики.
Предполагается, что электроны движутся вокруг ядра по
траекториям, подобно планетам вокруг Солнца. 
Движение по искривленным траекториям – это движение с
ускорением.  Электрон должен излучать электромагнитные
волны.  Энергия электрона уменьшается, в результате чего
электрон должен упасть на ядро.
Время жизни такого атома оказывается ~10-11 с.
Этот результат говорит о неустойчивости рассмотренной модели
атома.
§ Теория Бора атома водорода
Неустойчивость
планетарной
модели
Резерфорда
и
закономерность атомных спектров, (дискретность), привели
Н. Бора к необходимости сформулировать два важнейших
постулата квантовой физики (1913):
 Атом может длительное время находиться только в
определенных
стационарных
состояниях,
которые
характеризуются дискретными значениями энергии E1, E2,
Е3, ... В этих состояниях атом не излучает.
 При переходе атома из стационарного состояния с большей
энергией Е2 в стационарное состояние с меньшей энергией E1
происходит излучение кванта света (фотона) с энергией:
  E2  E1
Правило частот Бора
Модель атома водорода
Чтобы получить согласие с экспериментом, Бор предположил,
что электрон в атоме водорода движется только по тем
круговым орбитам, для которых его момент импульса
М = nħ, n = 1, 2, 3, – квантовые числа
С помощью этого правила квантования можно найти радиусы
круговых стационарных орбит водородоподобных систем (Н,
Не+, Li++...).
Масса ядра >> массы электрона. Можно считать ядро
неподвижным. Согласно II закону Ньютона

2
2
Ze
man  m  2 (СГС) Ze – заряд ядра М=mυr= nħ
2
2
r
r
m (n)
Ze
υ= nħ/mr
2 2
r mr

r2
2
Радиус n-ой орбиты
Энергия электрона
2
Ze
 
mr
2
2
n
rn 
2
me Z
(СГС)
m
Ze
E  T U 

2
r
2
2
2
2
2
mZe Ze
Ze
E


2mr
r
2r
2
2
Ze me Z
E
2 2
2 n
Энергия электрона на n-ой
орбите
4
2
me Z
En   2 2
2 n
(СГС)
Состояние атома с наименьшей энергией (n = 1) называют
основным. Для атома водорода E1 = -13,6 эВ. Эта энергия (по
модулю) является энергией связи (энергией ионизации)
электрона в основном состоянии.
Схема
энергетических уровней атома
водорода.
На рисунке показаны
переходы, соответствующие спектральным сериям.
-13,6
Согласно второму постулату Бора, определяющему энергию
фотонов при переходе системы из одного стационарного
состояния в другое
4
me Z
  E2  E1 
2
2
2
1
1
1
2 1
 2  2   RZ  2  2 
 n1 n2 
 n1 n2 
Это обобщенная формула Бальмера, полученная в результате
обобщения экспериментальных данных (R – постоянная
Ридберга).
Теория Бора показала неприменимость законов классической
физики для описания внутриатомных явлений. Она
стимулировала постановку многих экспериментов, принесших
важные результаты.
Недостатки теории:
 не удалось распространить теорию на атом гелия,
содержащий два электрона,
 невозможно вычислить интенсивность спектральных линий,
 непоследовательность: теория не была ни последовательно
классической, ни последовательно квантовой.
Эта теория принимала существование стационарных состояний
атома, что совершенно непонятно с точки зрения классической
физики.
Но к движению электронов в стационарных состояниях она
применяла законы классической механики, хотя и считала
неприменимой классическую электродинамику (поскольку нет
излучения).
§ Опыт Франка и Герца
Энергия
атома
может
изменяться
дискретно,
подтверждается опытами Франка и Герца (1913).
что
Идея: При неупругих столкновениях электрона с атомом
происходит передача энергии от электрона атому.
 Если внутренняя энергия атома изменяется непрерывно, то
атому может быть передана любая порция энергии.
 Если состояния атома дискретны, то его внутренняя энергия
при столкновении с электроном должна изменяться также
дискретно.
Баллон заполнен парами ртути под давлением ≈ 130 Па.
Электроны, испускаемые горячим катодом K, ускорялись
разностью потенциалов V. Между сеткой и анодом создавалось
слабое тормозящее поле с разностью потенциалов около 0,5 В.
Анодный ток
Такой
вид
кривой
объясняется тем, что
атомы могут поглощать лишь дискретные
порции энергии, равные 4,9 эВ.
 Если энергия электронов < 4,9 эВ, их столкновения с атомами
ртути могут быть только упругими (без изменения
внутренней энергии атомов), и электроны достигают сетки с
энергией, достаточной для преодоления тормозящей разности
потенциалов между сеткой и анодом.
 Если V=4,9 В, электроны испытывают вблизи сетки
неупругие столкновения, отдавая атомам ртути всю энергию.
Поэтому, они не смогут преодолеть тормозящую разность
потенциалов в пространстве за сеткой. Начиная с
ускоряющего напряжения 4,9 В, анодный ток I будет
уменьшаться.
 При
дальнейшем
росте
ускоряющего
напряжения
достаточное
число
электронов
после
неупругого
столкновения успевает приобрести энергию, необходимую
для преодоления тормозящего поля за сеткой. Начинается
новое возрастание силы тока I.
 Следующий спад тока начинается после 9,8 В. Электроны
испытывают 2 неупругих столкновения.
Опыты Франка и Герца подтверждают также и второй постулат
Бора — правило частот.
При достижении ускоряющего напряжения 4,9В пары ртути
начинают испускать ультрафиолетовое излучение с длиной
волны 253,7 нм.
E2  E1 
hc

