Непрерывность сложной функции Сложная функция

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
2 семестр
Лекция 11
Производные сложных функций,
производные неявных функций,
дифференциалы,
производные высших порядков.
14 мая 2014 года
Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
План занятий
Дата
Тема
14 мая 2014
Непрерывные функции и их свойства.
Дифференцируемость и дифференциал,
частные производные, производная сложной
функций, производные неявных функций,
дифференциалы и производные высших
порядков.
21 мая 2014
Формула Тейлора для функций нескольких
переменных. Экстремум функции, необходимые
и достаточные условия экстремума.
n-мерное арифметическое пространство
R n  {( x1 , x2 , . . . , xn ) : xi  R (1  i  n)}
x  ( x1 , x2 , . . . , xn ), y  ( y1 , y2 , . . . , yn ).
Линейные операции:
x  y  ( x1  y1 , x2  y2 , . . . , xn  yn ),
λx  (λx1 , λx2 , . . . , λxn ).
Скалярное произведение, длина, расстояние:
xy  x  y  x1 y1  x2 y2  . . .  xn yn ,
| x |  || x ||  x12  x22  . . .  xn2 ,
ρ( x, y )  | x  y |  ( x1  y1 ) 2  ( x2  y2 ) 2  . . .  ( xn  yn ) 2 .
Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника:
| xy |  | x || y |, ρ( x, z )  ρ( x, y )  ρ( y, z ).
n-мерное арифметическое пространство
U ( a, R )  {x  R n : | x  a | R}
(шар с центром a радиуса R )
S ( a, R )  {x  R n : | x  a | R}
(сфера с центром a радиуса R )
U ( a, R )  {x  R n : | x  a | R}
(замкнутый шар с центром a радиуса R )
U ( a, R )  {x  R n : | x  a | R}
(R  окрестность точки a )
O
U ( a, R )  {x  R n : 0 | x  a | R}
(проколатая R  окрестность точки a )
Непрерывность функции
Пусть задана функция f(x) n переменных с областью определения
D(f), лежащей в Rn и пусть точка а ∊ D(f). Функция f(x) называется
непрерывной в точке x=a, если она удовлетворяет одному из двух
следующих равносильных определений:
(1) Для любой последовательности xk , лежащей в области
определения f ( x) и сходящейся к a, последовательность
значений функции f ( xk ) сходится к f (a).
(2) Для любого ε  0 существует такое   0, что для всех
точек, лежащих в U (a,  )  D( f ) выпоняется неравенство
| f ( x)  f (a ) |  ε.
Непрерывность функции
Два основных случая:
1) x=a – изолированная точка D(f). В этом случае
функция f(x) автоматически непрерывна в точка
x=a.
2) x=a – предельная точка D(f). В этом случае
функция f(x) непрерывна в точке x=a тогда и
только тогда, когда
lim f ( x)  f (a).
xa
Непрерывность функции
Свойства непрерывных функций
1) Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x=a, то
αf(x)+βg(x) также непрерывна в точке x=a.
2) Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x=a, то
f(x)g(x) также непрерывна в точке x=a.
3) Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x=a,
причем g(a)≠0, то f(x)/g(x) также непрерывна
в точке x=a.
Векторная функция
Векторная функция (вектор-функция)
f ( x)  ( f1 ( x), f 2 ( x), . . . , f m ( x)), x  R n , f ( x)  R m .
(подразумевается, что все координатные функции имеют
общую область определения, которая и является областью
определения векторной функции)
A  ( A1 , A2 , . . . , Am ),
A  lim f ( x) :
xa
O
ε  0 δ  0 x  U (a, δ)  D( f ) | f ( x)  A |  ε
(a – предельная точка области определения функции).
A  lim f ( x )  Ai  lim f i ( x) (1  i  m.)
x a
x a
Непрерывность векторной функции
(1) Для любой последовательности xk , лежащей в области
определения f ( x) и сходящейся к a, последовательность
значений функции f ( xk ) сходится к f (a).
(2) Для любого ε  0 существует такое   0, что для всех
точек, лежащих в U (a,  )  D( f ) выпоняется неравенство
| f ( x)  f (a ) |  ε.
f ( x) непрерывна в точке а  все функции
f1 ( x), f 2 ( x), . . . , f m ( x) непрерывны в точке а.
Сложная функция
Сложная функция
y  f ( x), x  R n ; x  g ( z ), x  R n , z  R m .
F ( z )  f ( g ( z )), D( F )  {z  D( g ) : g ( z )  D( f )}
Непрерывность сложной функции
Теорема. Пусть g ( z ) непрерывна при z  a,
f ( x) непрерывна при b  g (a ). Тогда сложная
функция F ( z )  f ( g ( z )) неперывна при z  a.
Глобальные свойства
Теорема о промежуточных значениях
Пусть функция f непрерывна, а ее область определения связна.
Тогда f принимает все свои промежуточные значения:
a, b  D( f ); f (a)  C  f (b)  c  D( f ) : f (c)  C.
Определение: компакт – ограниченное и замкнутое множество.
Теоремы Вейерштрасса:
Теорема 1. Функция, непрерывная на компакте, ограничена
на нем.
Теорема 2. Функция, непрерывная на компакте, принимает
на нем наибольшее и наименьше значения.
Дифференцируемость функции
Частные производные
Производная функции n переменных по i-му аргументу – это
обычная производная функции при фиксированных переменных –
всех, кроме переменной с номером i.
f
(a1 , a2 , . . . , an ) 
xi
d

f (a1 , a2 , . . . , ai 1 , xi , ai 1 , . . . , an ) x  a
i
i
dxi
Дифференцируемость функции
Пример:
 xy
2
2
,
x

y
 0,
 2
2
f ( x, y )   x  y
 0,
x  y  0.

f
f ( x,0)  f (0,0)
00
(0,0)  lim
 lim
 0,
x

0
x

0
x
x
x
f
f (0, y )  f (0,0)
00
(0,0)  lim
 lim
 0.
y

0
x

0
y
y
y
Функция не является непрерывной в точке x=y=0:
2
1
1
1
/
k
1 1


lim f  ,   lim
 lim   f (0,0).
2
2
k 
k

k  2
1/ k 1/ k
2
k k
Дифференцируемость функции
Определение. Пусть точка x=a является предельной точкой
области определения D(f) функции f(x). Функция f(x) называется
дифференцируемой в точке x=a если существуют такие
постоянные A1, A2, … , An, что при всех x∊D(f)
n
где
f ( x)  f (a )   Ai ( xi  ai )   ( x) | x  a |,
i 1
lim  ( x)  0.
x a
Равносильная форма записи
n
f ( x)  f (a )   Ai ( xi  ai )  o(| x  a |).
i 1
Дифференциал функции и независимых переменных:
n
df   Ai dxi , dxi  xi  ai .
i 1
Дифференцируемость функции
Теорема (необходимые условия дифференцируемости).
Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x=a, тогда
(1) Функция f(x) непрерывна в точке x=a.
(2) Если a – внутренняя точка D(f), то в точке x=a существуют все
частные производные, причем в
представлении приращения
функции
f
Ai 
xi
(a).
Доказательство (1). Из представления приращения функции
n
имеем
f ( x)  f (a )   Ai ( xi  ai )   ( x) | x  a |
i 1
и в силу арифметических свойств предела
n
lim f ( x)  f (a)   Ai  0  0  0  f (a).
xa
i 1
Дифференцируемость функции
Доказательство (2). Пусть
x  (a1 , . . . , ai 1 , xi , ai 1 , . . . , an ),
F ( xi )  f ( x)  f (a1 , a2 , . . . , ai 1 , xi , ai 1 , . . . , an ).
В этом случае
| x  a |  | xi  ai | .
Так как a – внутренняя точка D(f), то существует шар |x-a|<R,
целиком лежащий в D(f). Это означает, что при
| xi  ai | R,
точка x попадает в D(f). т. е. a – внутренняя точка D(F).
При этом
F ( xi )  F (ai )  Ai ( xi  ai )  o(| xi  ai |).
Следовательно, функция F дифференцируема и
Ai  F ' (ai ) 
f
(a1 , a2 , . . . , an )
xi
Дифференцируемость функции
Следствие. Если точка x=a является внутренней точкой области
определения функции f(x) и эта функция дифференцируема в точке
x=a, то дифференциал функции определяется равенством
f
df  
dxi
i 1 xi
n
Дифференцируемость функции
Достаточное условие дифференцируемости
Теорема. Пусть все частные производные
