Лекция 14-16

Тема:
«Теория благосостояния»
Введение.
«Теория благосостояния» тесно связано
с понятиями эгалитаризм и утилитаризм.
Термин «теория благосостояния»
используется для теоретических основ
утилитаризма (оценка результатов,
а не средств их достижения ).
«Теория принятия решений»
Введение.
Аксиоматическая теория
благосостояния представляет задачу
принятия коллективного решения на
основе сопоставления каждой
допустимой альтернативе (каждому
u1,..., un  вектора
допустимому решению)
индивидуальных уровней полезности,
где ui – полезность агента i.
Вся необходимая информация
заключена во множестве этих
допустимых векторов полезностей.
«Теория принятия решений»
Введение.
При заданном множестве допустимых
векторов полезностей коллективное
решение является результатом
математического детерминированного
правила, которое выделяет один вектор в
качестве выбора сообщества.
Это правило выражает всю систему
этических представлений
рассматриваемого сообщества.
«Теория принятия решений»
Введение.
!Эгалитаризм рассматривает
индивидуальные уровни полезности как
окончательную и не поддающуюся
улучшенную оценку благосостояния
общества.
!Классический утилитаризм рассматривает
индивидуальные полезности только как
способ производства общественного
благосостояния.
«Теория принятия решений»
Эгалитаризм «Стремление людей к равенству является
страстным, ненасытным, вечным,
непобедимым»
Равное распределение дохода от кооперации
есть простой и фундаментальный принцип
справедливости.
В моделях благосостояния он означает
уравнивание индивидуальных полезностей.
«Теория принятия решений»
Эгалитаризм
Принцип единогласия:
!!! Если для всех агентов решение x лучше
решения y, то решение y не должно быть
принято.
Принцип единогласия –
принцип оптимальности По Парето.
!!! Оптимальным по Парето решением является
такое решение x, что для любого другого
решения z, если кто-то (хотя бы один агент) с
читает, что z лучше x, то кто-то другой считает,
что x лучше z.
Оптимальное по Парето решение –
эффективное решение
«Теория принятия решений»,
Эгалитаризм
Принцип единогласия является самым главным
принципом экономики благосостояния.
Принцип единогласия определен, как только
заданы качественные предпочтения
(эгалитаризм требует количественных
полезностей), и убедительно выражает идею
эффективности благосостояния.
Принципы единогласия и равенства могут быть
несовместными, при этом возникает известная
дилемма равенство – эффективность.
«Теория принятия решений»
Пример:
Размещение объекта
Дано:
Два города одинакового размера выбирают
место расположения совместного
предприятия сферы обслуживания
(финансируемого экзогенно).
Города А и В соединены двумя дорогами.
Протяженность длиной дороги составляют 5
км, а короткой 3 км. Обозначим через С
точку, находящуюся на короткой дороге на
расстоянии 1 км т А.
«Теория принятия решений»
Пример:
Размещение объекта
Дорога на участке от С до В проходит в горах,
что не позволяет построить там указанное
предприятие. Таким образом, приходиться
выбирать место расположения предприятия
либо на длинной дороге, либо между А и С
на короткой дороге (рис.1).
Каждому городу хочется, чтобы
предприятие было расположено поближе к
нему, поэтому полезность
измеряется расстоянием до
предприятия со знаком минус.
«Теория принятия решений»
Рис.1
Размещение объекта на кольцевой
дороге
Пример:
Дано:
Пять городов А, В, С, Д и Е, соединенные
кольцевой дорогой выбирают место
размещения совместного предприятия
(рис. 1.3).
Полезность вновь измеряется со
знаком минус. Предприятие можно
расположить в любом месте на
кольцевой дороге. Максиминная
задача имеет два решения, а именно x на
расстоянии 1 км от города А на дороге АЕ
и y на полпути между городами C и D.
«Теория принятия решений»
Определение:
Векторы u и v являются эквивалентными
в смысле лексиминного порядка, если
выполнено равенство u*=v*.
Будем говорить, что вектор u
предпочтительнее v, если существует
целое число R=0,1,…, n-1, для которого
выполнены условия
u*i=v*i
для i=1,…,R,
u*R+1>v*R+1
В частности, если We( u)>We( v)
(т.е. u*1>v*1), то вектор u
лексикографически предпочтительнее v.
«Теория принятия решений»
Лексиминный порядок «работает»
следующим образом:
сначала сравниваются полезности
«наиболее бедных» агентов в обоих
распределениях благосостояния, если
они совпадают, то сравниваются
полезности «следующих по бедности»
агентов и т.д.
«Теория принятия решений»
Приводимые ниже результаты показывают,
что этот порядок обладает более
привлекательными свойствами, чем
эгалитарная функция коллективной
полезности We.
Для любых двух векторов u, v из Еn
обозначим:
u  v , если ui  vi при i  1,..., n,
u v
, если ui  vi и
u  v
, если
«Теория принятия решений»
uv
при i  1,..., n,
Лемма:
Обозначим через
множество допустимых
S
векторов полезностей.
Это множество является замкнутым
подмножеством En, причем оно ограничено
сверху (существует такойxвекторx  u , что
uS
для всех принадлежащих
).
«Теория принятия решений»
Лемма:
Скажем, что вектор u оптимален по Парето
в S , если для всех векторов v выполнено
v  u  vS
Скажем, что векторu
слабо оптимален по
Парето
в
, если для всех векторов v
S
выполнено
v  u  v  S
«Теория принятия решений»
Лемма:
Рассмотрим эгалитарную функцию
полезности
We  min ui 1in
So
W u 
Обозначим через
множество решений
задачи
uS
e
max
So
So
S
S o и любой элемент
Множество
непусто,
множества слабо оптимален по Парето в
Более того, множество
содержит по
крайней мере один оптимум Парето.
«Теория принятия решений»
.
Лемма:
S
Предположим, наконец, что множество
содержит оптимальный по Парето вектор u o
o
u
(соответственно слабо оптимальный по
Парето вектор
) такой, что
0
0
ui  u j для всех i, j  1,..., n
(соответственно
Тогда
o
u ).
 
