Расчётно-графическое задание, частьII - ВоГТУ - ЭЭФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Вологодский Государственный Технический Университет
Кафедра физики
Индивидуальное домашнее задание по физике
ФАКУЛЬТЕТ ПРОМЫШЛЕННОГО МЕНЕДЖМЕНТА
И ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
для направлений: конструкторско-технологическое
обеспечение машиностроительных
производств – МТ, МА;
технологические машины
и оборудование – МД;
эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов – МАХ
Часть I
(механика, термодинамика)
Вологда
2011
УДК 53 (07.072)
Индивидуальное домашнее задание по физике, часть I. – Вологда:
ВоГТУ, 2011. – 64 с.
Данные методические указания написаны в соответствии с программой курса физики для технических специальностей в вузах. Пособие с одержит 300 задач по всем разделам первой части курса физики.
Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ
Составители: Лебедев Я.Д., к.ф.-м.н., д-р пед. наук, проф. каф.
Михайлов А.В., к.ф.-м.н., доцент
Рецензент: Сауров Ю.А., член-корр. РАО, д-р пед. наук,
профессор Вятского ГГУ
Современный этап развития профессионального образования предъявляет новые требования не только к преподавательской деятельности, но и к
индивидуальной познавательной деятельности студентов. По физике, как
правило, она складывается из подготовки к лекционным, практическим и
лабораторным занятиям, защите лабораторного практикума, выполнении
индивидуальных домашних заданий (расчётно-графических заданий).
Учебный процесс в педагогической практике динамичен, постоянно о бновляется научной информацией о закономерностях познавательной деятельности и об учебном предмете. Всё это указывает на то, что главной
фигурой в учебном процессе вуза становится студент.
В условиях направленности учебного процесса на формирование личности профессионала важным является умение «видеть» обучаемого, поэтому преподавательский корпус кафедры физики привлекает логико математические и другие формальные методы в качестве средств оценки
результатов учебного процесса. Привлечение логико-математических методов в познание учебного процесса объясняется тем, что эти методы вносят в науку организующий и доказательный характер, сочетают количественную и качественную оценку, вводят измерители. Привлечение методов логико-математической формализации в качестве инструмента объективного исследования позволило по-новому предложить построение текста
задач. В частности, в дополнение к физическому тексту предлагается текст
методический. Это активизирует познавательную деятельность и стимулирует активность студента к выполнению расчётно-графического задания.
Требования к оформлению расчётно-графического задания типовые:
1. Титульный лист оформляется на отдельном листе в соответствии с тр ебованиями ГОСТа;
2. Вначале с указанием номера записывается физический текст задачи без
сокращений. Методическая часть не записывается, поскольку предназначена для студента. Затем следует краткое условие и типовое представление решения с пояснениями;
3. В конце расчётно-графического задания необходимо привести список
используемой литературы с указанием авторов и названия книги (справочника, учебного пособия).
Во втором расчётно-графическом задании РГЗ-II двенадцать задач.
Они требуют свободного владения не только школьным математическим
аппаратом: составить систему уравнений, что требует понимания концептуального аппарата физики; умением упростить выражение; решить систему из трёх-двух уравнений в общем виде; понимать тригонометрические
выражения; строить графики; уметь брать производную; решать квадратные уравнения, но и понимания основ высшей математики.
1. Кинематика прямолинейного движения
1.
2.
3.
4.
5.
Движение двух материальных точек выражается уравнениями: x 1  4 
2ּt – 2,5ּt3 и x 2  2 – 2ּt  0,5ּt3 (координаты в метрах, время в секундах).
Найти зависимость скорости и ускорения точек от времени; в какой
момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Построить
графики: х(t); υ(t); a(t). Уточните понятия скорости и ускорения
(учебник, лекции), возьмите производную от координаты и скорости;
поскольку скорости равны, можно приравнять левые части полученных уравнений, выразите время. Должно получиться. При построении
графиков учтите из алгебры у  f(х). Подходите, помогут.
Тело начинает падать со скоростью 16 м/с, находясь на высоте 200 м.
Записать уравнения скорости и перемещения  υ(t), h(t)  от времени.
Через сколько времени тело достигнет земли, если начальная скорость
направлена вниз. Построить графики: υ(t), h(t). Уточните понятие скорости равнопеременного движения; не забудьте, тело падает вблизи
поверхности Земли: записывайте уравнение скорости. Уточните понятие перемещения; сделайте рисунок к задаче; поможет записать уравнение с учётом начальных условий; это лучше сделать через интегральное представление. Трудно? Подходите. Помогут.
Движение двух материальных точек выражается уравнениями: x 1 
20  2ּt – 2,5ּ t3 и x 2  2 – 2ּ t  0,5ּt3 (координаты в метрах, время в секундах). Чему равны ускорения точек в момент, когда их скорости
одинаковы? Построить графики: х(t); υ(t); a(t). Уточните понятия скорости и ускорения; придётся взять производные (от координаты и скорости). Фраза «…скорости их одинаковы» стимулирует приравнять
правые части уравнений скорости и выразить время. Находите ускорения. Встретите трудности, подходите. Помогут.
Скорость тела выражается формулой υ  4 – t2. Найти путь и перемещение тела через 3 секунды от начала движения. Построить графики
х(t); υ(t); a(t). Уточните понятия «путь», «перемещение» и «скорость»;
придётся интегрировать, дифференцировать. При вычислении пройденного пути придётся учесть знак ускорения. При построении графиков учтите из алгебры у  f(х).
Тело начинает падать со скоростью 16 м/с, находясь на высоте 200 м.
Записать уравнения скорости и перемещения  υ(t), h(t)  от времени.
Через сколько времени тело достигнет земли, если начальная скорость
направлена вверх. Построить графики: υ(t); h(t). Уточните понятие
скорости равнопеременного движения; не забудьте, тело падает вблизи поверхности Земли; начальная скорость имеет направление; записывайте уравнение скорости. Уточните понятие перемещения; сделай-
те рисунок к задаче; поможет записать уравнение с учётом начальных
условий; это лучше сделать через интегральное представление. Трудно? Подходите. Помогут.
6. Зависимость координаты тела от времени дается уравнением x  9ּ t –
6ּt2  2ּt3 (координата – в метрах, время – в секундах). Найти зависимость скорости и ускорения от времени; путь, перемещение, скорость
и ускорение тела через 2 секунды после начала движения. Движение
прямолинейное. Построить графики: х(t); υ(t); a(t). Уточните понятия
скорости и ускорения (учебник, лекции), возьмите производную от
координаты и скорости; это позволит вычислить указанные величины.
При вычислении пройденного пути будьте внимательны, скорость может менять направление. При построении графиков учтите из алгебры
у  f(х). Должно получиться. Трудно? Подходите, помогут.
7. Зависимость координаты тела от времени дается уравнением x  16 –
9ּt2  2ּt3. Найти среднее значение модуля скорости и величину среднего ускорения тела в интервале времени от 1 секунды до 4 секунд. Построить графики: х(t); υ(t); a(t). Уточните понятия средней скорости,
среднего ускорения (учебник, лекции); найдите уравнения скорости и
ускорения; придётся взять производную (по времени) от уравнения
координаты (х /(t)) и скорости ( υ/(t)). При построении графиков учтите
из алгебры у  f(х). Должно получиться.
8. Тело начинает падать со скоростью 16 м/с, находясь на высоте 200 м.
Через сколько времени тело достигнет земли, если начальная скорость
направлена: а) вверх; б) вниз. Записать уравнения скорости и перемещения – υ(t), h(t) – от времени. Показать, что скорость приземления в
обоих случаях одинакова, если не учитывать сопротивление воздуха.
Сделайте рисунок, лучше два (а, б); запишите уравнения перемещения
(h(t)); они позволят найти ответ на первую часть вопроса. Для ответа
на вторую часть, составьте уравнения скорости. Удачи.
9. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения
тела имеет вид: x  2  3ּt  0,1ּt3 (координата – в метрах, время – в секундах). Найти скорость и ускорение в моменты времени t  0 с и t 
10 с от начала движения? Постройте графики: х(t); υ(t); a(t). Уточните
понятия скорости и ускорения (учебник, лекции); найдите уравнения
скорости и ускорения; придётся взять производную от уравнения координаты (х /(t)) и скорости ( υ/(t)). При построении графиков учтите из
алгебры у  f(х). Должно получиться. Трудно? Подходите. Помогут.
10. Тело брошено под углом 30 о к поверхности Земли. Записать уравнения
скорости и перемещения  υh(t); h(t), если начальная скорость тела 15
м/с2. Какова максимальная высота подъёма тела? Сделайте рисунок;
учтите, тело движется в поле тяготения Земли. Придётся разложить
11.
12.
13.
14.
15.
вектор скорости на составляющие (вертикальную, горизонтальную);
учтите, вертикальная составляющая определяет высоту подъёма; если
учтёте влияние Земли, уравнение скорости позволит найти ответ на
вопрос. Придётся интегрировать. Удачи. Можете подойти с вопросами.
Скорость тела представлена выражением: υ  4 – t2. Найдите уравнение движения тела. Вычислите путь и перемещение тела через 3 секунды от начала движения. Постройте графики: х(t); υ(t); a(t). Сделайте рисунок; учтите, тело движется с ускорением. Найдите уравнение
перемещения; лучше через интегрирование. При вычислении пройденного пути будьте внимательны, скорость может менять знак. При
построении графиков учтите из алгебры у  f(х). Должно получиться.
Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением
S  A  Bּt  Cּ t 2  Dּt3; где С  0,14 м/с 2, D  0,01 м/с 3 . Найти уравнения скорости и ускорения тела от времени; через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 1 м/с 2? Постройте
графики: S(t); υ(t); a(t). Уточните понятия ускорения и скорости; придётся взять производную от уравнения перемещения и скорости. При
построении графиков учтите из алгебры у  f(х). Временной интервал
желательно взять одного масштаба. Подходите.
Мотоциклист, имея начальную скорость 10 м/с, начал двигаться с
ускорением 1 м/с 2. Записать уравнения скорости и перемещения от
времени – υ(t), S(t). За какое время он пройдет путь 192 м, и какую
скорость приобретет в конце пути? Постройте графики: S(t); υ(t).
Уточните понятия скорости и перемещения. Сделайте рисунок; учтите, тело движется с ускорением; запишите уравнение скорости.
Найдите уравнение перемещения; лучше через интегрирование. При
построении графиков учтите из алгебры у  f(х).
Длина пути автомобиля выражается уравнением S  10  10ּt  0,5ּt2
(путь – в метрах, время – в секундах). Найти скорость и ускорение автомобиля через пять секунд после начала движения. Постройте графики: S(t); υ(t); a(t). Уточните понятия скорости и ускорения (учебник,
лекции); придётся брать производную от уравнения перемещения и
скорости. При построении графиков учтите из алгебры у  f(х). Временной интервал желательно взять одного масштаба. Подходите.
Точка движется так, что зависимость пути от времени дается уравнением S  A  Bּt  Cּt2, где B  – 2 м/с, С  1 м/с2 . Найти скорость точки
и её ускорение через 3 с после начала движения. Постройте графики:
S(t); υ(t); a(t). Уточните понятия скорости и ускорения (учебник); придётся брать производную от уравнения перемещения и скорости. При
построении графиков учтите из алгебры у  f(х). Временной интервал
16.
17.
18.
19.
20.
желательно взять одного масштаба. Трудно? Подходите.
Мотоциклист, имея начальную скорость 20 м/с, начал двигаться с
ускорением – 1 м/с 2. Записать уравнения скорости и перемещения от
времени – υ(t), S(t). Какую скорость он приобретёт в конце пути? Постройте графики: S(t); υ(t). Уточните понятия скорости и перемещения
(учебник, лекции). Сделайте рисунок; учтите, тело движется с ускорением; запишите уравнение скорости. Найдите уравнение перемещения; лучше через интегрирование. При построении графиков учтите из
алгебры у  f(х). Если трудно, подходите. Помогут. Удачи.
Зависимость ускорения от времени дается уравнением a  0,1ּt. Найти
уравнения скорости и перемещения от времени. Постройте графики:
S(t); υ(t); a(t). Начальная скорость равна 1 м/с. В начальный момент
времени перемещение равно –3 м. Уточните понятия скорость и перемещение (учебник); запишите аналитически уравнение скорости, учитывая начальные условия; найдите уравнение перемещения, лучше через интегрирование; не забудьте начальную координату. При построении графиков учтите из алгебры у  f(х). Временной интервал желательно взять одного масштаба. Трудно? Подходите.
Камень бросили вверх на высоту 10 м. Найти зависимость уравнений
скорости и перемещения – υ(t), h(t) – от времени. Через сколько секунд камень окажется на высоте 10 м? Ускорение сводного падения
принять равным 10 м/с 2. Построить графики: υ(t); h(t). Сделайте рисунок; не забудьте, тело движется в поле тяжести земли. Уточните понятие скорости, учебник; запишите уравнение скорости. Найдите уравнение перемещения, лучше через интегрирование; не забывайте, максимальное перемещение известно. При построении графиков учтите из
алгебры у  f(х). Удачи в преобразованиях.
Закон движется материальной точки: S  10ּt – 0,1ּ t3 (путь в метрах,
время в секундах). Найти закон изменения скорости и ускорения точки. Чему равно ускорение точки через 2 с после начала движения. Постройте графики: S(t); υ(t); a(t). Уточните понятия скорости и ускорения (учебник); придётся брать производную от уравнения перемещения и скорости. При построении графиков учтите из алгебры у  f(х).
Временной интервал желательно взять одного масштаба. Трудно?
Подходите.