функции f существуют в некоторой окрестности
точки x=a и непрерывны в самой точке x=a,
тогда функция f дифференцируема в точке x=a.
Дифференцируемость функции
f ( x1 , x2 , x3 , . . . , xn 1 , xn )  f (a1 , a2 , a3 , . . . , an 1 , an ) 
 f ( x1 , x2 , x3 , . . . , xn 1 , xn )  f (a1 , x2 , x3 , . . . , xn 1 , xn ) 
 f (a1 , x2 , x3 , . . . , xn 1 , xn )  f (a1 , a2 , x3 , . . . , xn 1 , xn ) 
 f (a1 , a2 , x3 , . . . , xn 1 , xn )  f (a1 , a2 , a3 , . . . , xn 1 , xn ) 
 .................................
 f (a1 , a2 , a3 , . . . , an 1 , xn )  f (a1 , a2 , a3 , . . . , an 1 , an ).
Дифференцируемость функции
По теореме Лагранжа
f
f ( x1 , x2 , x3 , . . . , xn 1 , xn )  f (a1 , x2 , x3 , . . . , xn 1 , xn ) 
(ξ1 , x2 , x3 , . . . , xn 1 , xn )( x1  a1 ),
x1
f
f (a1 , x2 , x3 , . . . , xn 1 , xn )  f (a1 , a2 , x3 , . . . , xn 1 , xn ) 
(a1 , ξ 2 , x3 , . . . , xn 1 , xn )( x2  a2 ),
x2
...........................................................
f
f (a1 , a2 , a3 , . . . , an 1 , xn )  f (a1 , a2 , a3 , . . . , an 1 , an ) 
(a1 , a2 , a3 , . . . , an 1 , ξ n )( xn  an ).
xn
0  | ξ i  ai |  | xi  ai |  ξ i ( x) непрерывна при x  a
lim ξ i ( x)  ξ i (a)  ai
xa
Дифференцируемость функции
f
(a1 , a2 , a3 , . . . , ai 1 , ξ i ( x), ai 1 , . . . , an ) 
x  a x
i
lim

Пусть
тогда
где
f
f
(a1 , a2 , a3 , . . . , ai 1 , ai , ai 1 , . . . , an ) 
(a ).
xi
xi
f
f
 i ( x) 
(a1 , a2 , a3 , . . . , ai 1 , ξ i ( x), ai 1 , . . . , an ) 
(a),
xi
xi
f
f
(a1 , a2 , a3 , . . . , ai 1 , ξ i ( x), ai 1 , . . . , an ) 
(a)   i ( x)
xi
xi
lim  i ( x)  0.
x a
Следовательно,
n
f
f ( x)  f ( a )  
(a)( xi  ai )   i ( x)( xi  ai ).
i 1 xi
i 1
n
Дифференцируемость функции
Остается доказать, что
n
  ( x)( x  a )  o(| x  a |).
i
i 1
Пусть
i
i
n
 ( x)( x  a )
 ( x) 
i 1
i
i
| xa|
тогда
n
i
,
  ( x)( x  a )   ( x) | x  a |
i 1
i
i
i
и достаточно доказать, что
lim  ( x)  0.
x a
Дифференцируемость функции
n
 ( x) 
 ( x)( x  a )
i 1
i
i
| xa|
i
( xi  ai )
   i ( x)
.
| xa|
i 1
n
| xi  ai |
| xi  ai |

1
2
2
| xa|
( x1  a1 )  . . .  ( xn  an )
| xi  ai |
lim  i ( x)
0
x a
| xa|
lim  ( x)  0.
x a
Дифференцируемость векторной функции
 f1 ( x) 


 f 2 ( x) 
f ( x)  
,

......


 f ( x) 
 m 
 x1 
 
 x2 
x   ,
...
 
x 
 n
 a1 
 
 a2 
a   ,
...
 
a 
 n
 1 ( x ) 


  2 ( x) 
 ( x)  
.

......


  ( x) 
 m 
Функция дифференцируема в точке, являющейся предельной
точкой области определения, если существует такая матрица A и
вектор-функция α(x), что
f ( x)  f (a)  A( x  a)   ( x) | x  a |, lim  ( x)  0.
x a
Дифференцируемость векторной функции
n
f i ( x)  f i (a )   Aij ( x j  a j )   i ( x) | x  a |,
j 1
lim  i ( x)  0, 1  i  m.
xa
Дифференцируемость векторной функции равносильна
дифференцируемости всех координатных функций.
Дифференциалом независимой векторной переменной
называется его приращение
dx  x  a
Дифференциал векторной функции
df ( x)  Adx
Дифференцируемость векторной функции
Во внутренней точке области определения функции элементы
матрицы A представляют собой частные производные
f i
Aij 
(a).
x j
Матрица из частных производных называется матрицей Якоби
 f i

A  f ' (a)  
(a) .
 x

 j

Производная сложной функции
 f1 ( x1 , x2 , . . . , x n ) 
 y1 


 
 f 2 ( x1 , x2 , . . . , x n ) 
 y1 
y     f ( x)  
,

...
....


 
y 
 f (x , x , ... ,x ) 
n 
 k
 k 1 2
 g1 ( z1 , z2 , . . . , z m ) 
 x1 


 
 g 2 ( z1 , z2 , . . . , z m ) 
 x1 
x     g ( z)  
.

...
....


 
x 
 g (z , z , ... ,z ) 
m 
 n
 n 1 2
F ( z )  f ( g ( z )).
F1 ( z1 , z 2 , . . . , z m )  f1 ( g1 ( z1 , z 2 , . . . , z m ), g 2 ( z1 , z 2 , . . . , z m ), . . . , g n ( z1 , z 2 , . . . , z m ))
F2 ( z1 , z 2 , . . . , z m )  f 2 ( g1 ( z1 , z 2 , . . . , z m ), g 2 ( z1 , z 2 , . . . , z m ), . . . , g n ( z1 , z 2 , . . . , z m ))
........................................................................................
Fk ( z1 , z 2 , . . . , z m )  f k ( g1 ( z1 , z 2 , . . . , z m ), g 2 ( z1 , z 2 , . . . , z m ), . . . , g n ( z1 , z 2 , . . . , z m ))
Производная сложной функции
Теорема. Пусть z=a предельная точка области определения
сложной функции F(z)=f(g(z)), функция g(z) дифференцируема в точке
z=a и
dg (a )  Bdz ,
пусть также функция f(x) дифференцируема в точке b=g(a) и
df (b)  Adx.
Тогда сложная функция F(z) дифференцируема в точке z=a и
dF (a )  ( AB)dz.
Производная сложной функции
f ( x)  f (b)  A( x  b)   ( x) | x  b |, lim  ( x)  0.
x b
g ( z )  g (a)  B( z  a)  β( z ) | z  a |, lim β( z )  0.
z a
F ( z )  F (a)  f ( g ( z ))  f ( g (a)) 
 A( g ( z )  g (a))   ( g ( z )) | g ( z )  g (a) |
 A( B( z  a)  β( z ) | z  a |)   ( g ( z )) | g ( z )  g (a) |
 AB( z  a)  [( Aβ( z )) | z  a |  ( g ( z )) | g ( z )  g (a) |].
Остается доказать, что
( Aβ( z )) | z  a |  ( g ( z )) | g ( z )  g (a) | o(| z  a |).
или
( Aβ( z )) | z  a | o(| z  a |),  ( g ( z )) | g ( z )  g (a) | o(| z  a |).
Производная сложной функции
( Aβ( z )) | z  a | o(| z  a |).
Лемма. Справедливо неравенство
n
2
|
A
|
 ij .
| Ax | M ( A) | x |, где M ( A) 
i , j 1
k
 ( Ax) 
| Ax |
2
i
i 1

k
n
 ( A ) | x |
2
i 1
j 1
ij
2

k
n
 ( Aij x j ) 
2
i 1
j 1
k
n
k
n
2
(
A
)(
x
  ij  j ) 
i 1
j 1
k
 ( A ) | x |  A
2
i 1
j 1
ij
n
2
i , j 1
2
ij
j 1
| x | M ( A) | x |
| Aβ( z ) | M ( A) | β( z ) |  Aβ( z )  0 при z  a
Производная сложной функции
 ( g ( z )) | g ( z )  g (a) | o(| z  a |).
g ( z )  g (a)  B( z  a)  β( z ) | z  a |, lim β( z )  0.
z a
| g ( z )  g (a ) || B( z  a )  β( z ) | z  a ||
| B( z  a ) |  | β( z ) || z  a |
 M ( B) | z  a |  | β( z ) || z  a |
 [ M ( B) | β( z ) |] | z  a | O(| z  a |)
lim  ( x)  0, lim g ( z )  0  lim  ( g ( z ))  0
x b
z a
z a
 ( g ( z )) | g ( z )  g (a) | o(| z  a |).
Производная сложной функции
Следствие. Для внутренних точек областей определения
f ( g (a))'  f ' ( g (a)) g ' (a)
Таким образом, в этом случае
n
n
f s
f s gi
f s xi


zk i 1 xi zk i 1 xi zk
Производная сложной функции
Частный случай скалярной функции (k=1):
y  f ( x)  f ( x1 , x2 , . . . , x n ), xi  gi ( z1 , z2 , . . . , z m ), 1  i  n.
n
f
f xi

zk i 1 xi zk
Частный случай внешней функции одной переменной (n=1):
y  f ( x), x  g ( z1 , z2 , . . . , z m ).
f
x
 f ' ( x)
z k
z k
Производная сложной функции
Примеры.
u  sin( x  y ),
u
 cos( x  y ),
x
u
 cos( x  y )
y
u  ln( x  y 2 ),
u
1

,
2
x x  y
u
2y

y x  y 2
y
u  arctg ,
x
u
1
y
 y




,
2 
2 
2
2
x 1  ( y / x )  x 
x y
u
1
x
1

 2
2 
y 1  ( y / x )  x  x  y 2
Производная сложной функции
u  f (ξ, η, ζ), ξ  x 2  y 2 , η  x 2  y 2 , ζ  2 xy
Для частных производных удобно ввести другие обозначения
f
f
f
 f1 (ξ, η, ζ ),
 f 2 (ξ, η, ζ),
 f 3 (ξ, η, ζ )
ξ
η
ζ
В этих обозначениях получаем
u
 f1  2 x  f 2  2 x  f 3  2 y  2 xf1  2 xf2  2 yf 3 ,
x
u
 f1  2 y  f 2  (2 y )  f 3  2 x  2 yf1  2 yf 2  2 xf3 ,
y
Производная сложной функции
Показать, что функция
u   (x2  y 2 )
удовлетворяет уравнению
u
u
y
x
0
x
y
u
u
2
2
  ' ( x  y )  2 x,
  ' ( x 2  y 2 )  2 y,
x
y
u
u
y
x
 y  ' ( x 2  y 2 )  2 x  x  ' ( x 2  y 2 )  2 y 
x
y
 2 xy( ' ( x 2  y 2 )   ' ( x 2  y 2 ))  0
Производная сложной функции
Инвариантность формы первого дифференциала
Для независимых переменных
f
df ( x1 , x2 , . . . , x n )  
dxi
i 1 xi
n
Для зависимых переменных
f
df ( x1 ( z1 ,..., z m ), . . . , x n ( z1 ,..., zm ))  
dzk 
k 1 z k
m
n m
f xi
f xi
 
dz k 
dz k 
k 1 i 1 xi z k
i 1 k 1 xi z k
m
n
f

i 1 xi
n
n
xi
f
dz k  
dx i

k 1 z k
i 1 xi
m
Свойства дифференциала
(1) d (cf ( x))  cdf ( x) (c  const )
n
 (cf ( x))
 ( f ( x))
d (cf ( x))  
dxi   c
dxi 
xi
xi
i 1
i 1
n
 ( f ( x))
 c
dxi  cdf ( x)
xi
i 1
n
(2) d ( f ( x)  g ( x))  df ( x)  dg ( x)
n
 f ( x ) g ( x ) 
( f ( x )  g ( x ))
d ( f ( x )  g ( x ))  
dxi   

 dxi 
xi
xi 
i 1
i 1  xi
n
n
f ( x )
g ( x )

dxi  
dxi  df ( x )  dg ( x )
i 1 xi
i 1 xi
n
Свойства дифференциала
(3) d ( f ( x) g ( x))  (df ( x)) g ( x)  f ( x)( dg ( x))
n
 f ( x )
 ( f ( x ) g ( x ))
g ( x ) 
d ( f ( x ) g ( x ))  
dxi   
g ( x)  f ( x)
 dxi 
xi
xi 
i 1
i 1  xi
n
 n f ( x )

 n g ( x )

 
dxi  g ( x )  f ( x )  
dxi   (df ( x )) g ( x )  f ( x )(dg ( x ))
 i 1 xi

 i 1 xi

 f ( x )  (df ( x )) g ( x )  f ( x )(dg ( x ))
(4) d 


2
g
(
x
)
g
(
x
)



d

f ( x )
g ( x )
g
(
x
)

f
(
x
)
n
f ( x)  n   f ( x) 
xi
xi

dx

dxi 


i



2
g ( x )  i 1 xi  g ( x ) 
g ( x)
i 1
 n f ( x )

 n g ( x )

dx
g
(
x
)

f
(
x
)
dx

i

i

x

x
( df ( x )) g ( x )  f ( x )( dg ( x ))
i 1
i 1
i
i






g ( x )2
g ( x )2
Свойства дифференциала
Пример.
x
u 2
y
Первое решение:
u 1 u
2x
 2,
 3
x y
y
y
1
2x
 du  2 dx  3 dy
y
y
Второе решение:
(dx) y 2  x(2 ydy ) ydx  2 xdy dx 2 xdy
du 

 2 3

4
3
y
y
y
y
u 1
u
2x

 2,
 3
x y
y
y
Производные неявных функций
 f1 ( x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yk )  0,
 f ( x , x , . . . , x , y , y , . . . , y )  0,
n
1
2
k
 2 1 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

 f i ( x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yk )  0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

 f k ( x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yk )  0.
k
f i
f y j
 i
0
xm j 1 y j xm
 y1  y1 ( x1 , x2 , . . . , xn ),
 y  y ( x , x , . . . , x ),
2
1
2
n
 2
. . . . . . . . . . . . . . ,

 yi  yi ( x1 , x2 , . . . , xn ),
. . . . . . . . . . . . . . ,

 yk  yk ( x1 , x2 , . . . , xn ).
f  f i  f  f i  y  y j 
,
,

 
 
 
x  xm  y  ym  x  xm 
f f y
f y
f

 0,

x y x
y x
x
1
 f  f
y
   
x
 y  x
Производные неявных функций
Случай одного уравнения для функции одной переменной
f
f f
f ( x, y )  0, f ( x, y ( x))  0,

y '  0, y '   x
f
x y
y
Примеры.
x2 y 2
2 x 2 yy'
b2 x
 2  1, 2  2  0, y'   2
2
a
b
a
b
a y
y'
xy  ln y  1, y  xy '  0,
y

1
y2
 x  y  y '   y, y '   xy  1


Производные неявных функций
Случай одного уравнения
для функции нескольких переменных
f ( x1 , x2 , . . . , xn , y )  0,
f ( x1 , x2 , . . . , xn , y ( x1 , x2 , . . . , xn ))  0,
f f y

 0,
xi y xi
f
xi
y

f
xi
y
Примеры
x2 y2 z 2
 2  2  1,
2
a
b
c
2 x 2 zz x
2 y 2 zz y
 2  0, 2  2  0,
2
a
c
b
c
c2 x
c2 y
zx   2 , z y   2
a z
b z
z 3  xz  y  0,
3z 2 z x  z  xzx  0, 3z 2 z y  xzy  1  0,
z
1
zx  2
, zy 
3z  x
x  3z 2
Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Производные сложных функций, производные
неявных функций, дифференциалы,
производные высших порядков.
Лекция 11 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Формула Тейлора для функций
нескольких переменных.
Экстремум функций нескольких переменных.
Лекция состоится в среду 21 мая
В 10:00 по Московскому времени.