 4,9 эВ
тема: ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ
§ Гипотеза де Бройля
Луи де Бройль (1923) высказал идею о том, что материальные
частицы должны обладать и волновыми свойствами.
Он распространил корпускулярно-волновой дуализм на
частицы массой покоя не равной нулю.
hv h
p

c 
Формула де Бройля
h

p
λ — длины волны
де Бройля
Найдем групповую и фазовую скорость такой волны.

 E  , p  k
Ф  , u 
k
k
E Ek
 

p
Рассмотрим нерелятивистский случай E=p2/2m.
pk
pk k
 2k p



u

 
2mp 2m 2m
k 2m m
2
2
Групповая скорость равна скорости частицы u=υ.
 E
E
E
Ф 
 

k p
2mE
2m
Ф 

2m
Фазовая скорость дебройлевских волн зависит от частоты ω, а
значит, дебройлевские волны обладают дисперсией даже в
вакууме. Из-за этого нельзя представить частицу как волновой
пакет, так как он расплывается.
Гипотеза
де
Бройля
не
противоречит
понятиям
макроскопической физики.
Пример1: пылинка, масса m = 1 мг, скорость υ = 1 мкм/с.
2
22

 6  10 см
m
<< размеров атома
Вывод: в таких условиях волновые свойства проявить себя не
могут.
Пример2: электрон, кинетической энергией T=150эВ

