Алгебра логики 1

Основы
математической
логики
Логические переменные.
Логические функции.
Основные понятия



Математическая логика - это наука о методах
рассуждений, при которых мы отвлекаемся от
содержания рассуждений, а используем только их
форму и значение.
В математической логике мы будем использовать
только логические переменные, которые
принимают значения либо 0 ("ложь"), либо 1
("истина").
Функции, которые определены на этих
переменных и принимают значения 0 или 1 также
называются логическими.
Основные понятия
Наборы, на которых задана функция, могут
быть представлены в виде конституэнтов,
двоичных или десятичных
эквивалентов.
Конституэнтом называется логическое
произведение переменных или их
отрицаний в виде
n
i
& xi , где
i 1
i
xi  x
xi  x
при
при
i 1
i  0
i
Основные понятия
Двоичные эквиваленты формируются из значений
Например, конституэнту
x1 x2 x3
соответствует двоичный набор 001,
а конституэнту
x1 x x3  101.
Десятичные эквиваленты легко могут быть
получены из двоичных с помощью степенного
ряда:
001  0  2 2  0  21  1 20  1
101  1 2 2  0  21  1 20  5
i
Логические функции и
таблицы истинности
Основные логические функции
Значения переменных любой логической
функции могут принимать только 0 и 1.
При N переменных существует 2
различных наборов переменных.
N
Значение самой логической функции тоже может
быть только 0 или 1 («ложь» или «истина»),
следовательно различных логических функций
2N
от N переменных может быть 2
Для функций с двумя переменными
известны 16 логических функций:







логическое сложение +, или дизъюнкция V;
логическое умножение, или конъюнкция &;
отрицание (по первой переменной) a ;
отрицание (по второй переменной) b ;
импликация, или функция следования –
левая → и правая ←;
сложение по модулю 2 или жегалкинское
сложение ;
функция Шеффера |;
Для функций с двумя переменными
известны 16 логических функций:
стрелка Пирса ↓, или функция Вебба °;
 обратная импликация, или коимпликация –
левая → и правая ← ;
 функция тождества, или эквивалентность ~;
 единичная функция 1;
 нулевая функция 0;
 функция сохранения первой переменной a;
 функция сохранения второй переменной b.