Частица движется в положительном направлении оси Х так, что её
скорость меняется по закону υ  aּ х , где а – положительная постоянная. В момент t  0 частица находилась в точке х  0. Найти положение и ускорение частицы как функции времени. Постройте графики:
х(t); а(t). Уточните понятие скорости, учебник; поскольку скорость
есть первая производная от координаты (х), естественно, можно раз-
21.
22.
23.
24.
делить переменные; разделили? Интегрируйте, учитывая начальные
условия, оговорённые в задаче. Далее, преобразуйте. Для нахождения
ускорения частицы как функция времени, уточните понятие ускорения. Придётся взять производную от координаты, дважды. При построении графиков учтите из алгебры у  f(х). Удачи.
С отвесной скалы падает камень. Через 6 секунд доносится звук удара
о землю. Найти зависимости скорости и перемещения от времени для
падающего камня. Какова зависимость пути от времени для распространяющегося звука? Определить высоту скалы. Скорость звука 320
м/с. Построить графики зависимости пути от времени для камня и
звука. Ускорение сводного падения принять равным 10 м/с 2. Сделайте
чертёж, уточните понятие скорости для движущегося камня; запишите
уравнение скорости. Для получения уравнения пути придётся взять
интеграл от уравнения скорости; это не единственная возможность.
Уточните в учебнике, как распространяется звук в воздухе, это поможет определить высоту скалы. При построении графиков учтите из алгебры у  f(х). Удачи. Трудно? Подходите.
Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движутся
прямолинейно в одном направлении. Зависимость пройденного ими
пути задается уравнениями S 1Aּt  Bּt2 и S2  Cּt  Dּ t 2  Fּ t3. Определить относительную скорость автомобилей. Сделайте чертёж, уточните понятие скорости (учебник); возьмите производную от уравнений
движения. Определяя относительную скорость, воспользуйтесь правилом сложения скоростей Галилея. Удачи.
В момент времени t  0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х. Её скорость меняется со временем по закону: ῡ  ῡо ּ (1  t/Т), где ῡо  вектор начальной скорости, модуль которого υ о  10,0 см/с, Т  5,0 с. Найти зависимость уравнения перемещения от времени  S(t). Чему равен путь S, пройденный частицей за
первые 4 с; построить графики S(t), ῡ(t). Уточните понятие скорости,
учебник; поскольку скорость есть первая производная от перемещения
(S), естественно, можно разделить переменные; разделили? Интегрируйте, учитывая начальные условия, оговорённые в задаче. Далее,
преобразуйте. При построении графиков учтите из алгебры у  f(х).
Удачи. Трудно? Подходите. Помогут.
Частица движется в положительном направлении оси Х так, что её
скорость меняется по закону υ  aּ х , где а – положительная постоянная. В момент t  0 частица находилась в точке х  0. Найти её скорость как функцию времени и среднюю скорость за время, в течение
которого частица пройдёт первые s метров пути. Уточните понятие
скорости, учебник; поскольку скорость есть первая производная от
координаты (х), естественно, можно разделить переменные; раздели-
ли? Интегрируйте, учитывая начальные условия, оговорённые в задаче. Далее, преобразуйте. Уточнив понятие средней скорости, можно
найти её величину. Удачи. Если трудно, подходите.
25. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону S  bt(1 –
αt), где b  постоянный вектор, α – положительная постоянная. Найти
скорость и ускорение частицы как функции времени. Постройте графики: υ(t); а(t). Уточните понятия скорости и ускорения; придётся искать первую и вторую производные. При построении графиков учтите
из алгебры у  f(х). Временной интервал желательно взять одного
масштаба. Если трудно, подходите. Помогут.
2. Кинематика вращательного движения
26. Тело брошено горизонтально со скоростью 15 м/с. Найти нормальное
и тангенцильное ускорения через 1 с после начала движения. Принять
ускорение свободного падения равным 10 м/с 2. Сопротивление не учитывать. Сделайте рисунок, лучше два: в начальный момент и через одну секунду; запишите уравнения движения по вертикали и горизонтали. Не забудьте, тангенциальное ускорение определяется полем тяготения; на рисунке это показали? Удачи. Если трудно, подходите.
27. Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая
скорость зависит от угла поворота  по закону:   o – , где o и
 – положительные постоянные. В момент времени t  0 угол   0.
Найти зависимость от времени угла поворота. Уточните понятие угловой скорости (учебник); запись её в дифференциальной форме подставьте в заданное уравнение (слева). Разделите переменные. Чтобы
воспользоваться «сборником математических формул» проведите замены: o  а,   –b. Найдите в «сборнике…» в интегральном исчислении стандартный интеграл, отражающий Вашу запись. Преобразуйте. Должно получиться. Не забудьте,   х. Трудно? Подходите.
28. Точка начинает движение по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти тангенциальное ускорение
точки, если к концу пятого оборота после начала движения скорость
точки стала 79,2 см/с. Сделайте чертёж, запишите уравнение угловой
скорости как функции времени; записали? Уточните понятие угловой
скорости через угол поворота в дифференциальном представлении;
подставьте в уравнение угловой скорости. Выразите приращение угла
поворота через угловую скорость и время; учтите из условия понятие
«начинает», что упростит приращение угла поворота. Переходите к
интегрированию. Получили школьное выражение? Учтите, угол поворота «чувствителен» к числу оборотов. Если учли, выражайте угловое
ускорение. Теперь рукой подать до тангенциального ускорения.
29. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 45 о к горизонту. Найти
30.
31.
32.
33.
34.
радиус кривизны траектории тела через 0,7 с после начала движения.
Сделайте рисунок. Запишите уравнения скорости по вертикали и горизонтали как функции времени; не забудьте: действие происходит в поле тяготения; разложить вектор скорости на составляющие; сопротивление отсутствует. Уточните понятие нормального ускорения и как
оно связано с радиусом кривизны и скоростью движения. Подходите.
Точка начинает движение по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Найти нормальное ускорение точки через 20 с после
начала движения, если к концу пятого оборота после начала движения
линейная скорость точки равна 10 см/с. Сделайте чертёж; запишите
уравнение угловой скорости, учитывая «…начинает движение». Уточните: связь нормального ускорения с угловым; связь угла поворота угловым ускорением. Не забудьте, угол поворота «чувствителен» к числу оборотов за указанное время; через это же время известно значение
линейной скорости; свяжите её с угловой скоростью. Преобразуйте.
Если трудно, подходите, помогут. Всё-таки четыре уравнения.
Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 45 о к горизонту. Найти
радиус кривизны траектории тела через 1 с после начала движения.
Сделайте рисунок. Запишите уравнения скорости по вертикали и горизонтали как функции времени; не забудьте: действие происходит в поле тяготения; разложить вектор скорости на составляющие; сопротивление отсутствует. Уточните понятие нормального ускорения; как оно
связано с радиусом кривизны и скоростью движения. Преобразуйте.
Колесо радиусом 0,2 м вращается с постоянным угловым ускорением
3,14 рад/с 2. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды
после начала движения угловую скорость; линейную скорость; тангенциальное ускорение; нормальное ускорение; полное ускорение.
Сделайте чертёж. Уточните понятия величин, которые необходимо
определить. Запишите через угловое ускорение выражение угловой
скорости; её связь с линейной. Установите связь тангенциального и
нормального ускорений через угловое ускорение (учебник). Уточните
понятие полного ускорения (учебник, записи). Подходите, помогут.
Колесо, вращающееся с частотой оборотов 1500 мин 1, при торможении стало вращаться равнозамедленно и остановилось через 30 с.
Найти число оборотов с момента начала торможения до остановки.
Постройте график зависимости угловой скорости от времени. Сделайте рисунок; запишите уравнения угловой скорости и угла поворота как
функции времени. Выполняя преобразования, не забудьте, угол поворота чувствителен к числу оборотов, колесо остановилось. Удачи.
Тело брошено со скоростью 15 м/с под углом 30 о к горизонту. Найти
нормальное и тангенциальное ускорения тела через 0,25 с после начала движения. Сделайте рисунок; разложите вектор скорости на состав-
35.
36.
37.
38.
ляющие по вертикали и горизонтали. Запишите уравнение скорости
через вертикальную и горизонтальную составляющие; уточните понятие тангенциального ускорения; возьмите производную от уравнения
скорости. Уточните выражение для нормального ускорения. Найдите
величину скорости (по уравнению скорости) в данный момент времени; учтите, скорость является касательной к траектории в данной точке. Радиус кривизны перпендикулярен к этой скорости. Отобразили на
чертеже? За нормальное ускорение «отвечает» поле тяготения. Спроектировав ускорение свободного падения на радиус кривизны, найдите
нормальное ускорение. Трудно? Подходите. Помогут.
Точка движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость пути от
времени дается уравнением S  0,1t3 (путь и время в системе СИ).
Найти нормальное и тангенциальное ускорения в момент, когда линейная скорость точки равна 0,3 м/с. Сделайте чертёж, уточните понятия нормальное и тангенциальное ускорения. Найдите уравнение линейной скорости как функцию времени. Учтите взаимосвязь нормального и тангенциального ускорений с линейной скоростью.
Вентилятор вращается с частотой 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов.
Сколько времени прошло с момента выключения до остановки? Постройте график зависимости угловой скорости от времени. Сделайте
рисунок; запишите уравнения угловой скорости и угла поворота как
функции времени. Выполняя преобразования, не забудьте, угол поворота чувствителен к числу оборотов, колесо остановилось. Удачи.
Камень брошен горизонтально со скоростью 10 м/с. Найти радиус
кривизны траектории и полное ускорение камня через 3 с после начала движения. Сделайте рисунок. Запишите уравнение скорости по вертикали как функцию времени; ускорение свободного падения принять
равным 10 м/с 2. Найдите величину скорости в указанный момент времени; учтите, скорость является касательной к траектории в данной
точке. Радиус кривизны перпендикулярен к этой скорости. Отобразили
на чертеже? Нормальное ускорение обусловлено полем тяготения.
Спроектировав ускорение свободного падения на радиус кривизны,
найдёте нормальное ускорение. Сопротивление отсутствует. Удачи.
Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени
дается уравнением S  A  Bt  Ct2, где B  –2 м/с, С  1 м/с 2. Найти
линейную скорость точки, ее тангенциальное, нормальное и полное
ускорения через 3 с после начала движения, если нормальное ускорение точки в момент времени 2 с равно 0,5 м/с 2. Уточните понятия: линейная скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения; запишите их аналитические уравнения; записали? Вычисляйте, должно
получиться. Будьте внимательны, уравнение нормального ускорения
придётся записать дважды. Удачи. Если трудно, подходите.
39. Тело брошено со скоростью v о под углом  к горизонту. Найти величины vо и , если наибольшая высота подъема тела 3 м, а радиус кривизны траектории тела в этой точке 3 м. Сделайте рисунок; запишите
уравнения перемещения и скорости по вертикали; записали? Выразите
максимальную высоту подъёма. Укажите на рисунке направление горизонтальной скорости в верхней точке траектории. Перпендикуляр к
вектору скорости является радиусом кривизны, а нормальным ускорением является ускорение свободного падения. Преобразование ура внений позволяет найти угол. Если вернуться к уравнению нормального ускорения, можно найти значение начальной скорости. Удачи.
Трудно? Подходите.
40. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 2 рад/с 2. Через
0,5 с после начала движения полное ускорение колеса стало равно 13,6
см/с2. Найти радиус колеса. Сделайте чертёж; уточните понятия тангенциального, нормального и полного ускорений; запишите для них
аналитические выражения через угловое ускорение. Преобразуйте.
41. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса
от времени дается уравнением   A  Bּt  Cּt2  Dּt3, где B  1 рад/с, С
 1 рад/с 2, D  1 рад/с 3. Найти радиус колеса, если известно, что к
концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, равно 3,46 м/с 2. Сделайте чертёж. Уточните понятия: нормальное ускорение, угловое ускорение, угловая скорость.
Придётся дифференцировать. Преобразуйте. Если трудно, подходите.
42. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону   aּt –
bּt3, где а  6 рад/с, b  2 рад/с 3. Найти средние значения углового
ускорения за промежуток времени от t  0 до остановки. Сделайте
чертёж; уточните понятие углового ускорения. Придётся брать производную; нашли аналитическое выражение для углового ускорения?
Уточните понятие «среднего»; сделали? Из условия «остановилось»
найдите время остановки. Подставляйте в понятие среднего. Постройте график зависимости углового ускорения от времени. Подходите.
43. Тело вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте 40
об/мин. С некоторого момента оно движется равноускоренно и, совершив 20 оборотов, вращается с частотой 120 об/мин. Найти угловое
ускорение и время, в течение которого изменялась частота. Сделайте
рисунок; уточните понятие угловой скорости; запишите для неё аналитическое выражение через угловое ускорение. Сделайте формализованную запись для угла поворота чрез угловую скорость и угловое
ускорение. У вас два уравнения, преобразуйте. Не забудьте, угол поворота «чувствителен» к числу оборотов. Удачи.
44. Фонарь, находящийся на расстоянии R o  3 м от вертикальной стены,
бросает на нее "зайчик". Фонарь равномерно вращается около верти-
45.
46.
47.
48.
49.
кальной оси. Частота оборотов фонаря равна   0,5 с1 . При вращении
фонаря зайчик бежит по стене вдоль горизонтальной прямой. Найти
скорость зайчика через t  0,1с после того, как луч света был перпендикулярен к стене. Сделайте чертёж; аналитически выразите путь,
проходимый «зайчиком», через расстояние до стены и угол поворота.
Берите производную, должно получиться. Если трудно, подходите.
Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол  его поворота зависит от времени как   αt2 , где α  0,2 рад/с 2 . Найти полное
ускорение a точки А на ободе колеса в момент t  2,5с, если линейная
скорость точки А в этот момент υ  0,65м/с. Сделайте чертёж; уточните понятия тангенциального, нормального и полного ускорений; запишите для них аналитические выражения через угловое ускорение.
Линейная скорость позволяет определить радиус точек на ободе колеса; уравнение её желательно держать перед глазами. Осталось провести преобразования. Удачи. Если трудно, ответим на вопросы.
Снаряд вылетел со скоростью υ  320 м/с, сделав внутри ствола n  2
оборота. Длина ствола ℓ  2 м. Считая движение снаряда в стволе
равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в
момент вылета. Сделайте чертёж; уточните движение снаряда в стволе. Запишите для движущегося снаряда уравнения скорости и перемещения при поступательном движении. Придётся записать уравнение и
для угла поворота снаряда, не забывая, что угол поворота может быть
связан через число оборотов. Удачи в преобразованиях.
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону   aּt –
bּt3, где а  6 рад/с, b  2 рад/с 3. Найти угловое ускорение в момент
остановки тела. Сделайте чертёж; уточните понятия угловой скорости,
углового ускорения. Запишите их в аналитической форме; придётся
брать производную. Попробуйте осознать слова «…момент остановки…»; сделайте формализованную запись этих слов, что позволит
найти время остановки. Подставьте это время в аналитическое уравнение углового ускорения. Трудно? Подходите. Помогут.
Твёрдое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым
ускорением   bּt, где b  2ּ 102рад/с 3. Через сколько времени после
начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела
будет составлять угол  = 60 с её вектором скорости? Сделайте чертёж. Запишите уравнения линейной и угловой скоростей как функции
времени; придётся интегрировать. Найдите уравнения для нормального и тангенциального ускорений как функции времени. Установите,
через чертёж, как может быть связан угол α с тангенциальным и нормальным ускорением (учебник).
Tочка движется по окружности со скоростью υ  αּt, где α  0,5 м/с 2.
Найти её полное ускорение в момент, когда она пройдёт n  0,1 длины
окружности после начала движения. Сделайте чертёж. Найдите уравнения для нормального и тангенциального ускорений как функции
времени. Не забудьте записать уравнение пройденного пути как функцию времени и учесть, что он составляет некую часть длины окружности. У Вас три уравнения, преобразуйте. Удачи. Подходите.
50. Твёрдое тело вращается с угловой скоростью   aּtּi  bּt2ּj, где a  5
рад/с2, i и j – орты осей Х и У. Найти угол α между векторами углового ускорения β и угловой скорости  в момент, когда β  10 рад/с 2.
Уточните понятия: угловая скорость; угловое ускорение, запишите его
аналитическое выражение с учётом определения; найдите  и β из
данных задачи (в общем виде, через проекции); на графике   (х,у)
(одном) отобразите их зависимость в момент времени, когда β  10
рад/с2. Из графика должно следовать, для нахождения α можно воспользоваться косинусом или синусом разности углов, соответственно,
для угловой скорости и углового ускорения. В преобразованиях придётся потрудиться. Удачи. Подходите.
3. Уравнения динамики. Закон сохранения импульса
51. Плот массы  с человеком массы m покоится на поверхности пруда.
Относительно плота человек совершает перемещение ś со скоростью
ú(t) и останавливается. Пренебрегая сопротивлением воды, найти горизонтальную составляющую силы, с которой человек действовал на
плот в процессе движения. Сделайте чертёж. Запишите 3-й закон Ньютона. Для нахождения ускорения, запишите закон сохранения импульса. Учтите, скорость может быть представлена через перемещение.
52. На горизонтальной поверхности с коэффициентом трения μ лежит тело массы m. В момент t  0 к нему приложили горизонтальную силу,
зависящую от времени как F  bt, где b – постоянный вектор. Найти
путь, пройденный телом за первые t секунд действия силы. Сделайте
чертёж. Запишите 2-й закон Ньютона. Учтите, что скорость, а вместе с
ней и пройденный путь, будут зависеть от времени лишь после начала
движения.
53. На краю покоящейся тележки массы М стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью u относительно тележки друг за другом. Сделать чертёж. Записать закон сохранения импульса.
54. Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывно
струю газа со скоростью u, постоянной относительно ракеты. Найти
скорость ракеты ῡ в момент, когда её масса равна m, если в началь-
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
ный момент она имела массу m о и её скорость была равна нулю. Сделайте чертёж. Запишите уравнение динамики тела переменной массы.
На краю покоящейся тележки массы М стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найдите, в каком случае скорость тележки будет больше после того, как оба человека
спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью u относительно
тележки: 1) одновременно; 2) друг за другом. Сделайте чертёж. Запишите закон сохранения импульса.
Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F, совпадающей по направлению с ее вектором скорости. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью μ (кг/с). Найти скорость ῡ тележки в момент времени t, если в момент t  0 тележка с песком имела массу m о и ее скорость была равна нулю. Трением пренебречь. Сделайте чертёж. Запишите 2-й закон Ньютона. Учтите понятия импульса силы и импульса
тела.
В лодке массой 240 кг стоит человек массой 60 кг. Лодка плывет со
скоростью 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью 4 м/с относительно лодки. Найти скорость движения лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает
вперед по движению лодки; 2) человек прыгает в сторону, противоположную движению лодки. Сделайте чертёж. Запишите закон сохранения импульса.
Молекула массой 4,65ּ10–23 кг, летящая со скоростью 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом 60 градусов к нормали и под таким же
углом упруго отскакивает от нее. Найти импульс силы, полученный
стенкой за время удара. Сделайте чертёж. Запишите 2-й закон Ньютона. Воспользуйтесь понятием импульса.
На тело массой m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в
момент t  0 начала действовать сила, зависящая от времени как F 
kt, где k  постоянная. Направление этой силы всё время составляет
угол α с горизонтом. Найдите путь, пройденный телом к моменту отрыва от плоскости. Сделайте чертёж. Записывая 2-й закон Ньютона,
учтите направление действующей силы. Не забудьте также, что сила F
«чувствительна» ко времени. Возможно, придётся интегрировать.
Стальной шарик массой 20 г, падая с высоты 1 м на стальную плиту,
отскакивает от нее на высоту 81 см. Найти силу удара, если время взаимодействия шарика с плитой 0,05 с. Сделайте чертёж. Запишите 2-й
закон Ньютона. Учтите понятие импульса.
Пуля массой 9 г, летящая со скоростью 500 м/с, попадает в доску,
установленную перпендикулярно направлению полета пули, и углубляется в нее на 6 см. Определить среднюю силу сопротивления доски
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
движению пули. Сделайте чертёж. Записывая уравнения кинематики,
учтите характер движения пули. Не помешает 2-й закон Ньютона.
Две пружины жесткостью 0,5 кН/м и 1 кН/м скреплены параллельно.
Система имеет абсолютную деформацию 4 см. Определить величину
деформации при последовательном соединенных пружин, если растягивающее усилие остаётся неизменным. Сделайте чертёжи, указывая
действующие силы. Запишите 2-й закон Ньютона. Решите полученную
систему уравнений.
Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью 2 м/с, прошел
до полной остановки расстояние 20,4 м. Найти коэффициент трения
камня по льду. Сделайте чертёж. Запишите уравнения кинематики поступательного движения и 2-й закон Ньютона. Учтите природу возникающей силы.
На горизонтальной поверхности находится доска массой m 2, на которой лежит брусок массой m 1. Коэффициент трения бруска о поверхность доски равен μ. К доске приложена горизонтальная сила F, зависящая от времени по закону F  Aּt, где А – некоторая постоянная.
Определить момент времени t о, когда доска начнет выскальзывать изпод бруска. Сделайте чертёж. Запишите 2-й закон Ньютона, учитывая,
что система отсчёта не является инерциальной.
Снаряд, летящий со скоростью υ, разрывается на два осколка массами
m1 и m2 , разлетающиеся под углом  со скоростями u 1 и u 2. Определить угол , если υ  750 м/с; m1  45 кг; m2  17 кг; u 1  710 м/с;
u2 = 900 м/с. Сделайте чертёж, запишите закон сохранения импульса.
Возможно, придётся учесть два взаимно перпендикулярных направления, что должно облегчит формализованные преобразования.
Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F, совпадающей по направлению с ее вектором скорости. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью μ (кг/с). Найти ускорение тележки в момент t, если в момент t  0 тележка с песком имела массу m о и ее скорость была
равна нулю. Трением пренебречь. Сделайте чертёж. Запишите 2-й закон Ньютона. Учтите понятия импульса силы и импульса тела.
На гладкой горизонтальной поверхности находятся два бруска массами m1 и m2, которые соединены нитью. К брускам в момент t  0 приложили силы, противоположно направленные и зависящие от времени
как F1  α1 ּt и F 2  α2ּ t. Найти, через сколько времени нить порвётся,
если сила натяжения на разрыв равна F пр . Сделайте чертёж. Запишите
2-й закон Ньютона. Не забудьте, брусков два. Возможна система уравнений.
На тело массой m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в
момент t  0 начала действовать сила, зависящая от времени как F 
69.
70.
71.
72.
73.
kּt, где k – постоянная. Направление этой силы всё время составляет
угол α с горизонтом. Найдите скорость тела в момент отрыва от плоскости. Сделайте чертёж. Записывая 2-й закон Ньютона, учтите
направление действующей силы. Не забудьте также, что сила F «чувствительна» ко времени. Возможно, придётся интегрировать.
Тело массы m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью
υ. Найти приращение импульса Δp тела за первые t секунд движения.
Сделайте чертёж. Воспользуйтесь понятием импульса.
Частица 1 столкнулась с частицей 2, в результате чего возникла составная частица. Найти модуль её скорости, если масса частицы 2 в
u  2 раза больше, чем частицы 1, а их скорости перед столкновением
υ1  2i  3j и υ2  4i – 5j, где компоненты скорости в СИ. Сделайте
чертёж. Разберитесь с компонентами скоростей. Запишите закон сохранения импульса.
Тело массы m пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей
угол α с горизонтом. Начальная скорость тела равна υо , коэффициент
трения между телом и плоскостью k. Какой путь пройдёт тело до
остановки? Сделайте чертёж. Записывая 2-й закон Ньютона, учтите
направления действующих сил. Переходя к интегрированию, не забудьте найти верхний предел изменения времени.
Материальная точка массой 1 кг, двигаясь равномерно, описывает
четверть окружности радиусом 1,2 м. в течение 2 с. Найти изменение
импульса точки. Чему равно изменение импульса точки, когда она
вернётся в начальное положение? Сделайте чертежи. Воспользуйтесь
понятиями импульса, изменение импульса.
При взлёте ракета выпускает непрерывную струю газа, вылетающую
из сопла со скоростью u относительно ракеты. Расход газа равен 
кгсек–1. Показать, что уравнение движения ракеты имеет вид: mּ
d
d
dt

F –  u. Здесь m – масса ракеты в данный момент, dt – её ускорение,
F – внешняя сила (сила тяжести и не только). Сделайте чертёж. Воспользуйтесь понятиями импульса и изменение импульса. Возможно,
придётся пренебречь бесконечно малыми второго порядка.
74. Цепочка массы m  1 кг и длины ℓ  1,4 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала
столу. Сделайте чертёж. Воспользуйтесь понятием импульса. Выражая
импульс элементарной массы, учтите, что её (элементарной массы)
положение определяет конечную скорость этого элемента массы. Такой подход связывает импульс элемента массы как с положением, так
и с его приращением, задающим элемент массы. Придётся интегриро-
вать. Удачи
75. Имеется кольцо из тонкой проволоки, радиус которого равен r. Найти
силу, с которой это кольцо притягивает материальную точку массой
m, находящуюся на оси кольца на расстоянии L от её центра. Радиус
кольца R, плотность материала проволоки равна ρ. Сделайте чертёж.
По-видимому, придётся разбить кольцо на элементарные массы, что
неизбежно ведёт к интегрированию. Однако возможно от этого уйти.
Думайте. Удачи.
4. Динамика вращательного движения
76. Тонкостенный цилиндр диаметром 30 см и массой 12 кг вращается
так, что зависимость угла поворота от времени имеет вид:   4 – 2ּ t 
0,2ּt3 (время – в секундах, угол – в радианах). Определить действующий на цилиндр момент сил в момент времени 3 с. Сделайте чертёж.
Запишите закон динамики вращательного движения. Не забудьте, в
законе с одной стороны – причина, с другой – последствия. Последствия определяются способностью цилиндра препятствовать (момент
инерции) изменению угловой скорости при вращательном движении.
77. Однородный стержень длиной 1 м и массой 0,5 кг вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через середину стержня. Вращающий момент равен 0,098 Нм. Найти угловое ускорение.
Сделайте чертёж. Запишите закон динамики вращательного движения.
В законе с одной стороны – причина, с другой – последствия. Последствия определяются «способностью» стержня (момент инерции) «препятствовать» изменению угловой скорости при вращательном движении. Удачи.
78. К ободу однородного диска радиусом 20 см приложена постоянная касательная сила 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил
трения 5 Нм. Найти массу диска, если его угловая скорость вращения
задаётся уравнением ω  A  8ּ t (время дано в секундах, угловая скорость в – рад/с). Сделайте чертёж. Запишите закон динамики вращательного движения. При нахождении вращающего момента учтите алгебраическую сумму сил. Момент инерции диска можно вычислить
или воспользоваться уже готовым выражением. Учтите связь угловой
скорости с угловым ускорением.