2
mT
 0,1 нм
~ межатомного расстояния в
кристалле
Вывод: кристаллическая структура может быть подходящей
решеткой для получения дифракции дебройлевских волн
электронов.
§ Экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля
Опыты Дэвиссона и Джермера (1927)
Идея: Если пучок электронов обладает волновыми свойствами,
то отражение этих волн от кристалла будет иметь
интерференционный характер.
От различных кристаллических
плоскостей кристалла в результате дифракции падающего излучения исходят волны, испытавшие зеркальное отражение от
этих плоскостей. Разность хода
  AB  BC  2d sin 
d — межплоскостное расстояние, α— угол скольжения.
Направления, в которых возникают максимумы.
2d sin   m , m  1,2,3
Условие Вульфа Брэгга
В опыте использовались сошлифованные монокристаллы
Ni.
В опытах изменялись ускоряющее напряжение электронов и
одновременно
положение
детектора D (счетчика отраженных электронов).
Сошлифованная поверхность покрыта правильными рядами
атомов, перпендикулярными к плоскости падения (плоскости
рисунка), расстояние между которыми d = 0,215 нм.
При угле θ = 50° и ускоряющем напряжении V=54В наблю-дался
максимум отраженных электронов (полярная диаг-рамма
показана на рисунке).
Максимум можно объяснить как интерференционный максимум первого порядка от плоской дифракционной решетки.
d sin θ = λ
Другая серия опытов Д и Дж: измерение интенсивности I
отраженного электронного пучка при заданном угле падения, но
при различных значениях ускоряющего напряжения V.
const

E
E  eV
d sin  
m const
V
Результаты эксперимента
Vm ~ m, если d и   const
Значения Vm, при которых
образуются
максимумы
отражения,
должны
быть
пропорциональны
целым
числам m = 1, 2, 3 ….
Опыты Томсона и Тартаковского
Пучок электронов пропускался через поликристаллическую
фольгу. Как и в случае рентгеновского излучения, на
фотопластинке, расположенной за фольгой, наблюдалась
система дифракционных колец.
Если на пути рассеянных электронов создать магнитное поле
(поднести постоянный магнит), то интерференционная картина
сразу же искажалась.
Это однозначно свидетельствует, что мы имеем дело именно с
электронами, а не с вторичным рентгеновским излучением.
Г. Томсон осуществил опыты с быстрыми электронами (десятки
кэВ), П.С. Тартаковский — со сравнительно медленными
электронами (до 1,7 кэВ).
Описанные выше опыты выполнялись с использованием
пучков частиц.
Вопрос: наблюдаемые волновые свойства выражают свойства
пучка частиц или отдельных частиц?
В. Фабрикант, Л. Биберман и Н. Сушкин осуществили в 1949 г.
опыты, в которых применялись столь слабые пучки
электронов, что каждый электрон проходил через кристалл
заведомо поодиночке и каждый рассеянный электрон
регистрировался фотопластинкой.
 Отдельные электроны попадали в различные точки
фотопластинки совершенно беспорядочным на первый
взгляд образом (рис. а).
 При достаточно длительной экспозиции на фотопластинке
возникала дифракционная картина (рис. б), идентичная
картине дифракции от обычного электронного пучка.
Т.е. было доказано, что волновыми свойствами обладают и
отдельные частицы.
§ Принцип неопределенности
В классической физике полное описание состояния частицы
определяется динамическими параметрами: координаты,
импульс, момент импульса, энергия и др.
Однако поведение микрочастиц показывает, что существует
принципиальный предел точности, с которой подобные
переменные могут быть измерены.
Причины существования этого предела называют принципом
неопределенности Гейзенберга.
Количественные соотношения, выражающие этот принцип,
называют соотношениями неопределенностей.
xp x  , Et  
Физический смысл: Если положение частицы по оси X известно
с точностью Δx, то в тот же момент времени проекция импульса
может быть измерена с неопределенностью Δpx≈ ħ/Δx.
В природе объективно не существует состояний частицы с точно
определенными значениями обеих переменных х и рх.
Пример: Очень маленький шарик массы m=1 мг. Определим с
помощью микроскопа его положение с погрешностью Δx≈10-5 см.
Неопределенность скорости Δυx=Δрx/m ≈ ħ/(Δx m) ~ 10-19 см/с.
Такая величина недоступна никакому измерению, а потому и
отступление
от
классического
описания
совершенно
несущественно.
Даже для такого маленького (но макроскопического) шарика
понятие траектории применимо с высокой степенью точности.
Определим координату х свободно движущейся частицы с
импульсом р, поставив на ее пути щель шириной b.
До прохождения частицы через щель рх
имеет точное значение рх=0, следовательно Δрх = 0. Но координата х частицы
является совершенно неопределенной Δх
≈ħ/Δрx→∞.
Если частица пройдет сквозь щель, то в плоскости щели
координата х будет зарегистрирована с неопределенностью
Δх≈b.
Вследствие дифракции с наибольшей вероятностью частица
будет двигаться в пределах угла 2θ, где θ — угол,
соответствующий первому дифракционному минимуму.
b sin θ = λ
В результате дифракции возникает неопределенность значения
Δрx= р sin θ
xp x  bp sin   p
p
2

xp x  2
Попытка определить координату х частицы, действительно,
привела к появлению неопределенности Δрх в импульсе
частицы.
Последнее соотношение согласуется по порядку величины с
соотношением неопределенностей.
Примечание: В точном соотношении неопределенностей под Δx,
Δpx должны пониматься среднеквадратичные отклонения от
средних значений, а справа ħ/2. Во всех важных вопросах
существенно знать лишь порядок величин Δx, Δpx.
Размер атома водорода
Представим себе, что частица локализована в области размером
Δr и имеет энергию Е>Емин. Тогда ее р = <р> + Δр (<р> – среднее
значение).
Теперь начнем мысленно уменьшать энергию Е, а значит и
импульс р.
Δр≈ħ/Δr и не меняется.
<р> уменьшается.
Когда Е =Емин, величина <р>=0 и р≈Δр.
Оценим размер атома водорода и попытаемся понять, почему
электрон не падает на ядро. Точное положение электрона в
атоме запрещено принципом неопределенности: был бы
бесконечно большой разброс в его импульсе.
Разброс расстояний Δr≈r, Δр≈р.
2

r 2
me
4
me
E мин   2  13.6 эВ

– совпадает с энергией основного
состояния атома водорода.
Размер атома является результатом компромисса двух
слагаемых энергии, имеющих противоположные знаки. Если
увеличить отрицательное слагаемое (потенциальную энергию),
уменьшив r, то увеличится кинетическая энергия, и наоборот.
§ Необычные свойства микрочастиц
Рассмотрим мысленный эксперимент, аналогичный опыту
Юнга. Направим на преграду с двумя щелями пучок
моноэнергетических электронов. За преградой поставим
фотопластинку ФП.
 Если закрыта нижняя щель, то почернение на Фп
характеризуется кривой 1 (а).
 Если закрыта верхняя щель, то почернение на Фп
характеризуется кривой 2 (а).
 Если открыты обе щели, то картина почернения изображена
на рис (б) (аналогична интерференционной картине от 2ух
щелей).
Вывод: на характер движения каждого электрона оказывают
влияние обе щели. Такой вывод не совместим с представлением
о траекториях.
Если бы электрон в каждый момент времени находился в
определенной точке пространства и двигался по траектории, он
проходил бы через определенное отверстие и дифракционной
картины не возникало.
Однако при определенных условиях, понятие траектории
становится применимо для микрочастиц, а именно когда
дебройлевская длина волны микрочастицы становится очень
малой и может оказаться много меньше, например, расстояния
между щелями или атомных размеров.
Критерий
Планка ħ.
классического
описания
связан
с
постоянной
Физическая размерность ħ = [энергия х время] = [импульс х
длина] = [момент импульса]. Величину с такой размерностью
называют действием. Постоянная Планка – квант действия.
Критерий: Если в данной физической системе значение
некоторой характерной величины Н с размерностью действия
сравнимо с ħ, то поведение этой системы может быть описано
только в рамках квантовой теории.
Пример. Вращающееся тело с моментом инерции I = 1 г см2 и
угловой скоростью 1 рад/с. Отношение момента импульса к
кванту действия Iω/ħ≈1026. H>>ħ. Описание можно проводить в
рамках классической физики.
Спасибо за внимание!