Таблицы истинности
Логическое сложение а + b, или дизъюнкция а V b
Дизъюнкция двух слагаемых ложна тогда и только
тогда, когда ложны оба слагаемых.
a
b
a+b
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Таблицы истинности
Логическое умножение а • b, или
конъюнкция а & b
Конъюнкция двух сомножителей истинна тогда и
только тогда, когда истинны оба сомножителя
a
b
a·b
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Таблицы истинности
a
Отрицание
Отрицание лжи есть истина, отрицание истины
есть ложь.
a
a
0
1
1
0
Таблицы истинности
Функция отрицания может быть не только от
одной переменной. Например, отрицание первой
переменной выглядит следующим образом:
a
b
a ( a, b)
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
a ( a, b)  a
В данной записи
функция не зависит от
второй переменной b,
которая считается
несущественной.
Таблицы истинности
Отрицание второй переменной выглядит
следующим образом:
a
b
b ( a, b )
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
b (a, b)  b
В данной записи
функция не зависит от
второй переменной а,
которая считается
несущественной.
Таблицы истинности
Импликация или функция следования:
левая а→b и правая a←b
Для функции импликации из лжи следует все что
угодно, а из истины только истина.
a
b
a→b
a
b
a←b
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
a b  a b
a b  ab
Таблицы истинности
Сложение по модулю 2 a  b
Функция сложения по модулю 2 истинна тогда и
только тогда, когда значения переменных
различны.
a
b
a b
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
a  b  a b  ab
Таблицы истинности
Функция тождества, или
эквивалентность а ~ b
Функция истинна тогда и только тогда, когда
значения переменных совпадают.
a
b
a~b
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Функция
эквивалентности
противоположна
сложению по модулю 2,
и для нее справедливо
a  b  a  b  a b  ab
Таблицы истинности
Функция Шеффера а | b
Функция ложна тогда и только тогда, когда оба
значения переменных истинны.
a
b
а|b
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Функция Шеффера
противоположна
конъюнкции, и для нее
справедливо
а|b=
a b  a  b
Таблицы истинности
Стрелка Пирса а ↓ b, или функция
Вебба а °b
Функция истинна тогда и только тогда, когда
ложны обе ее переменные.
a
b
а↓b
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
a  b  a  b  a b
Таблицы истинности
Единичная функция 1
Данная функция определяет логическую константу 1.
a
b
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1(а, b)=1
Таблицы истинности
Нулевая функция О
Данная функция определяет логическую константу 0.
a
b
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0(а, b) = 0
Таблицы истинности
Функция сохранения первой
переменной а
Данная функция истинна тогда и только тогда,
когда переменная а истинна.
a
b
a
0
0
0
а(а, b) = а
0
1
0
1
0
1
1
1
1
Таблицы истинности
Функция сохранения второй
переменной b
Данная функция истинна тогда и только тогда,
когда переменная b истинна.
a
b
b
0
0
0
b(a, b) = b
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Задачи
Определить значения, которые принимают
следующие логические функции при заданных
значениях переменных
1. а —>b = ? при а = 0, b = 1.
2. a b  ? при а = О, b =0.
3. a Ib = ? при а = 1, b = 0.
4. a ↓b = ? при а =1, b = 1.
5. a b = ? при а = 1, b = 0.
6. a —>b = ? при а = 1, b = 1.
7. a  b  ? при а = 0, b =0.
8. а~b = ? пpu a = 0, b = 1.
9. a b  ? при а = 1, b = 0.
Проверь себя
Задача
Составить таблицу истинности для функции:
F ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2 )  x3
Решение
Определим значение наборов переменных.
Их восемь - 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110,
111.
Каждому из них можно поставить в соответствие
десятичный эквивалент (0, 1,......, 7).
Построим таблицу истинности
рассматриваемой функции.
На 1-м шаге выписываем значения наборов переменных
x1 x2 x3
000
001
010
011
100
101
110
111
Построим таблицу истинности
рассматриваемой функции.
На 2-м шаге определяем порядок выполнения элементарных
функций и заполняем ими заголовки столбцов
x1 x2 x3
000
001
010
011
100
101
110
111
x1  x2
x3
( x1  x2 )  x 3
Построим таблицу истинности
рассматриваемой функции.
На 3-м шаге вычисляем значения функции
x1 x2 x3
x1  x2
000
1
001
1
010
1
011
1
100
0
101
0
110
1
111
1
x3
x1  x2
( x1  x2 )  x 3
Построим таблицу истинности
рассматриваемой функции.
На 4-м шаге вычисляем значения x 3
x1 x2 x3
x1  x2
x3
000
1
1
001
1
0
010
1
1
011
1
0
100
0
1
101
0
0
110
1
1
111
1
0
( x1  x2 )  x 3
Построим таблицу истинности
рассматриваемой функции.
На 5-м шаге вычисляем значения ( x1  x2 )  x 3
x1 x2 x3
x1  x2
x3
000
1
1
( x1  x2 )  x 3
1
001
1
0
0
010
1
1
1
011
1
0
0
100
0
1
1
101
0
0
1
110
1
1
1
111
1
0
0
Задачи
Построить таблицы истинности для функций:
1.(a  b)  c;
2.(a  b )  c;
3.(a  b)  c;
4.a  b  a  b ;
5.(a  b )  (a  b);
6.a  b  c ;
7.(a  b)  (d  c).
Ответы
Задание 1
abc
1
2
000
1
1
001
1
0
010
1
1
011
1
0
100
1
1
101
1
0
110
0
1
111
0
1
Ответы
Задание 2
abc
1
2
3
000
1
1
0
001
1
1
1
010
0
0
0
011
0
0
0
100
1
0
0
101
1
0
0
110
0
1
0
111
0
1
1
Ответы
Задание 3
abc
1
2
3
4
000
1
0
1
0
001
1
0
1
1
010
1
1
0
1
011
1
1
0
1
100
0
1
0
1
101
0
1
0
1
110
0
1
0
1
111
0
1
0
1
Ответы
Задание 4
abc
1
2
3
4
5
000
0
1
1
1
1
001
0
1
1
1
1
010
0
1
0
0
0
011
0
1
0
0
0
100
0
0
1
0
0
101
0
0
1
0
0
110
1
0
0
0
1
111
1
0
0
0
1
Ответы
Задание 5
abc
1
2
3
4
5
000
1
1
1
1
1
001
1
1
1
1
1
010
0
0
1
1
0
011
0
0
1
1
0
100
1
1
0
0
0
101
1
1
0
0
0
110
0
1
0
1
1
111
0
1
0
1
1
Ответы
Задание 6
abc
1
2
3
4
000
1
1
1
0
001
1
1
0
1
010
1
0
1
1
011
1
0
0
0
100
0
0
1
1
101
0
1
0
0
110
0
0
1
0
111
0
1
0
1
Ответы
Задание 7
abcd
1
2
3
0000
1
1
0
0001
1
0
0
0010
1
0
0
0011
0
0
0
0100
0
1
0
0101
0
0
1
0110
0
0
1
0111
0
0
1
1000
0
1
0
1001
0
0
1
1010
0
0
1
1011
0
0
1
1100
0
1
0
1101
0
0
1
1110
0
0
1
1111
0
0
1