79. Вал в виде сплошного цилиндра массой 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого
подвешена гиря массой 1,5 кг. С каким ускорением будет опускаться
гиря, если её предоставить самой себе? Сделайте чертёж. Запишите
уравнение динамики вращательного движения. Учтите связь ускорения при поступательном движении с угловым ускорением.
80. Тонкостенный цилиндр с диаметром основания 30 см и массой 12 кг
81.
82.
83.
84.
85.
вращается согласно уравнению     ּt  сּ t3, где   4 рад;   2
рад/с; с  0,2 рад/с 3. Определить действующий на цилиндр момент
сил в момент времени 3 с. Сделайте чертёж. Запишите уравнение динамики для вращательного движения. Момент инерции цилиндра
можно вычислить или воспользоваться уже готовым выражением.
Учтите связь угла поворота с угловым ускорением.
Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением   0,4 рад/с 2. Определить кинетическую энергию
маховика через время t 2  25 с после начала движения, если через t 1
 10 с после начала движения момент импульса L 1 маховика составлял
60 кгм2/с. Сделайте чертёж. Запишите выражения для кинетической
энергии и момента импульса.
Колесо радиусом R  30 см и массой m  3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной L  5 м и углом наклона   30°. Определить
момент инерции колеса, если его скорость  в конце движения составляла 4,6 м/с. Сделайте чертёж. Воспользуйтесь законом сохранения энергии. Учтите, колесо участвует как во вращательном, так и поступательном движении.
Вентилятор вращается с частотой ν  600 об/мин. После выключения
он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) момент инерции J вентилятора. Сделайте
чертёж. Запишите уравнения работы и энергии для вращательного
движения. Записывая уравнение угла поворота, не забудьте характер
движения. Придётся смириться с операцией интегрирования.
Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной
оси с частотой 0,24 с 1. На краю платформы стоит человек. Когда он
перешёл в центр платформы, частота возросла до 0,42 с 1. Масса человека 70 кг. Определить массу платформы. Какую работу совершает
человек при переходе от края платформы к её центру? Человека рассматривать как материальную точку. Сделайте чертёж. Учтите, система замкнутая. Осознайте, на что расходуется работа человека при переходе. Это легче сделать, если записать закон динамики для вращательного движения.
Деревянный стержень с массой m  1000 г и длиной ℓ  40см может
вращаться около оси, проходящей через его середину перпендикулярно к стержню. В конец стержня попадает пуля с массой m1  10 г, летящая перпендикулярно к оси и к стержню со скоростью υ  200 м/с.
Определить угловую скорость, которую получит стержень, если пуля
застрянет в нём. Сделайте чертёж. Система замкнутая, что при этом
следует из закона динамики для вращательного движения?
86. Платформа в виде диска диаметром 3 м и массой 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет
вращаться эта платформа, если по её краю пойдёт человек массы 70 кг
со скоростью 1,8 м/с относительно платформы. Сделайте чертёж.
Учтите, что система замкнутая.
87. Маленькие шарики массами m 1 и m 2 (m 1>m 2) находятся на концах
стержня длины ℓ и массы m, который может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Угловая скорость стержня при прохождении через вертикальное
положение равна . Определить угловую скорость , если m 1  120 г;
m 2  75 г; m  250 г; ℓ  65 см. Сделайте чертёж. Запишите уравнение
динамики для вращательного движения.
88. Однородная тонкая квадратная пластинка со стороной ℓ и массы М
может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси,
совпадающей с одной из её сторон. В центр пластинки по нормали к
ней упруго ударяется шарик массы m со скоростью υ. Найти скорость
шарика υ/ сразу после удара. Сделайте чертёж. Не избежать законов
сохранения момента импульса и энергии при нахождении скорости
пластинки после удара. Будьте внимательны, при взаимодействии
проявляются как момент импульса поступательного, так и вращательного движений. Энергия не исключение. Есть другой подход. Удачи.
89. Маховик, имеющий массу 50 кг, был раскручен до частоты 480 об/мин
и предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик остановился. Найти момент сил трения, считая его постоянным, если маховик до полной остановки сделал 200 оборотов. Радиус маховика в виде
диска 20 см. Сделайте чертёж. Запишите уравнения динамики и кинематики для вращательного движения.
90. На барабан радиусом R  0,5 м, момент инерции которого Ј  0,1 кгм2,
намотан шнур, к которому привязан груз массой 0,5 кг. До начала
вращения барабана высота груза над полом равна 1 м. Найти кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Трением пренебречь.
Сделайте чертёж. Запишите уравнения динамики и кинематики как
для вращательного, так и для поступательного движений.
91. Нить с привязанными к её концам грузами массой 50 г и 60 г перекинута через блок диаметром 4 см. Определить момент инерции блока,
если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение 1,5 рад/с 2. Сделайте чертёж. Запишите уравнения динамики для
поступательного и вращательного движения. Установите связь угловых кинематических характеристик с линейными кинематическими.
92. Цилиндрический вал радиусом 10 см и массой 200 кг вращается по
инерции, делая 5 об/с. К поверхности вала прижали тормозную колод-
93.
94.
95.
96.
97.
98.
ку с силой 40 Н. Через 20 с вал остановился. Определить коэффициент
трения. Сделайте чертёж. Запишите уравнения динамики и кинематики для вращательного движения.
Маховик массой 5 кг вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. При торможении маховик останавливается через
20 с. Найдите тормозящий момент сил и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки, если начальная частота 12 об/с.
Массу маховика считать равномерно распределенной по ободу радиусом 20 см. Сделайте чертёж. Запишите уравнения динамики и кинематики для вращательного движения.
На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром 0,8 м. и массой
6 кг стоит человек массой 60 кг. С какой угловой скоростью начнёт
вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой
0,5 кг со скоростью 10 м/с? Мяч летит горизонтально, а траектория его
проходит на расстоянии 0,4 м. от оси скамьи. Сделайте чертёж. Уточните, является ли система замкнутой. Будьте внимательны при записи
моментов инерции системы.
Вертикальный столб высотой h  5 м подпиливается у основания и падает на Землю. Определить линейную скорость его верхнего конца в
момент удара о Землю. Сделайте чертёж. Учтите закон сохранения
энергии и её переход из одного вида в другой. Будьте аккуратнее с
вычислением момента инерции столба. Учтите связь угловой и линейной скоростей.
На скамье Жуковского сидит человек и держит в вытянутых руках гири по 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи
70 см. Скамья вращается с частотой 1,2 с 1. Как изменится частота
вращения скамьи, и какую работу произведёт человек, если сожмёт
руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до 20 см?
Момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения равен
2,5 кгм2. Ось вращения проходит через центр масс человека и скамьи.
Сделайте чертёж. Является ли система замкнутой? Будьте внимательны при записи моментов инерции системы; закона сохранения энергии. Удачи в преобразованиях.
На концах однородного цилиндра массы m и радиуса R намотана нить
(тонкая и невесомая). Свободные концы нитей прикреплены к потолку. В момент времени t  0 цилиндр начинает опускаться под действием силы тяжести. Найти натяжение нитей, если m  8 кг и R  1,3 см.
Сделайте чертёж. Запишите уравнения динамики вращательного и поступательного движений. Не забудьте, цилиндр висит на двух нитях.
Через блок, укрепленный на горизонтальной оси, проходящей через
его центр, перекинута нить. К концам нити прикреплены грузы 300 г и
200 г. Масса блока 300 г, блок считать однородным диском. Найти
ускорение грузов. Сделайте чертёж. Запишите уравнения динамики и
кинематики для вращательного движения.
99. Однородный диск радиуса 20 см имеет круглый вырез в центре. Масса
оставшейся части диска 7,3 кг. Найти момент инерции такого диска
относительно оси, проходящей через его центр инерции и перпендикулярной плоскости диска. Сделайте чертёж. Найдите уравнение для
нахождения момента инерции. Интегрирования не избежать. Будьте
внимательны в преобразованиях. Не забывайте условие задачи.
100. На концах однородного цилиндра массы m и радиуса R намотана нить
(тонкая и невесомая). Свободные концы нитей прикреплены к потолку. В момент времени t  0 цилиндр начинает опускаться под действием силы тяжести. Найти угловое ускорение цилиндра, если m  8 кг и
R  1,3 см. Сделайте чертёж. Запишите уравнения динамики для вращательного движения.
5. Работа. Мощность. Энергия. Законы сохранения
101. Льдина площадью поперечного сечения S  1,5 м2 и высотой Н  0,4 м
плавает в воде. Какую работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду? Сделайте чертёж. После приложения силы
льдина начнёт погружаться в воду. Выразите математически величину
этой силы, совершающей работу. Делая преобразования, не забудьте
учесть состояние равновесия (плавания) льдины. Записав элементарную работу, переходите к интегрированию. Не забудьте уточнить пределы интегрирования. Льдина плавала.
102. Какую работу надо совершить, чтобы удалить тело массой 1 кг с поверхности Земли в бесконечность? Сделайте чертёж. Уточните, какую
силу придётся преодолевать. Запишите уравнение элементарной работы. Придётся интегрировать. Уточните пределы интегрирования.
103. Две пружины жесткостью 0,5 кН/м и 1 кН/м могут быть соединены
параллельно и последовательно. При каком соединении пружин потенциальная энергия системы минимальна, если её абсолютная деформация 4 см. Сделайте чертёж. Найдите выражение для потенциальной энергии соответствующей системы.
104. Самолёт массой 2 тонны летит на высоте Н  500 м со скоростью υ1 
80 м/с. Выключив двигатель, лётчик в планирующем полёте касается
поверхности земли со скоростью υ2  40 м/с. Определить работу сил
сопротивления во время спуска самолёта. Сделайте чертёж(и). Почему
уменьшилась скорость и куда исчезла высота? Воспользуйтесь понятиями работы и энергии.
105. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так,
что они соприкасаются. Масса первого шара 0,2 кг, второго 0,1 кг.
Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на
высоту 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после
соударения, если удар упругий? Сделайте чертёж(и). Учтите законы
сохранения импульса и энергии.
106. Трубка с каплей эфира подвешена на легком стержне длиной 1 м. С
какой скоростью должна вылететь пробка после нагревания эфира,
чтобы трубка сделала полный оборот в вертикальной плоскости? Масса пробки 20 г, масса трубки 100 г. Сделайте чертёж(и). Уточните, что
означает для трубки «сделать полный оборот». Запишите законы сохранения импульса и энергии.
107. Шар, двигавшийся горизонтально, столкнулся с неподвижным шаром
и передал ему 64% своей кинетической энергии. Шары абсолютно
упругие, удар прямой, центральный. Во сколько раз масса второго
шара больше массы первого? Сделайте чертёж(и). Запишите законы
сохранения импульса и энергии.
108. Молот массой 5 кг ударяет по небольшому куску железа, лежащему на
наковальне. Масса наковальни 100 кг. Удар абсолютно неупругий.
Определить КПД удара молота при данных условиях. Массой куска
железа пренебречь. Сделайте чертёж. Запишите закон сохранения и мпульса. Уточните понятие КПД.
109. Тело массой 0,5 кг бросили под углом 45 о к горизонту. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за время подъёма на максимальную высоту. Сделайте чертёж(и). Уточните понятия мощности
(средней) и максимальной высоты подъёма.
110. Материальная точка с массой m  2 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению х  10 – 2t  t2 – 0,2t3. Найдите мощность затрачиваемую на движение точки в моменты времени t 1  2 с и
t2  5 с. Сделайте чертёж. Уточните понятие мощности.
111. Какую максимальную часть своей кинетической энергии T может передать частица массой m 1  21022 г, сталкиваясь упруго с частицей
массой m2  61022 г, которая до столкновения покоилась. Сделайте
чертёж. Запишите законы сохранения импульса и энергии. Не забуд ьте осознать, что такое часть.
112. Копром забивают сваю массой m1 в грунт на глубину S при каждом
ударе. Средняя сила сопротивления грунта F. Подъемная часть копра
груз массы m2, свободно падающий на сваю с высоты h. Определить
высоту h, если m1  120 кг; S  6 см; F  180 кН; m2  670 кг. Сделайте чертёж(и). Запишите законы сохранения импульса и энергии. Не
забудьте уточнить понятие работы.
113. На барабан радиусом 20 см и массой 5 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом равна 1 м. Найдите кинетическую энергию бараб а-
на и груза в момент удара его о пол. Сделайте чертёж. Запишите уравнения динамики и кинематики как для вращательного, так и поступательного движений.
114. Материальная точка массы m движется по окружности радиуса R с
нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону
an  γt2, где γ – постоянная. Найти зависимость мощности от времени
всех сил, действующих на эту точку. Сделайте чертёж. Определитесь,
на что расходуется развиваемая мощность, и запишите аналитическое
выражение. Не забудьте классическое выражение для нормального
ускорения. Должно помочь.
115. Небольшое тело массы m  1 кг находится на горизонтальной поверхности в точке О. Телу сообщили горизонтальную скорость υо  1,5
м/с. Найти среднюю мощность, развиваемую силой трения за всё время движения, если коэффициент трения µ  0,27. Сделайте чертёж.
Найдите аналитическое выражение для работы силы трения. Внимательно отнеситесь к понятию «средняя мощность».
116. На однородный сплошной цилиндр массы М и радиусом R плотно
намотана лёгкая нить, к концу которой прикреплено тело массы m.
Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени
кинетической энергии системы  T(t). Сделайте чертёж. Запишите
уравнения динамики и кинематики для вращательного и поступательного движений. Несложных преобразований в меру. Дерзайте.
117. В центр шара массой 5 кг и радиусом 5 см, висящий на невесомой нерастяжимой нити длиной 10 см, попадает пуля массой 10 г, летящая
горизонтально со скоростью 500 м/с, и застревает в нём. На какую высоту поднимется центр шара с застрявшей пулей? Сделайте чертёж(и).
Запишите закон сохранения импульса. Уточните, на что расходуется
приобретённая энергия в результате неупругого соударения.
118. Однородный стержень массой 12 кг и длиной 1 м может вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Во второй свободно висящий конец попадает пуля массой 10 г,
летящая горизонтально со скоростью 500 м/с, и застревает в нем. На
какой угол отклонится стержень от вертикали? Сделайте чертёж(и).
Запишите закон сохранения импульса. Уточните, на что расходуется
приобретённая энергия в результате неупругого соударения.
119. Тонкостенный цилиндр диаметром 30 см и массой 12 кг вращается
так, что зависимость угла поворота от времени имеет вид:   4 – 2t +
0,2t3 (время – в секундах, угол – в радианах). Определите зависимость
мощности от времени всех сил, действующих на эту точку. Чему равна мгновенная мощность в момент времени t  3 с. Сделайте чертёж.
Запишите уравнения динамики и кинематики для вращательного дви-
жения. Уточните понятия мощности и мгновенной мощности.
120. Якорь мотора делает 1500 об/мин. Определите вращающий момент,
если мотор развивает мощность 500 Вт. Сделайте чертёж. Уточните
аналитическое выражение для работы при вращательном движении.
Не будет лишним и уравнение для угла поворота в кинематике вращательного движения.
121. Гладкий лёгкий горизонтальный стержень АВ может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне
находится небольшая муфточка массы m, соединённая невесомой
пружинкой длины ℓo с концом А. Жёсткость пружинки равна k. Какую
работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до
угловой скорости ? Сделайте чертёж(и). Уточните, на что расходуется совершаемая работа. Что означают слова «гладкий», «лёгкий»?
122. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид
U
a
b

r где a и b  положительные постоянные, r – расстояние от
r
2
центра поля. Найти максимальное значение силы притяжения. Уточните аналитическую связь между энергией и силой. Не забудьте правило нахождения условия максимума функции.
123. Локомотив массы m начинает двигаться от станции так, что его скорость меняется по закону   s , где α  постоянная, s – пройденный путь. Найти мгновенную мощность всех сил, действующих на локомотив, в момент времени t после начала движения. Учтите, работа
локомотива направлена на изменение энергии движения. Из условия
задачи следует, необходимо связать скорость с изменением пути. Разделение переменных позволяет найти зависимость пройденного пути
от времени. Здесь уже недалеко и до функциональной зависимости
скорости от времени. Осталось установить связь мгновенной мощности с совершённой работой за время t.
124. Частица движется вдоль оси Х под действием постоянной силы поля
Fх  αх – βх2, где α  8 Н/м, β  6 Н/м2. Найти координату хо точки, в
которой потенциальная энергия частицы такая же, как в точке х  0.
Условие задачи вынуждает установить связь между силой и энергией.
Поскольку F х(t) известно, это даёт надежду на установление зависимости потенциальной энергии от координаты точки поля. Выполняя
математическую операцию интегрирования, учтите начальные условия. Это облегчит нахождение потенциальной энергии в точке х  0.
После этого поиск хо не составит труда.
125. Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскости ху из точки 1 с радиус-вектором r1  i  2j в точку 2 с радиусвектором r2  2i  3j. При этом на неё действовали некоторые силы,
одна из которых F  3i  4j. Найти работу, которую совершила сила
F. Здесь r 1, r2 , F – в СИ. Представьте декартову систему координат (на
плоскости). Изобразите радиус-вектора r1, r2 и силу F. Воспользуйтесь
аналитической записью для работы. Потрудитесь найти углы.
6. Гармонические колебания: кинематика, динамика, маятники
126. Некоторая точка движется вдоль оси Х по закону х  Аsin2( t  π/4).
Найти амплитуду и период колебаний; изобразить график х(t). Данное
в условии задачи уравнение необходимо привести к каноническому
(простейшему) виду. Воспользуйтесь тригонометрическими преобразованиями. Построение графика стандартно.
127. Обруч диаметром 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период
этих колебаний. Сделайте чертёж. Найдите уравнение, отражающее
период колебаний твёрдого тела. Уточните, как вычисляется момент
инерции обруча, куда приложена к обручу возвращающая сила.
128. Некоторая точка движется вдоль оси Х по закону х  Аsin2( t  π/4).
Найти проекцию скорости υх как функцию координаты х; изобразить
график υх(х). Данное в условии задачи уравнение необходимо привести к каноническому (простейшему) виду. Воспользуйтесь тригонометрическими преобразованиями. Не забудьте, как связана скорость с
перемещением. Построение графика стандартно.
129. Период затухающих колебаний Т  4 с, логарифмический декремент
затухания   1,6. Начальная фаза равна нулю. Смещение точки из положения равновесия в момент времени t  T/4 равно 4,5 см. Написать
уравнение этого колебания х(t). Найдите уравнение динамики затухающих колебаний (учебник, лекции). Уточните закон, по которому
осуществляются затухающие колебания, смысл понятия «логарифмический декремент» затухания. Смещение в момент времени Т/4 позволяет найти максимальное отклонение от положения равновесия.
130. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями х  2sin(ωt); у  – соs(ωt) (смещения даны в сантиметрах). Найти уравнение траектории точки и построить ее на чертеже. Показать направление движения точки. Определить скорость и ускорение точки в момент t  0,5 с. Уточните понятие «уравнение траектории». Придётся преобразовать систему уравнений к каноническому виду у(х). Построение графика стандартно. При
нахождении кинематических характеристик скорости и ускорения
уточните их связь с координатой.
131. Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле, где её
потенциальная энергия зависит от координаты x как U(x)  Uo(1 –
соs(αх)), где Uo и α – некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия. Зависимость потенциальной энергии от координаты определяется законом изменения силы,
что позволяет найти зтот закон. Учтите, период колебаний определяется не только мерой инертности частицы, но и жёсткостью поля.
132. Математический маятник массой 100 г совершает гармонические колебания по закону x  0,25sin(2t) (смещение из положения равновесия – в метрах, время – в секундах). Определить натяжение нити в
момент времени t  T/2. Сделайте чертёж с учётом данных задачи.
Воспользуйтесь уравнением динамики поступательного движения.
133. Вычислить период малых колебаний ареометра, которому сообщили
небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра m 
50 г, радиус его трубки r  3,2 мм, плотность жидкости ρ  1 г/см3.
Сопротивление жидкости отсутствует. Жидкость проявляет упругие
свойства, можно определить коэффициент жёсткости воды. Период
колебаний определяется как мерой инертности ареометра, так и жёсткостью воды.
134. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет
вид: x  0,05sin(2t) (смещение из положения равновесия – в метрах,
время – в секундах). В момент, когда на точку действовала возвращающая сила 5 мН, точка обладала потенциальной энергией 0,1 мДж.
Найти фазу колебаний в этот момент времени. Сделайте чертёж с учётом данных задачи. Воспользуйтесь понятиями силы и энергии. Учтите, это применяется для колебательного движения. Для нахождения
скорости и ускорения уточните их связь с координатой.
135. Груз массой m подвешен к системе двух последовательно соединенных пружин жесткостями k1 и k2. Система выведена из состояния равновесия и предоставлена сама себе. Энергия, сообщённая системе,
равна W. Написать уравнение колебаний, определить амплитуду и частоту колебаний. Сопротивление не учитывать. Сделайте чертёж. Из
условия равновесия выразите коэффициент жёсткости системы k, что
позволит найти максимальную деформацию системы. Период колебаний определяется как мерой инертности системы, так и её жёсткостью.
136. Амплитуда колебаний материальной точки массой 3 г равна 15 см,
круговая частота 10 рад/с. Определить максимальную величину возвращающей силы и максимальную кинетическую энергию точки. Сделайте чертёж. Запишите закон, по которому совершаются гармонические колебания, и выражения для определяемых величин. Уточните,
каких величин не хватает, из каких уравнений и с помощью каких математических действий их можно выразить. Удачи.
137. Тело движется под действием силы F  fcos(ωt) по закону x 
Сsin(ωt) (f  2 Н, С  10 см, ω  π/3 рад/с). Найти работу силы и её
среднюю мощность за время t  Т. Запишите выражение для элементарной работы. Придётся продифференцировать x, чтобы найти элементарное перемещение. Далее идёт интегрирование, будьте внимательны. Уточните понятие «мощность». Действуйте.
138. Груз массой 500 г, подвешенный на пружине, коэффициент жесткости
которой 50 Н/м, помещен в масло. Коэффициент сопротивления в масле r  0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая
сила, изменяющаяся по закону F  sin( t) (сила – в ньютонах, время –
в секундах). При какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний будет максимальна? Условие тяжело удерживается в голове? Не отчаивайтесь. В записях или в книге найдите вынужденные колебания. Отыщите уравнение динамики вынужденных
колебаний. Разберитесь в символах, что они отображают. Найдите
уравнение, отражающее амплитуду вынужденных колебаний. Осталось разобраться с условием максимума для этого уравнения. Дерзайте.
139. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения µ  0,1 лежит
брусок массы m  0,5 кг, соединенный горизонтальной недеформированной пружинкой со стенкой. Жесткость пружинки k  2,45 Н/см, а
её масса пренебрежимо мала. Брусок сместили так, что пружинка растянулась на хо = 3 см, а затем отпустили. Найти число колебаний, которое совершит брусок до остановки. Сделайте чертёж(и). Учтите, совершается колебательный процесс при наличии силы трения. Напрашивается закон сохранения энергии, лучше к каждой четверти периода. Далее придётся думать, как из этой системы получить уравнение,
отражающее условие задачи.
140. Под действием силы F  Аcos(ωt) (A  2 Н, ω  π/3 рад/с) движется
тело массой 100 г. Начальная скорость тела равна нулю. Найти зависимость кинетической энергии тела от времени. Привести её к каноническому (простейшему) виду. Определить максимальное значение
энергии. Придётся уточнить понятие силы и найти закон изменения
ускорения. Как оно связано со скоростью движения тела? Не избежать
интегрирования, не забудьте учесть начальные условия. Как определяется кинетическая энергия? Уравнение скорости уже есть.
141. Однородный диск радиуса R  13 см может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через
край диска. Найти период малых колебаний этого диска, если логарифмический декремент затухания   1. Сделайте чертёж(и). Нашли
уравнение для периода затухающих колебаний физического тела?
Уточнили, где проходит ось вращения и как вычислить момент инерции. Не забудьте учесть связь коэффициента затухания с логарифми-
ческим декрементом затухания. Кстати, в этой связке опять появится
искомый период затухания. Внимательнее в преобразованиях.
142. Записать уравнение гармонических колебаний частицы, если на расстояниях х1 и х2 от положения равновесия её скорость равна υ1 и υ2.
Уравнение гармонических колебаний можно найти в книге (лекции).
Остаётся заняться поиском амплитуды и круговой частоты колебания.
Придётся записать уравнения координаты и скорости для указанных
значений. Не забудьте, моменты времени у соответствующей координаты и скорости одинаковы. Остаётся решить две системы уравнений
относительно искомых величин. Внимательнее в преобразованиях.
143. Определить период малых колебаний шарика, подвешенного на нерастяжимой нити длины ℓ  20 см, если он находится в идеальной жидкости, плотность которой в η  3 раза меньше плотности шарика. Сделали чертёж? Определились в силах, действующих на шарик? Равнодействующую нашли? А уравнение периода колебаний материальной
точки нашли (учебник, лекции)? Ускорение создаваемое равнодействующей силой поддаётся нахождению? Тогда всё за преобразованиями.
144. Затухающие колебания точки происходят по закону х  ао еβtsin(t).
Найти моменты времени, когда точка достигнет крайних положений.
Придётся вспомнить условие максимума из математики. Заглянули в
учебник (лекции) по математике? Будьте внимательны в производной.
Вспомните логарифмические, степенные функции. Точно помогут.
145. Найти период малых поперечных колебаний шарика массы m  40 г,
укреплённого на середине натянутой струны длины ℓ  1 м. Силу
натяжения струны считать постоянной и равной F  10 Н. Массой
струны и силами тяжести пренебречь. Сделайте чертёж. Представьте
на нём силы, с учётом условия задачи. Уравнение периода колебаний
материальной точки зависит лишь от параметров колебательной системы, но не зависит от пространственного расположения системы;
нашли (учебник, лекции)? Учтите, шарик расположен посередине, сила постоянна. Удачи в преобразованиях.
146. Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с амплитудой хо  10 см. Найти коэффициент трения
между доской и бруском, если последний начинает скользить по доске, когда её период колебания меньше Т  1 с. Сделайте чертёж.
Уточните в кинематике колебательного процесса функциональную зависимость ускорения от времени. Определитесь, почему начинается
скольжение.
147. Тело совершает крутильные колебания по закону   о еβtcos(t).
Найти моменты времени, когда угловая скорость максимальна. Придётся вспомнить из физики понятие «угловая скорость» и условие
максимума из математики. Заглянули в учебники (лекции) по физике,
математике? Будьте внимательны в производных. Точно помогут, если
удачно учтёте момент времени.
148. К пружинке подвесили грузик, и она растянулась на х  9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик в вертикальном направлении?
Логарифмический декремент затухания   3,1. Колебательный процесс совершается при наличии сил трения, загляните в курс физики
(записи) и уточните, от чего зависит период затухающих колебаний.
Будьте внимательны в преобразованиях.