So  u
o
uo i  uo  j
для всех i, j).
(соответственноS o
«Теория принятия решений»
содержит
Классический утилитаризм:
Кооперация имеет два уязвимых направления:
1. Агент должен осознавать, что в отношении
него поступают справедливо, что т.е, что он
получает справедливую долю кооперативной
прибыли.
Это гарантирует консенсус (согласие)
кооперирующих агентов: если какой-то агент
или группа агентов не признает правило
дележа, то консенсус в конце концов
разрушится.
Под внутренней устойчивостью будем
понимать, то, что положительно влияет на
прочный консенсус.
«Теория принятия решений»
Классический утилитаризм:
Кооперация имеет два уязвимых направления:
2. Другая угроза устойчивости кооперации –
низкие доходы.
Если прибыль от кооперации по сравнению с
ситуацией без кооперации слишком мала, то
вряд ли кто-то сочтет кооперацию разумной.
Если доходы от кооперации вообще
отрицательны, кооперация обречена на
развал.
Будем называть внешней устойчивостью то,
что является следствием достаточно высоких
доходов от кооперации.
«Теория принятия решений»
Классический утилитаризм:
Эгалитаризм дает внутреннюю
устойчивость: кто может чувствовать себя
эксплуатируемым, если прибыль поровну
делится между равными агентами?
Однако при этом подходе не обращается
внимание на внешнюю устойчивость: для
уравнивания долей прибыли эгалитарист
готов даже уменьшить долю каждого до
такой степени, что от кооперативной
прибыли почти ничего не останется.
«Теория принятия решений»
Классический утилитаризм:
Классический утилитаризм идет в
противоположном направлении: он
максимизирует суммарный доход от
кооперации (измеренный в единых
единицах полезности), гарантируя тем
самым внешнюю устойчивость, но
полностью игнорируя внутреннюю
устойчивость.
«Теория принятия решений»
Задача размещения объекта совместного
пользования:
Предположим, что город вытянут в линию,
скажем, это отрезок [0,1]. Плотность
f x  0  x  1
населения описывается непрерывной
функцией
,1
.
Таким образом, все
города
dx
f xнаселение
составляет
0

Предположим, что полезность агента,
расположенного в точке x, равна расстоянию
от точки x до объекта со знаком минус.
«Теория принятия решений»
Эгалитарный посредник, используя функцию
коллективной полезности We, бесспорно,
порекомендует разместить объект в точке ½
(предполагая, что плотность населения на
обоих концах города положительна). Это
гарантирует для каждого агента расстояние
до объекта не более ½. Утилитарный
посредник в свою очередь выберет
размещение a из решения следующей
задачи:
1
min
0a1
«Теория принятия решений»

0
x  a f  x dx
Решение этой задачи есть медиана a*
функции f: половина населения живет левее
a*, половина – правее.
a*

0
1
1
1
f x dx   f x dx   f x dx
20
a*
Чтобы показать это, вычислим
1


x

a
f
x
dx


0
a
1
0
a
 a  x  f x dx   x  a  f x dx 
«Теория принятия решений»
a
a
1
0
0
0
 2a  f x dx  2 xf x dx   xf x dx
Проверим, что производная этого выражения
равна нулю в a*, положительна до a* и
отрицательна после a* .
В этом примере эгалитарное решение
совершенно не зависит от плотности
населения а предположении, что какие-то
агенты живут на обоих концах города.
Утилитарное решение, напротив, существенно
зависит от данной плотности: если плотность
смещена влево, то медиана тоже.
«Теория принятия решений»
Какое решение является более
привлекательным, зависит, очевидно от
контекста.
Утилитарный выбор, минимизирующий
транспортные затраты, является вполне
убедительным, если объект – это театр, если
90 процентов населения сконцентрировано
на отрезке [3/4,1], то агенты из отрезка
[0,1/4] столкнуться с большими
транспортными затратами, но это является
справедливой ценой за максимизацию
общего благосостояния.
«Теория принятия решений»
С другой стороны, если объект есть пункт
скорой медицинской помощи, то размещение
в ½ становиться более привлекательным,
поскольку оно минимизирует наибольший
риск.
(Классическую) утилитарную функцию
полезности будем обозначать W*
n
W* (u )   ui
i 1
«Теория принятия решений»
Утилитарная программа состоит в
максимизации функции W* на множестве
допустимых векторов полезностей. Она
согласуется с принципом единогласия: любой
вектор полезностей, максимизирующий W* на
допустимом множестве, будет оптимальным
по Парето.
Этот подход означает механическое
объединение агентов. Каждый агент
производит некоторую полезность. Если агент
1 боле успешно, чем агент 2, трансформирует
ресурс в полезность, то в этом случае он
получает большую полезность, чем агент 2.
«Теория принятия решений»
Пример: Дележ однородного пирога
Два брата должны поделить между собой
единицу бесконечного делимого однородного
пирога. Брат 1 вдвое более голоден, чем брат
2: один и тот же кусок пирога x приносит
брату 1 вдвое большую полезность
u1(x)=2u2(x)
Предположим, что функции u1, u2 являются
возрастающими, вогнутыми и
дифференцируемыми.
u
x

u
1

x
1
2
Утилитарная программа
0x 1
max   


Является задачей вогнутого
программирования.
«Теория принятия решений»
Ее решение находится из условий первого
порядка
' *
'
*
1
2
  
u x  u 1 x
u1  2u2
Поскольку
имеем
 

'
1
u
и


не возрастает по x,
  

1 '
1
*
' *
'
*
*
u x  u1 1  x  u1 x  u1 1  x  x 
2
2
'
1
*
«Теория принятия решений»
Значит, классический утилитаризм отдает
больший кусок более голодному брату,
который вносит большой вклад в
общественное благосостояние. В
противоположность этому, эгалитарная
программа компенсирует брату 2 пониженный
аппетит, наделяя его большим куском пирога,
чем брата 1.
В самом деле, в этом примере нет дилеммы
равенство – эффективность, поэтому
эгалитарное распределение находится так:
  

 

 
1
u1 x  u2 1  x  u1 x  u1 1  x 
2
1
u1 x  u1 1  x  x 
2 «Теория принятия решений»

Эгалитарная программа может приводить к
крайностям. Так, в описанной выше задаче
размещения, если единственный агент
поселяется в точке 3, то эгалитарное решение
перескакивает из точки ½ в точку 3/2, хотя это
увеличивает транспортные расходы всех
агентов, кроме одного. Симметричным
образом утилитарная программа может
приводить к абсолютно неадекватным
исходам.
«Теория принятия решений»
Пример: В котором производительность
наказывается
Два агента образуют труд в кукурузу по
технологии с постоянными доходами на
масштаб (ПДМ). Агент 2 вдвое более
производителен, чем агент 1: час работы
агента (агент 1) дает 2 бушеля (1 бушель)
кукурузы. Начальные запасы каждого агента
соответствуют 10 часам рабочего времени, а
кукурузы у них нет. Их функции полезности
совпадают:
x= затраты труда в часах
y= полученная кукуруза в бушелях,
ux, y   y 10  x  1
1
3
«Теория принятия решений»
3
Утилитарная программа выделяет для этой
экономики вполне определенный исход

1
3
1
max y
Где
xi , yi
10  x1 
1
3
1
3
2
y
10  x2  13

неотрицательны и y1  y2  x1  2x2
Поскольку эта задача является вогнутого
программирования, то мы просто решаем
систему уравнений, соответствующую
условиям первого порядка:
1 y1
1 10  x1 
1
y2
1 10  x2  3



2
2
2
1
3 10  x1  3 3 y 3
3 210  x2  3 3 y 3
1
2
1
3
(1)
«Теория принятия решений»
1
1
3
3
1
Отсюда
y1  10  x1, y2  210  x2 
опять в (1), имеем
и подставляя
10  x1   410  x2 ; y1  2 y2
Таким образом, более производительный
агент 2 наделяется в 4 раза меньшим
свободным временем и получает вдвое
меньше кукурузы, чем агент 1. В данном
примере утилитарный исход является крайне
несправедливым и нереалистичным,
поскольку более производительный агент
будет скрывать свои таланты
«Теория принятия решений»
Заключение
Ключевое различие эгалитаризма и
(классического) утилитаризма состоит в
соизмеримости и возможности обмена
добавочной полезностью между агентами.
При этих предположениях утилитаризм
является жизненным и осмысленным
принципом.
На самом деле в определенных социальных
ситуациях мы должны рассматривать
агентов именно таким образом.
«Теория принятия решений»
Заключение
Например: история о двух автомобилях,
загоревшихся в результате катастрофы. В
первой машине – четыре пассажира, а во
второй – только один. Все пятеро без
сознания. У единственного свидетеля есть
время спасти только одну машину.
Выбирая для спасения первую машину, как
вероятн6о сделает большинство из нас, он
волей-неволей становится утилитаристом:
целью является максимизация ожидаемого
числа спасений среди пяти людей,
подвергнувшихся опасности.
«Теория принятия решений»
Заключение
Эгалитарный свидетель в противоположность
этому для выбора машины бросит
симметричную монету с тем, чтобы дать
каждому пятидесятипроцентный шанс на
выживание.
Другие ситуации явно предполагают
эгалитарный подход . Так, например, при
распределении таких первичный благ, как
элементарная медицинская помощь ,
образование или свобода слова, как правило,
считается, что индивидуумы не могут
обмениваться полезностями.
«Теория принятия решений»
Заключение
При обосновании эгалитарной этики нужно
считать уровни полезностей агентов
окончательными и запретить последующие
компенсации агентов, друг другу.
В обществе благосостояния, а именно тогда,
когда окончательный уровень благосостояния
каждого агента является хорошо
определенной и наблюдаемой величиной,
только эгалитарная программа (максиминная
полезность или, в случае необходимости,
лексиминный порядок) гарантирует консенсус
индивидуалистически настроенных агентов.
«Теория принятия решений»
Заключение
В самом деле, агент с наименьшим
благосостоянием, скажем агент i, знает, что
существующее неравенство ему же на пользу:
при меньшем уровне неравенства либо он
будет иметь меньший уровень
благосостояния, либо какой – то другой агент
будет иметь более низкий уровень, чем агент i
первоначально. Конечно, привилегированные
агенты (с наивысшим уровнем
благосостояния) меньше ощущают
относительное преимущество этой программы
по сравнению с некоторой другой, скажем с
классическим утилитаризмом.
«Теория принятия решений»
Заключение
Но эти привилегии, сколь малыми они не
были, гарантированы консенсусом, в который
входит даже наименее удачливый агент.
В противоположность этому, при утилитарной
программе агенты с наименьшим
благосостоянием не имеют никаких видимых
причин соглашаться с выбранным решением.
«Теория принятия решений»
Заключение
По крайней мере от них можно ожидать
манипулирования механизмом принятия
решений. Эксперименты настойчиво
подтверждают разумность эгалитаризма там,
где полезности выражают объективные
потребности.
Если полезности отражают различные вкусы
агентов, экспериментальный исход гораздо
труднее интерпретировать.
«Теория принятия решений»