Динамика вращательного движения

Динамика вращательного
движения
Момент импульса относительно
точки и оси
Момент силы относительно
точки и оси
Уравнение моментов
Вращательный момент

Момент импульса частицы. Момент силы
Анализ поведения систем показывает, что кроме
энергии и импульса существует еще одна
механическая величина, с которой также связан
закон сохранения - это так называемый момент
импульса. Используют также названия момент
количества движения, вращательный момент,
угловой момент или просто момент.
Момент импульса относительно
точки О

Моментом импульса частицы А
относительно точки O называют вектор,
равный векторному произведению векторов
и
r
p
L   r , p .
Момент импульса относительно
точки 0

Из этого определения следует, что L является
аксиальным вектором. Его направление выбрано
так, что вращение вокруг точки O в направлении
вектора p
образуют правовинтовую систему.
Модуль вектора L равен
L  rp sin   lp.
Момент импульса относительно
точки 0

Сначала возьмем одну частицу. Пусть r радиус-вектор, характеризующий ее положение
относительно некоторой точки выбранной системы
отсчета, а p - ее импульс в этой системе.
Связь момента импульса с
моментом силы

Выясним - какая механическая величина
ответственна за изменение вектора
L в
данной системе отсчета. Продифференцируем
выражение для
L по времени:
dL  dr   dp 
  , p   r ,  .
dt  dt   dt 
Связь момента импульса с
моментом силы
dr

dt

Учтем, что

Воспользуемся 2-ым законом Ньютона

Окончательно
, тогда
dp
 F.
dt
dL
 r , F  .
dt
 , p  0.
Момент силы относительно точки

Величину, стоящую в правой части этого
уравнения, называют моментом силы
относительно точки О
M   r , F  .
Момент силы относительно точки О

Направление момента силы определяется
правилом правого винта
Момент силы относительно точки О
Вектор M как и L
, является аксиальным.
Модуль этого вектора равен
M  rF sin   lF .

l
называют плечом силы.
Уравнение моментов
Производная по времени от момента импульса
частицы относительно некоторой точки O
выбранной системы отсчета равна моменту
равнодействующей силы относительно той же
точки O:
dL
 M.
dt
Это уравнение называют уравнением
моментов .
Основные задачи динамики
твердого тела



Уравнение моментов позволяет получить ответ на два
вопроса:
1) найти момент силы относительно интересующей нас
точки O в любой момент времени t, если известна
зависимость от времени момента импульса частицы
относительно той же точки;
2) определить приращение момента импульса частицы
относительно точки O за любой промежуток времени, если
известна зависимость от времени момента силы ,
действующего на эту частицу относительно той же точки O.
Основные задачи динамики
твердого тела

Решение первого вопроса сводится к
нахождению производной по времени от
момента импульса, которая равна искомому
моменту силы:
dL
 M.
dt
Основные задачи динамики
твердого тела

Решение же второго вопроса сводится к
интегрированию уравнения моментов.
Умножив обе части этого уравнения на dt, получим
dL  Mdt
- выражение, которое определяет элементарное
приращение вектора
L .
Основные задачи динамики
твердого тела

Проинтегрировав это выражение по времени,
найдем приращение вектора
за
L
конечный промежуток времени t:
2
L2  L1   Mdt.
1
Импульс момента силы

Величину, стоящую в правой части этого
уравнения, называют импульсом
момента силы. В итоге получено
следующее утверждение: приращение
момента импульса частицы за любой
промежуток времени равно импульсу
момента силы за это же время .
Момент импульса относительно оси

Рассмотрим теперь понятия момента
импульса и момента силы относительно
оси. Выберем в некоторой инерциальной
системе отсчета произвольную
неподвижную ось Z. Пусть относительно
некоторой точки О на оси Z момент
импульса частицы А равен L , а момент
силы, действующий на частицу, M
.
Момент импульса относительно оси

Моментом импульса относительно оси z называют
проекцию на эту ось вектора
,
определенного относительно произвольной точки О
данной оси . Аналогично вводят и понятие момента
силы относительно оси.
L
Момент импульса относительно оси

Определяем направление вектора L по
правилу правого винта, затем находим его
проекцию на ось.
Уравнение моментов

Спроектировав уравнение моментов на ось z,
получим
dLz
 Mz
dt
т. е. производная по времени от момента
импульса частицы относительно оси z равна
моменту силы относительно этой оси.
Момент импульса системы частиц

Момент импульса системы частиц относительно
точки равен векторной сумме моментов частиц,
входящих в систему, определенных
относительно той же точки,
L   Li .
i
Момент импульса системы частиц

Для i-той частицы
dLi
 M iâí åø í  M iâí óò ð .
dt

Для системы частиц
dL
  M iâí óò ð  M âí åø í .
dt
i
Момент импульса системы частиц

Суммарный момент всех внутренних сил
относительно любой точки равен нулю
 M iâí óò ð  0.
i
Суммарный момент внутренних
сил
M   r1, F12    r2, F21  .
F12   F21.
M   r1, F12    r2, F12    r21, F12  .
M  r21F12 sin180  0.
F12
r1
O
F21
r2
Момент импульса системы частиц

Производная момента импульса системы
по времени равна суммарному моменту
всех внешних сил (оба момента
определяются относительно одной и той
же точки)
dL
 M âí åø í .
dt
Закон сохранения момента
импульса



Момент импульса замкнутой системы частиц
остается постоянным во времени.
Момент импульса незамкнутой системы может
сохраняться во времени, если сумма моментов
всех внешних сил, действующих на систему,
равна нулю.
Может сохраняться не сам момент импульса, а
его проекция на некоторую ось, если проекция
суммарного момента внешних сил на эту ось
равна нулю.