149. Осциллятор массы m, движется по закону х  а sin(t) под действием
постоянной силы F  F оsin(t). Найти коэффициент затухания β осциллятора. Найдите уравнение вынужденных колебаний (учебник, записи). Уточните понятие «гармонический осциллятор», аналитическое
выражение для силы сопротивления. Каково её соотношение с действующей постоянной силой? Преобразуйте с учётом данных. Удачи.
150. Под действием момента сил М  Мо cos(t) тело совершает вынужденные крутильные колебания по закону    о cos(t – ). Найти работу сил трения, действующих на тело, за период колебания. Уточните аналитическое выражение для элементарной работы при вращательном движении. Придётся интегрировать, аккуратнее в преобразованиях.
7. Элементы специальной теории относительности
151. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полёта с земными часами. Скорость спутника составляет 7,9
км/с. На сколько отстанут часы на спутнике за полгода по измерениям
земного наблюдателя? Учтите лоренцево замедление движущихся часов. Нашли в учебнике, записях?
152. Плотность покоящегося тела равна ρ о. Найти скорость системы отсчёта относительно данного тела, в которой его плотность будет на η 
25% больше ρо . Разумнее исходит из понятия плотности, туда естественно войдёт величина объёма. Не забудьте, всё это войдёт в выражение для η. Если правильно учесть лоренцово сокращение длины, то
аналитические преобразования должны привести к результату. В этом
месте разумен чертёж, приблизит к пониманию сокращения длины.
153. В системе К 1 находится квадрат. Определить угол между его диагоналями в системе К, если система К 1 движется относительно К со скоростью 0,95 .с параллельно стороне квадрата. Здесь с – скорость света.
Учтите лоренцево сокращения длины в движущихся системах. Нашли
в учебнике, записях? Изобразите чертёж, что облегчит аналитическую
запись угла.
154. Импульс релятивистской частицы равен mс, где m – масса частицы.
Определить скорость частицы в долях скорости света. Найдите аналитическое выражение для релятивистского импульса. Уточните, где релятивистская масса, а где масса покоя.
155. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчёта со скоростями 0,6 .с и 0,9 .с вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость, если частицы движутся в противоположных
направлениях. Здесь с – скорость света. Изобразите чертёж, что облегчит преобразования аналитического выражения для скорости.
156. Определите, на сколько должна увеличиться энергия покоя тела, чтобы его масса возросла на 1 г. Уточните понятие энергии покоя. Из
условия задачи следует, придётся составить систему уравнений.
157. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью υ относительно инерциальной К-системы отсчёта. При каком
значении υ длина стержня в этой системе отсчёта будет на η  0,5%
меньше его собственной длины? Учтите лоренцево сокращение длины
в движущихся системах.
158. Кинетическая энергия электрона равна 1,6ּ 10–12 Дж. Во сколько раз его
полная энергия больше энергии покоя? Уточните понятие полной
энергии и энергии покоя. Преобразуйте, получится.
159. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы tо  10
нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчёта, где её время жизни t  20 нс? Учтите лоренцево замедление движущихся часов. Нашли в учебнике, записях?
160. Определите кинетическую энергию релятивистской частицы (в единицах mс2), если её импульс равен mс. Уточните связь между полной
и кинетической энергиями, как они связаны с энергией покоя и релятивистским импульсом. Нашли? Преобразуйте. Должно получиться.
161. В К-системе отсчёта мюон, движущийся со скоростью υ  0,99с, пролетел от места своего рождения до точки распада расстояние ℓ  3 км.
Определить расстояние, которое пролетел мюон в К-системе отсчёта с
«его точки зрения». Запишите аналитическое выражение для пройденного расстояния с «его точки зрения». Не забудьте уточнить лоренцово замедление хода часов.
162. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с
массой m от 0,6с до 0,8с? Сравните полученный результат со значением, вычисленным по нерелятивистской формуле. Уточните, на изменение какой энергии затрачивается совершённая работа. Найдите её
аналитическое выражение для релятивистской частицы. Удачи.
163. Две частицы движутся навстречу друг другу по отношению к лабор аторной системе отсчёта со скоростями υ  0,5с и υ  0,75с. Найти
скорость, с которой уменьшается расстояние между частицами в лабораторной системе отсчёта. Изобразите чертёж, не забудьте понятие
скорости, произведите преобразования.
164. Найти скорость частицы, кинетическая энергия которой К  500 МэВ
и импульс р  865 МэВ/с, где с – скорость света. Найдите аналитическое выражение: устанавливающее связь между энергией и импульсом
релятивистской частицы; релятивистского импульса; кинетической
энергии. Три уравнения и три неизвестных, решение реально.
165. Две релятивистские частицы движутся под прямым углом друг к другу
в лабораторной системе отсчёта, причём одна со скоростью υ1, а другая со скоростью υ2. Найти их относительную скорость. Изобразите
чертёж. Уточните, из чего складывается расстояние между частицами.
Не забывайте лорецево замедление времени. Уточните, с каким
направлением движения лучше связать неподвижную систему отсчёта.
166. Частица массы m в момент t  0 начинает двигаться под действием
постоянной силы F. Найти скорость частицы в зависимости от времени t. Привлекая второй закон Ньютона, не забудьте, рассматривается
движение релятивистской частицы. Внимательнее в преобразованиях.
167. Во сколько раз релятивистская масса частицы, скорость которой отличается от скорости света на η  0,01%, превышает его массу покоя?
Если учесть выражение для релятивистской массы, то несложные, но
требующие внимания, преобразования приблизят к результату.
168. Протон движется с импульсом p  10 ГэВ/с, где с – скорость света. На
сколько процентов отличается скорость этого протона от скорости
света? Найдите аналитическое выражение для релятивистского импульса. Преобразуйте соответственно условию задачи. Не забудьте,
что следует найти.
169. Частица массы m в момент t  0 начинает двигаться под действием
постоянной силы F. Найти пройденный ею путь в зависимости от времени t. Привлекая второй закон Ньютона, не забудьте, рассматривается движение релятивистской частицы. Внимательнее в преобразованиях и в Ваших руках зависимость скорости от времени. Скорость, это
производная по времени от пройденного пути. Придётся интегрировать! Если не сможете воспользоваться таблицей интегралов от иррациональных функций, не беда. Подходите на консультацию.
170. Две частицы массы m, летят навстречу друг другу с одинаковой скоростью υ. Найти υ, если масса образовавшейся при столкновении частицы равна M. Установите связь между энергией и импульсом релятивистской частицы. Примените это выражение для системы, обозначенной в задаче. Будьте внимательны к условию задачи при нахожд ении импульса системы.
171. Определить импульс частицы (в единицах mоС), если её кинетическая
энергия равна энергии покоя. Найдите уравнение кинетической энергии для релятивистской частицы. Не забудьте, чему равна её кинети-
ческая энергия по условию задачи. Отсюда следует соотношение между релятивистской массой и массой покоя, что позволяет определить
скорость движения частицы. Запишите релятивистский импульс.
172. Суммарная площадь поверхности неподвижного тела, имеющего форму куба, равна S о. Чему равна площадь поверхности того же тела, если
оно движется в направлении одного из своих ребер со скоростью υ 
0,866с? Сделайте чертёж. Учтите лоренцово сокращение длины для
движущегося тела. Не забудьте, речь идёт о поверхности куба.
173. Солнце излучает поток энергии 3,9 .1026 Вт. За какое время масса
Солнца уменьшится вдвое? Излучение Солнца считать постоянным.
Масса Солнца равна 1,99 .1030 кг. Воспользуйтесь законом пропорциональности массы и энергии, что позволит найти излучаемую энергию.
Уточните связь потока энергии со временем.
174. Синхрофазотрон дает пучок протонов с кинетической энергией 10 4
МэВ. Какую долю скорости света составляет скорость протонов в этом
пучке? Масса протона m о  1,67 .10–27 кг. Найдите уравнение кинетической энергии для релятивистской частицы. Учтите, чему равна её кинетическая энергия по условию задачи и как она связана со скоростью
движения частицы.
175. Тело с массой покоя m движется прямолинейно с ускорением a. Какая
сила F действует на него в момент, когда скорость тела равна υ.
Найдите релятивистское уравнение динамики частицы (учебник).
Уточните понятие релятивистского импульса. Что постоянное и что
переменное – разберитесь. Придётся дифференцировать. Трудно?
Спросите.
8. Течение идеальной и вязкой жидкости
176. На столе стоит наполненный водой широкий цилиндрический сосуд
высотой h = 40 см. Пренебрегая вязкостью, определить, на какой высоте от дна сосуда должно располагаться небольшое отверстие, чтобы
расстояние по горизонтали от отверстия до места, куда попадает струя
воды, было максимальным. Сделайте чертёж, найдите уравнение Бернулли, что поможет найти скорость течения воды. Выразите расстояние, на которое падает вода. Функционально, оно должно зависеть от
удалённости отверстия от дна сосуда. Уточните, как находится в математике условие максимума. Дерзайте! Трудно? Спрашивайте. Ждём.
177. При движении шарика радиусом 2,4 мм в касторовом масле ламинарное обтекание наблюдается при скорости, не превышающей 10 см/с.
При какой минимальной скорости шарика радиусом 1 мм в глицерине
станет обтекание турбулентным? Сделайте чертежи, учтите действующие силы. Найдите аналитические выражения для числа Рейнольдса
и силы Стокса.
178. Две манометрические трубки установлены на горизонтальной трубе
переменного сечения в местах, где сечения трубы равны S1 и S2. По
трубе течёт вода. Найти объём воды, протекающий в единицу времени
через сечение трубы, если разность уровней воды в манометрических
трубках равна h. Сделайте чертёж, учитывая положение манометрических трубок. Запишите уравнение Бернулли и закон неразрывности
потока. Составьте уравнение для объёма воды, протекающей в единицу времени. Решите систему уравнений с учётом данных в задаче.
179. На поверхность воды положили жирную (водой не смачиваемую полностью) стальную иголку. Какой наибольший диаметр иголки, при котором она еще может держаться на воде? Сделайте чертёж, определитесь, почему игла может плавать. Пользуясь формулой Лапласа для
добавочного давления в жидкости под искривлённой поверхностью,
будьте внимательны. Учтите только ту кривизну, которая существует.
180. Цилиндрический сосуд высотой h с площадью основания S наполнен
водой. В дне сосуда открыли отверстие площадью s  S. Пренебрегая
вязкостью воды, определить, через сколько времени вся вода вытечет
из сосуда. Сделайте чертёж. Из сосуда вода вытекает через отверстие
с площадью s. Разумно предположить, элементарное уменьшение объёма воды в сосуде равно элементарному объёму, протекающему через
отверстие площадью s с некоторой скоростью в течение элементарного времени. Естественно, скорость истечения через площадь s определяется высотой столба воды в сосуде. Удачи. Трудно? Приходите.
181. Кольцо с внутренним диаметром 25 мм, внешним 26 мм подвешено на
пружине с коэффициентом упругости 1,0 Н/м и соприкасается с поверхностью жидкости. При опускании поверхности жидкости кольцо
оторвалось от нее при растяжении пружины на 5,3 мм. Найти коэффициент поверхностного натяжения жидкости. Чертёж поможет осознать
действующие силы и соприкасающиеся с жидкостью поверхности
кольца. Математическую запись силы упругости и силы поверхностного натяжения найдёте в учебнике (задачнике). Трудно? Обращайтесь.
182. Вода вытекает из бака по изогнутой под прямым углом трубке, внутренний радиус которой r  0,5 см, а длина её горизонтальной части ℓ 
22 см. Расход воды Q  0,5 л/с. Найти момент сил реакции воды на
стенки этой трубки(обусловленный её течением) относительно точки
крепления трубки к стенке бака. Сделайте чертёж. Давление воды
определяется из уравнения Бернулли(с учётом изменения направления
скорости потока), что позволяет определить силу, а затем и момент
силы реакции воды. Скорость воды может быть найдена из её расхода.
183. В сосуде с воздухом при давлении pо находится мыльный пузырёк
диаметра d. Давление воздуха изотермически уменьшили в n раз, в ре-
зультате чего диаметр пузырька увеличился в η раз. Найти поверхностное натяжение мыльной плёнки. Рисунки помогут понять происходящее, если состояния воздуха представить на PV–диаграмме. Всё
внимательно переводим на язык физики – аналитические уравнения.
Уточните (на рисунке) слово пузырёк. Это поможет правильно записать добавочное (капиллярное) давление под искривлённой поверхн остью в общем давлении. Преобразуйте. Трудно? Придёте, помогут.
184. Какую работу необходимо совершить, чтобы, действуя постоянной
силой на поршень, выдавить из горизонтально расположенного цилиндра всю воду за время t? Объём воды в цилиндре равен V, площадь
сечения отверстия s, причём s значительно меньше площади поршня.
Трение и вязкость пренебрежимо малы. Сделайте чертёж, что облегчит понимание условия задачи. Запишите выражение для элементарной работы и уточните понятие силы в данной задаче. Выразите элементарный объём через параметры цилиндра и на выходе из цилиндра.
Придётся интегрировать и преобразовывать, учитывая условие задачи.
185. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка с диаметром внутреннего канала 1 мм. Определить массу воды, вошедшей в
трубку. Обязателен чертёж. Можно найти в учебнике. Уточните понятие добавочного давления в жидкости под искривлённой поверхностью. Когда оно будет компенсировано в условиях данной задачи. Составьте уравнение. Не получается? Приходите, точно помогут.
186. Свинцовый шарик равномерно опускается в глицерине, вязкость которого η  1,39 Пас. При каком наибольшем диаметре шарика его обтекание ещё ламинарное? Переход к турбулентному обтеканию соответствует числу Re  0,5. Сделайте чертёж, определитесь в действующих
силах. Уточните понятие числа Re-йнольдса. Состояние равномерного
движения позволяет определить скорость шарика. Далее преобразования. Должно получиться.
187. Вода по каплям вытекает из сосуда через вертикальную трубку внутренним диаметром 3 мм. При остывании воды от 100 оС до 20 оС. масса каждой капли изменилась на 13,510–6 кг. Зная коэффициент поверхностного натяжения воды при 20 оС, найти его значение при 100
о
С. Диаметр шейки капли в момент отрыва считать равным внутреннему диаметру трубки. Сделайте чертежи (два), отобразите действующие силы. Записав уравнения в момент отрыва, получите систему из
двух уравнений. Решайте, не забывая, что известна разница масс.
188. Площадь соприкосновения слоев текущей жидкости 10 см 2, коэффициент динамической вязкости жидкости равен 10 –3 Пас, а возникающая сила трения между слоями 0,1 мН. Определить градиент скорости.
Сделайте чертёж, найдите (учебник, лекции) выражение для силы трения между соприкасающимися слоями движущейся жидкости. Уточ-
ните понятие градиента скорости.
189. Две вертикальные параллельные друг другу стеклянные пластины частично погружены в воду. Расстояние между пластинами d  0,1 мм,
их ширина ℓ  12 см. Считая, что вода между пластинами не доходит
до их верхних краёв и что смачивание полное, найти силу, с которой
они притягиваются друг к другу. Сделайте чертёж, найдите выражение для добавочного давления в жидкости под искривлённой поверхностью. Уточните понятие силы. Для нахождения площади найдите
высоту поднятия жидкости между пластинами.
190. Вертикальный капилляр привели в соприкосновение с поверхностью
воды. Какое количество тепла выделится при поднятии воды по капилляру? Смачивание считать полным, поверхностное натяжение равно η. Попробуйте осознать, почему выделяется теплота. Уточните понятие свободной энергии поверхностного слоя жидкости. Поднятие
воды по капилляру подобно собиранию воды «размазанной» по поверхности объёмными силами. Удачи. Трудно? Приходите. Помогут.
191. Зная поверхностное натяжение , найти работу, которую нужно совершить, чтобы изотермически выдуть мыльный пузырь радиуса R
при давлении окружающего воздуха pо. Сделайте чертёж мыльного
пузыря некоторого радиуса(r), найдите его поверхность. Изобразите
на чертеже элементарное приращение радиуса этого пузыря. Можно
найти элементарное приращение объёма, обусловленное выдуванием
мыльного пузыря. Аналитическое выражение для работы в термодинамике можно найти в учебнике(лекции). Осталось проинтегрировать.
Трудно? Приходите, помогут. Точно.
192. На столе стоит сосуд, в боковую поверхность которого вставлен горизонтальный капилляр на высоте h1  5 см от дна сосуда. Внутренний
радиус капилляра равен r  1 мм, а длина ℓ  1 см. В сосуд налито машинное масло, вязкость которого η  0,5 Па.с, а плотность ρ  900
кг/м3. Уровень масла в сосуде поддерживается постоянным на высоте
h2  50 см выше капилляра. На каком расстоянии L от конца капилляра по горизонтали струя масла падает на стол? Задача объёмная по
данным, крепитесь. Всё не так трудно. Сделайте чертёж, всё как в
условии задачи. Уточните формулу объёма жидкости, протекающей
через капиллярную трубку при ламинарном движении (учебник, задачник). Объём выражается через скорость истечения и время. Учитывая время падения с высоты h1, найдёте расстояние L. Придёте, поможем.
193. В сосуд льётся вода, причём за единицу времени наливается объём воды V  0,2 л. Каким должен быть диаметр d отверстия в дне сосуда,
чтобы вода в нём держалась на постоянном уровне h  8,3 см? Сделайте чертёж, учтите, что столб воды определяет скорость её истече-
ния по уравнению Бернулли. Не забудьте, уровень постоянный: что
вошло, то и ушло.
194. В сосуде находятся две несмешивающиеся жидкости с плотностями 1
и 2. Толщина слоев соответственно h1 и h2. С поверхности жидкости
в сосуд опускают шарик. Определить плотность материала шарика,
если известно, что он достигает дна сосуда в тот момент, когда скорость становится равной нулю. Сделайте чертёж. Учтите, что сил вязкого трения не возникает. Проанализируйте движение шарика в первой жидкости и переведите на аналитические выражения, что позволит выразить скорость шарика на границе раздела жидкостей. Такое
же действие проделайте с движением шарика во второй жидкости. Не
забудьте при этом, «достигнув дна сосуда ...скорость равна нулю».
195. В дне стеклянного сосуда площадью S  30 см2 имеется круглое отверстие диаметром d  0,5 мм. Какую массу m ртути можно налить в
сосуд? Сделайте чертёж, учитывая полное несмачивание ртутью.
Примите к сведению, добавочное давление в ртути под искривлённой
поверхностью компенсирует столб ртути. Зная площадь стеклянного
сосуда, можно найти массу ртути.
196. Какую работу против сил поверхностного натяжения надо совершить,
чтобы разделить сферическую каплю ртути R  3 мм на две одинаковые капли? Сделать два чертежа. Найдите формулу, выражающую зависимость приращения свободной энергии поверхностного слоя жидкости (учебник, лекции).
197. На сколько нагреется капля ртути, полученная от слияния двух капель
r  1 мм каждая? Сделайте два чертежа, выясните, откуда берётся
энергия для нагревания. Найдите формулу, выражающую зависимость
приращения свободной энергии поверхностного слоя жидкости (учебник, лекции). Не забудьте написать количество теплоты, необходимое
для нагревания.
198. С противоположных сторон широкого вертикального сосуда, наполненного водой, открыли два одинаковых отверстия, каждое площадью
S  0,5 см2 . Расстояние между ними по высоте h  51 см. Найти результирующую силу реакции вытекающей воды. Сделайте чертёж,
уточните уравнение Бернулли для стационарного потока идеальной
жидкости. Чтобы не потерять двойку, внимательнее отнеситесь к словам условия задачи «… широкого вертикального…».
199. Стальной шарик диаметром d  3,0 мм опускается без начальной скорости в прованском масле с коэффициентом вязкости η  0,09 Пас.
Через сколько времени после начала движения скорость шарика будет
отличаться от установившейся на n = 1%? Сделайте чертёж, скорее
два. Второй нужен для нахождения установившейся скорости. Динамика поступательного движения позволяет найти ускорения. Из мате-
матики придётся уточнить понятие процента. Много действий в задаче. Приходите, если будет путаница.
200. Какой наибольшей скорости υ может достичь дождевая капля d  0,3
мм, если динамическая вязкость воздуха η  1,210–5 Пас? Сделайте
чертёж, должно помочь в записи условия динамического равновесия.
Если будет трудно, приходите, помогут.
9. Упругие свойства твёрдых тел
201. Стержень из стали длиной l  2 м и площадью поперечного сечения S
 2 см2 растягивается некоторой силой, причём удлинение х  0,4 см.
Вычислить потенциальную энергию П растянутого стержня и объёмную плотность w энергии. Сделайте чертёж, что позволит осуществить аналитическую запись элементарной работы, совершаемой некоторой силой. Работа идёт на увеличение потенциальной энергии
упруго деформированного стержня. Уточните понятие объёмной энергии (учебник, лекции) и преобразуйте. Если трудно, приходите, помогут.
202. Горизонтально расположенный медный стрежень длиной ℓ  1,0 м
вращают вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину.
При какой частоте вращения он может разорваться? Сделайте чертёж,
уточните, почему возможен разрыв. Поскольку система неинерциальная, упругие силы должны обеспечить элементу массы изменение скорости по направлению. Чертёж поможет записать элементарную силу,
обеспечивающую элементу массы необходимое изменение направления скорости. Интегрирование позволяет найти максимальную действующую силу. Уточните понятие упругой силы через напряжение.
203. Какое давление необходимо приложить к торцам стального цилиндра,
чтобы длина его не изменилась при повышении температуры на 100
о
С? Найдите выражение для линейного расширения твёрдого тела.
Учтите, удлинение при упругой деформации пропорционально силе,
приходящейся на единицу площади поперечного сечения. Преобразуйте.
204. Найти энергию упругой деформации стального стержня массы m  3,1
кг, который растянут так, что его относительное удлинение   110–3.
Сделайте чертёж. Запишите выражение для элементарной работы, где
природа силы раскрывается через упругую деформацию. Интегрируйте, учитывая, что переменная изменяется до максимального приращения. Далее преобразуйте с учётом данных.
205. При изготовлении некоторых точных приборов необходимо обеспечить постоянство разности длин двух стержней при изменении температуры. Какие длины должны иметь железный и медный стержни при
0 оС, чтобы разность их длин ℓ не зависела от температуры и остава-
лась равной 10 см? Воспользуйтесь выражением для линейного расширения твёрдых тел, получите систему из двух уравнений. Преобразуйте, должно получиться, если будете внимательны.
206. Концы стального стержня сечением S  2 см2 прочно закреплены между двумя стенками при температуре t1  15 оС. С какой силой стержень
будет действовать на опоры, если его нагреть до t2  150 оС? Учтите
уравнение для линейного расширения твёрдого тела, а также связь
нормального напряжения с относительным удлинением и модулем
Юнга. Преобразуйте, должно получиться.
207. Между двумя столбами натянута с небольшим усилием лёгкая проволока длиной 2  ℓ. К проволоке посередине подвешивают фонарь массой
m. Площадь поперечного сечения проволоки равна S, модуль упругости материала Е. Определите угол провисания проволоки, считая его
малым. Сделайте чертёж. Это поможет понять как направление сил
растягивающих проволоку, так и упругих сил, компенсирующих растягивающие силы. Установите между ними связь, не забывая, что угол
провисания мал. Из прямоугольного треугольника можно найти абсолютное удлинение проволоки. В преобразованиях внимательнее, углы
малые, что потребует перехода от функции «косинус» к функции «синус». Если трудно, подходите, помогут.
208. Из скольких стальных проволок диаметром d  2 мм должен состоять
трос, рассчитанный на подъём груза массой m  16 т? Сделать чертёж,
выделить из него одну жилу и записать для неё растягивающую силу
исходя из данных задачи. Эта растягивающая сила будет создавать в
проволоке (жиле) напряжение, запишите его аналитическое выражение. Не забудьте уточнить понятие «напряжение». Преобразуйте.
209. Стальная проволока диаметром d  1,0 мм натянута в горизонтальном
положении между двумя зажимами, находящимися на расстоянии
ℓ  2 м друг от друга. К середине проволоки повесили груз массы m 
0, 25 кг. На сколько сантиметров опустится точка подвеса груза? Сделайте чертёж, что поможет понять как направление сил растягивающих проволоку, так и упругих сил, компенсирующих растягивающие
силы. Установите между ними связь, не забывая, что угол провисания
мал. Из прямоугольного треугольника можно найти абсолютное удлинение проволоки. В преобразованиях внимательнее, углы малые, что
потребует перехода от функции «косинус» к функции «синус». Если
трудно, подходите, помогут.
210. Верхний конец свинцовой проволоки диаметром d  2 см и длиной ℓ 
60 м закреплён неподвижно. К нижнему концу подвешен груз массой
m  100 кг. Найти напряжение материала на середине длины проволоки. Сделайте чертёж. Уточните понятие «напряжение» материала
(учебник, лекции, интернет), какие силы его создают.
211. Однородный стержень длиной ℓ  1,2 м, площадью поперечного сечения S = 2 см 2 и массой m  10 кг вращается с частотой   2 Гц вокруг
вертикальной оси, проходящей через конец стержня, скользя при этом
без трения по горизонтальной поверхности. Найти наибольшее напряжение материала стержня при данной частоте вращения. Сделайте
чертёж. Поскольку система неинерциальная, упругие силы должны
обеспечить элементу массы изменение скорости по направлению. Чертёж поможет записать элементарную силу, обеспечивающую элементу
массы необходимое изменение направления скорости. Интегрирование
позволяет найти максимальную действующую силу. Уточните понятие
упругой силы через «напряжение».
212. К стальному стержню длиной l  3 м и диаметром d  2 см подвешен
груз массой m  2,5 т. Определить напряжение в стержне, относительное и абсолютное удлинения стержня. Сделайте чертёж, уточните понятия: напряжение, абсолютное и относительное удлинения. Как связана сила упругости с этими величинами?
213. Резиновый шнур растянут так, что его длина увеличилась в 2 раза. Каков диаметр растянутого шнура, если до растяжения он был 1см, а коэффициент Пуассона для резины 0,5? Сделайте чертёж, уточните понятия: относительное изменение длины, относительное поперечное
сжатие, коэффициент Пуассона; как они связаны между собой.
214. Два вагона массами m  20 т, двигавшиеся навстречу друг другу со
скоростями υ  2 м/с, сталкиваются. Определить сжатие пружины буферов вагонов, если под действием силы F  40 кН пружина сжимается на х  1 см. Считать, что сжатие пружины пропорционально силе.
Сделайте чертёж, уточните, на что расходуется энергия движения. Из
условия задачи возможно определение коэффициента жёсткости.
Будьте внимательны, нужно найти сжатие одной пружины.
215. При нагревании некоторого металла от 0 до 500 С его плотность
уменьшается в 1,027 раза. Найти для этого металла коэффициент линейного теплового расширения, считая его постоянным в данном интервале температур. Лучше сделать чертёж, несмотря на то, что задача
покажется лёгкой. Запишите плотность тела до нагревания и после его
нагревания. В записях «столкнутся» линейное и объёмное расширения. Далее всё просто. Если встретятся трудности, приходите, помогут.
216. Стальная проволока длиной 1 м закреплена одним концом так, что
может совершать колебания в вертикальной плоскости. К свободному
концу проволоки прикрепили груз массой 50 кг. Проволоку с грузом
отклоняют на высоту подвеса и отпускают. Определить абсолютное
удлинение проволоки в нижней точке траектории при движении груза.
Сечение проволоки 0,8 мм 2, массой проволоки пренебречь. Сделайте
чертёж, определитесь в действующих силах. Уточните природу силы,
обеспечивающей движение груза в нижней точке траектории. Найдите
аналитическое выражение этой силы (учебник, лекции).
217. Стальная проволока диаметром 1 мм имеет длину 5 м, когда на ней
висит груз весом 196 Н. На сколько удлинится проволока, если вес
груза увеличить на 98 Н? Сделайте чертёж, лучше два. Запишите
условие равновесия с учётом данных в задаче.
218. К железной проволоке длиной 50 см и диаметром 1 мм привязана гиря
массой 1 кг. С какой угловой скоростью можно равномерно вращать в
вертикальной плоскости такую проволоку с грузом, чтобы она не
разорвалась? Сделайте чертёж, возможно два, чтобы осознать, где будет максимальное воздействие проволоки для обеспечения вращательного движения. Запишите условие равновесия. Зависимость упругой
силы от деформации найдите в записях, учебнике.
219. Найти относительное изменение плотности цилиндрического медного
стержня при сжатии его давлением 10 8 Па. Коэффициент Пуассона для
меди принять равным 0,34. Сделайте чертёж, что поможет в аналитических преобразованиях. Запишите силу упругости через: относительное удлинение, характеристику упругих свойств и площадь сжимаемого цилиндра. Запишите коэффициент Пуассона. Если к этим двум
уравнениям прибавить уравнение относительного изменения плотности, получим систему, позволяющую подойти к решению поставленного вопроса. Дело за преобразованиями. Не забывайте бесконечно
малые второго порядка и данные задачи. Удачи. Трудно? Приходите.
220. К резиновому шнуру длиною 40 см и радиусом 1 мм подвешена гиря
массой 0,05 кг. Зная, что модуль Юнга этой резины равен 3 Н/мм 2,
найти период вертикальных колебаний гири. Сделайте чертёж, установите, от чего зависит период колебаний. Придётся обратиться к
упругим свойствам резины, от чего и как зависит её сила упругости.
221. Ареометр плавает в жидкости. Вычислить коэффициент жёсткости воды, если период малых колебаний ареометра, которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении, равен 2,5 с. Масса
ареометра 50 г, радиус его трубки 3,2 мм, плотность жидкости 1 г/см3.
Сопротивление жидкости пренебрежимо мало. Сделайте чертёж, как в
состоянии равновесия ареометра, так и после сообщения ему толчка.
Найдите формулу периода малых колебаний ареометра. Запишите
условие равновесия, что поможет записать состояние нарушения равновесия и выйти на искомую величину. Удачи. Если трудно, приходите.
222. Тело массой 0,5 кг подвешено на резиновом шнуре и совершает гармонические колебания. Найдите модуль Юнга резины, если её коэффициент упругости 50 Н/м. Длина шнура 1 м, его диаметр 1 см. Какова
энергия колебаний тела? Сделайте чертёж. Найдите аналитическое
выражение для силы упругости. Преобразуйте, должно получиться.
223. Найти длину медной проволоки, которая, будучи подвешена вертикально, начинает рваться под действием собственного веса. Сделайте
чертёж, уточните, что означает слово «рваться». Где, в какой части
проволоки, это может, скорее всего, реализоваться. Ищите аналитическое выражение для силы упругости. Не забудьте, медь обладает пр еделом прочности на разрыв.
224. Верхний конец свинцовой проволоки диаметром d  2 см и длиной ℓ 
60 м закреплен неподвижно. К нижнему концу подвешен груз массой
m  100 кг. Найти напряжение материала на середине длины. Сделайте
чертёж, уточните, какие силы определяют напряжение проволоки.
Найдите аналитическое выражение для силы упругости. Преобразуйте.
225. Однородный стержень равномерно вращается вокруг вертикальной
оси, проходящей через его середину. Стержень разрывается, когда линейная скорость конца стержня достигает 380 м/сек. Найти предел
прочности материала стержня. Плотность материала стержня равна
7900 кг/м 3. Сделайте чертёж, уточните слово «разрывается», где разрыв может произойти. Найдите аналитическое выражение для упругой
силы. Не забудьте, система неинерциальная. Это позволит выявить
причину возникновения силы упругости.
10. Уравнение состояния идеального газа. Теплоёмкость
226. В баллоне объёмом V находится смесь кислорода и гелия. Число молекул кислорода равно N1, число молекул гелия N2. Температура смеси равна T, давление Р. Среднее значение молекулярной массы смеси
равном . Определить объём V, если N2  1,21021; T  530К; Р  250
Па;   0,022 кг/моль. Сделайте чертёж, что позволит понять закон
парциальных давлений и записать его аналитическое выражение для
данной задачи. Придётся записать объединённый газовый закон с учётом сортности газов. Осталось преобразовать для нахождения N1, а затем и объёма. Если трудно, приходите на консультацию. Помогут.
227. В сосуде объёмом V находится смесь двух газов: газ с молекулярной
массой 1 в количестве m 1 и газ с молекулярной массой 2 в количестве m 2. При температуре t давление в сосуде равно Р. Определить количество m 2, если V  4,5 л; 1  32 г/моль; m 1  4,2 г; 2  40 г/моль; t
 21С; Р  0,17 МПа. Сделайте чертёж, что позволит понять закон
парциальных давлений и записать его аналитическое выражение для
данной задачи. Учтите объединённый газовый закон. Преобразуйте.
228. Определить плотность смеси, состоящей из 4 г водорода и 32 г кислорода при температуре 7 оС и давлении 93 кПа. Учтите закон парциаль-
ных давлений. Не помешает уравнение состояния идеального газа. Если учтёте понятие плотности, остаются лишь преобразования. Удачи.
229. Чему равна энергия теплового движения 20 г кислорода при температуре 10 оС? Какая часть этой энергии приходится на поступательное
движение, какая часть – на вращательное движение? Уточните понятие энергии теплового движения, из каких движений молекул она
складывается. Далее придётся разобраться в том, что такое часть.
Удачи.
230. Давление и плотность некоторого газа при 17 оС равны 750 мм рт. ст.
и 8,2 .10–4 г/см3 соответственно. Что это за газ? Уточните, что является
однозначной характеристикой сортности газа. Нет ли её в уравнении
состояния идеального газа? Удачи в преобразованиях.
231. Определить среднюю квадратичную скорость молекулы газа, заключенного в сосуде объёмом 2ּ10–3 м3 под давлением 200 кПа. Масса газа
равна 0,3 г. Уточните (учебник, записи) понятие средней квадратичной скорости. Учтите уравнение состояния идеального газа. Удачи в
преобразованиях.
232. Оболочка воздушного шара объёмом 800 м 3 целиком заполнена водородом при температуре 273 оК. На сколько изменится подъёмная сила
шара при повышении температуры до 293 оК? Считать объём оболочки неизменным и внешнее давление нормальным. В нижней части
оболочки имеется отверстие, через которое водород может выходить в
окружающее пространство. Сделайте чертёж, по условию – лучше два.
Выполните аналитическую запись сил, действующих на шар, получите
систему из двух уравнений. Не обойтись без уравнения состояния
идеального газа. Преобразуйте, должно получиться. Если что, подходите. Помогут.
233. Полый шар объёмом 10 см 3, заполненный воздухом при температуре
573 оК, соединили трубкой с чашей, наполненной ртутью. Определить
массу ртути, вошедшей в шар при остывании воздуха в нём до температуры 293 оК. Изменением объёма шара пренебречь. Сделайте чертёж, лучше два: до и после охлаждения. Уравнение состояния обязательно для обоих случаев, что позволяет найти установившееся давление. Здесь нужно вспомнить, давление одинаково во всех направлениях. Более всего это относится к внешнему (через ртуть) давлению. Это
позволяет найти (из изотермического процесса) сжатие до некоторого
объёма воздуха в полом шаре (вытесненной ртутью из чашки в шар).
Удачи в преобразованиях. Трудно? Приходите. Точно помогут.
234. Найти молярную массу и число степеней свободы молекул некоторого
газа, если его удельные теплоемкости CV  0,65 Дж/гּ К, а СP  0,91
Дж/гּК. Установите связь между молярной и удельной теплоёмкостями. Трудности не встретите, есть в учебнике (в лекции). Есть два ра-
венства, преобразуйте. Можно найти число степеней свободы. В этих
же преобразованиях проявляется и молярная масса. Какой же это газ?
235. Баллон вместимостью 25 л, содержащий воздух под давлением 3 .105
Па, соединяют с другим баллоном вместимостью 50 л, из которого
воздух откачан. Найти установившееся давление воздуха в баллонах,
если температура оставалась постоянной. Сделайте чертёж, лучше два.
Учтите закон парциальных давлений. Удачи в преобразованиях.
236. В сосуде объёмом V  30 л содержится идеальный газ при температуре 0 оС. После того как часть газа была выпушена наружу, давление в
сосуде понизилось на p  0,78 атм (без изменения температуры).
Найти массу выпущенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях ρ  1,3 г/л. Желательно сделать два чертежа. Уточнить
данные в символическом виде (на чертеже). Записать уравнения состояния газа. Система позволяет выразить изменение давления. Если
записать условие нормального состояния газа, можно выразить оста вшиеся неизвестные величины. Преобразуйте, должно получиться.
237. Сосуд объёмом V  20 л содержит смесь водорода и гелия при температуре t  20 оС и давлении p  2 атм. Масса смеси m  5 г. Найти отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси. Сделайте че ртёж. Не забудьте уточнить различие в строении газов. Закон парциальных давлений и объединённый газовый закон должны помочь.
Преобразуйте, если трудно, подходите.
238. Котел объемом 2 м 3 содержит перегретый водяной пар массой 10 кг
при температуре 500 оК. Определить давление пара в котле. Сделайте
чертёж, уточните понятие «перегретый пар». Разобрались? Осталось
лишь записать уравнение состояния газа. Задачка оказалась простой?
239. Определите молярные теплоёмкости газа и число степеней свободы,
если его удельная теплоёмкость при постоянном объёме равна 10,4
кДж/кгּК, а удельная теплоёмкость при постоянном давлении составляет 14,6 кДж/кгּ К. Установите связь между молярной и удельной теплоёмкостями; есть в учебнике (лекциях), получите два уравнения.
Преобразуя, найдёте число степеней свободы. В этих же преобразованиях содержится молярная масса. Какой же это газ?
240. В баллоне объёмом V  7,5 л при температуре   300 оК находится
смесь идеальных газов:  1  0,1 моль кислорода,  2  0,2 моль азота и
 3  0,3 моль углекислого газа. Считая газы идеальными, найти среднюю молярную массу М данной смеси, которая входит в уравнение её
состояния. Уточните закон парциальных давлений. Не забывайте
уравнение состояния идеального газа. Всё это наводит на мысль, что
уравнений должно быть четыре. Преобразуйте, должно получиться.
241. Температура на улице –13 оС, в помещении 22 оС. На сколько изменится давление в газовом баллоне, если его внести в помещение? В
помещении манометр на баллоне показывал 1,5 МПа. Сделайте чертёж, до и после внесения. Отобразите условия состояния. Запишите
для каждого случая уравнение состояния идеального газа. Уточните
для себя, что означают слова «на сколько изменится давление». Какая
математическая операция позволяет найти это изменение? Уравнение
состояния газа для двух ситуаций позволяет её выполнить? Будьте
внимательны, одно из уравнений потребуется дважды. Удачи.
242. Сколько частиц воздуха находится в комнате площадью 20 м 2 и высотой 3 м при температуре 17 оС и давлении 752 мм. рт. ст.? Уточните,
из каких газов и в каком соотношении состоит воздух. Воспользуйтесь
законом парциальных давлений. Естественно, без уравнения состояния идеального газа не обойтись. Два уравнения, преобразования и
две математических операции ведут к успеху. Удачи.
243. На сколько понизилось давление кислорода в баллоне емкостью 100 л,
если из него откачали 3 кг газа? Температура газа 17 оС оставалась постоянной. Сделайте чертёж, до и после удаления газа; отобразите
условия состояния. Запишите для каждого случая уравнение состояния идеального газа. Уточните для себя, что означают слова «на
сколько понизилось давление». Какая математическая операция позволяет найти это изменение? Уравнение состояния газа для двух ситуаций позволяет её выполнить? Преобразуйте. Должно получиться.
244. Одноатомный газ массой 1,5 кг находится под давлением 5 атм и имеет плотность 6 кг/м 3. Найти энергию теплового движения молекул газа
при этих условиях. Сделайте чертёж, отобразите условия состояния.
Уравнение состояния идеального газа обязательно. Уточните, из чего
складывается энергия теплового движения молекул газа; запишите
энергию одной молекулы, при этом уточните число степеней свободы.
Как может быть найдена энергия для всего ансамбля частиц? Уравн ение состояния, уравнение для энергии одной частицы, уравнение
нахождения числа молей через преобразования позволяют найти ответ.
245. Объём пузырька воздуха по мере всплывания его со дна озера увеличивается в 3 раза. Какова глубина озера? Температура постоянна, атмосферное давление 100 кПа. Сделайте чертёж, отобразите условия
состояния. Уравнение состояния идеального газа для этих состояний
записали? Два уравнения есть! