Прогрессии Арифметическая Геометрическая

Прогрессии
Арифметическая
Геометрическая
Арифметическая прогрессия
Определение
Последовательность аn называется
арифметической прогрессией, если разность
между любым последующим ее членом и
предыдущим, стоящим рядом, есть величина
постоянная, которая обозначается d и
называется разностью прогрессии.
an+1 = an + d
Арифметическая прогрессия
Формула n-го члена прогрессии
an=a1 + (n – 1)d
Арифметическая прогрессия
Запишите формулу n-го члена.
Аn -1;4;7;10;13…
Аn = 3n – 2
Вn – 2;6;10;14;18…
Bn = 4n – 2
Сn - 7;2;-3;-8;-13…
Cn = -5n +12
Арифметическая прогрессия
Теорема 1
Для того чтобы последовательность являлась арифметической прогрессией,
необходимо и достаточно, чтобы она являлась линейной функцией.
Теорема 2
a
Пусть n арифметическая прогрессия. Тогда сумма двух членов прогрессии,
стоящих в левой части выражения, совпадает с суммой двух членов этой
же прогрессии из правой части, если сумма их индексов равны.
ak +an-k+1 = a1 + an
Теорема 3
a
Для того чтобы последовательность n являлась арифметической
прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы любой ее член, начиная со
второго, был равен среднему арифметическому рядом стоящих ее членов
an+1 = (an + an+2)/2
Арифметическая прогрессия
Практикум
Задание №1
Дано: an – арифметическая прогрессия,
a2 + a8 = 10
a3 + a14 = 31
Найти a1
,d?
Арифметическая прогрессия
Практикум
Решение № 1
Выразим все в каждом уравнении через a1,d.
а1 + d + a1 + 7d = 10
а1 + 2d + a1 +13d = 31
2а1 + 8d = 10
2а1 + 15d = 31
d = 3, a1 = - 7
Арифметическая прогрессия
Практикум
Задание №2
Дано: an – арифметическая прогрессия,
a2 +a4 + a6 = 36
a2 * a3 = 54
Найти a1
,d?
Ответ № 2
а1 = -33
d = 15
а1 = 3
d=3
Арифметическая прогрессия
Формула суммы первых n членов
арифметической прогрессии
Sn = n(a1+an)/2
Sn = n(2a1+(n-1)d)/2
Арифметическая прогрессия
Практикум
Задание № 3
Найти сумму всех двузначных чисел,
кратных 3.
Дано: а1 = 12, аn = 99, d = 3
Найти: Sn =?
Решение:
an=a1 + (n – 1)d, то
n = (аn - а1 + d)/ d, значит n = 30, отсюда
Sn = 1665
Арифметическая прогрессия
Практикум
Задание № 4
Найти сумму всех двузначных чисел,
кратных 4.
Ответ
n = 22
Sn = 1188
Арифметическая прогрессия
Практикум
Задание № 5
Решите уравнение 2 + 5 + 8 +11+…+ х= 155
Дано: а1 = 2, аn = х, d = 3, Sn = 155
Найти: n =?
Решение:
n = (х+1)/3
Sn = n(a1+an)/2, то 155=(2+х)(х+1)/6,
+ 3х – 928 =0, х=-32, х=29
Ответ: х=29
Х2
Арифметическая прогрессия
Теорема 5
Для того чтобы последовательность
являлась арифметической прогрессией,
необходимо и достаточно, чтобы сумма
первых n членов последовательности
была функцией не выше второй степени
относительно n.
Арифметическая прогрессия
Практикум
Задание № 6
Дано: Sn = 2n2 – n - 6
1. Выяснить является ли эта последовательность
арифметической
2. Вычислить a5 *
a6
Арифметическая прогрессия
Практикум
Решение № 6
1. Sn – есть квадратичная функция,
следовательно последовательность
является по Т5 арифметической
прогрессией.
2. аn = Sn – Sn-1
аn= 4n-3,
a5 = 17
а6= 21
значит
a5 * a6 = 17*21 =357
Геометрическая прогрессия
Определение
Последовательность bn называется
геометрической прогрессией, если
отношение каждого последующего члена
последовательности к рядом стоящему
предыдущему члену есть величина
постоянная, равная g, называемому
знаменателем прогрессии.
bn-1 = bn * g
bn = b1 * gn-1
Геометрическая прогрессия
Теорема 6
Для того чтобы последовательность
являлась геометрической прогрессией
необходимо и достаточно чтобы квадрат
любого последующего члена
последовательности был равен
произведению рядом стоящих членов
последовательности.
b2n+1 = bn*bn+2
Геометрическая прогрессия
Теорема 7
Сумма первых членов геометрической
прогрессии равна
Sn=b1(1-gn)/(1-g), g=1
Sn =b1*n , g=1
Геометрическая прогрессия
Определение
Если в геометрической прогрессии IgI<1, то
такая последовательность называется
бесконечной.
Sn =b1/(1- g),
IgI<1
Геометрическая прогрессия
Практикум
Записать общий член прогрессии
 bn – 1; 4; 16; 64; 256…
Решение № 1
b1 = 1, g = 4, bn=4n-1
 bn – 1; 1; 1 ; 1; 1 ...
3 9 27 81 243
Решение № 2
bn=(1/3)n
Геометрическая прогрессия
Практикум
Доказать, что последовательность является
геометрической прогрессией
bn=5 3n
Решение
Найдите
bn+1/bn
bn+1=125*bn
Геометрическая прогрессия
Практикум
Выяснить, принадлежит ли число 3750/243
последовательности 2,10/3; 50/3;… и
найти его номер, если это так.
Решение
b1=2,b2=10/3,b3=50/3
b2/b1=5/3, b3/b2=5/3, значит ГП и g=5/3,
bn=…
n=5
Геометрическая прогрессия
Практикум
Дано
b1+b2=8
b4+b5=216
b1,g
Решение
b1+ b1*g=8
b1* g3 + b1* g4 =216
b1(1+ g)=8
(1)
b1* g3 (1 + g)= 216 (2)
(2) : (1)
g3 =27,
g=3,b1=2