Ценовая политика. 3

Моделирование
ценовой
политики
Имеем уравнение
Вида
n
 pj
j 1
x
*
j
p n
x
*
n
*

x
 u( x )
 0, i  1,..., n  1,
j 1 x x p  pi p  * , i  n.
i
j
n
n

n
2
*
*
j
Система из линейного уравнения (1)

Относительно (n+1) неизвестного
x
x

,
,...,
p n p n
p n
*
*
1
*
n
в матричной форме запишется следующим образом ,
 0

  pT


 *

 p  p n

*



x
U 

 p n
  *
  xn 
 0 
 
* 
  

(2)
где Т - означает транспонирование,Р- вектор – строка
цен,U* - матрица Гессе,X - вектор – столбец спроса на
товары.
Таким образом, увеличение цены
на n-й товар привело к
следующему изменению спроса
на товары:
x
1 T *
*
1 T
1
1
dpn  U p xn dp n   ( U p pU  U ) n dpn
pn
*
Рассмотрим
такое увеличение дохода на
dM,
которое компенсирует потребителю
увеличение цены на dpn. Согласно
теории потребления это означает, что
полезность потребителя сохранилась
на прежнем уровне, то есть dun=0.
L u *
*

(
x
)


pi  0 получим
Используя
i
xi
xi
*
n
n

x
u * *
du  
( x )dxi  *  pi dxi*  *  pi i dp n  0
p n
i 1 xi
i 1
i 1
n
Условие постоянства полезности
Теперь можем определить dM, используя
n
n
xi*
*
*
*
dM

p
dp

x
dp

x
:
p
x

M

i
n
n
n
n dp n

j
j
p n
i 1
j 1
то есть доход вырос ровно на столько,
сколько необходимо было бы
дополнительно затратить потребителю на
приобретение n-го товара в прежнем
объеме при увеличении цены на dpn.
(продолжение)
Которые в матричной форме примут вид:
 0

T
 p
 *

 p  p n

*


x
U 

 p n


   0 
  * 


(продолжение)

Решение уравнений
 0

  pT

 *

 p  p n

x *
U 


 p n


0 



* 
 
 
 

находим с помощью обратной матрицы:
 *

 p n
 x *

 p n


   
  U 1 p T
 


 0  
* ( pU 1 ) n



  *
1 T
1
1
1 T
1
1  * 
U p pU  U      ( U p pU  U ) n 
pU 1
(продолжение)
Таким образом, увеличение цены
компенсацией
дохода
приводит
следующему изменению спроса:
с
к
 x 
*
1 T
1
1

 dp n   ( U p pU  U ) n dp n
 p n  comp
*
Объединим уравнения
x
dp n  U 1 p T xn* dp n  * ( U 1 p T pU 1  U 1 ) n dp n
p n
 x * 


dp n  * ( U 1 p T pU 1  U 1 ) n dp n
 p n  comp
x *
  U 1 p T
*
M
получаем уравнение Слуцкого, которое
является стержнем теории полезности:
*
*
*


x
x
x
*



x
n


p n
M
 p n  comp
Ценный и малоценный товар
Товар i называется ценным если при
увеличении дохода спрос на него растет
x
0
M
*
i
и малоценным, если
xi*
0
M
Валовой заменитель продукта
Продукт L называется
валовым заменителем
продукта i если
*
x
l
pi
0
Определение.
Функция спроса Х*(р;м) обладает
свойством валовой заменимости, если с
увеличение цены на любой продукт I
x
спрос на остальные продукты
не
убывает
0
p
x
0
если же
, то функция
p
спроса обладает свойством сильной
валовой заменимости.
*
j
*
j
i
i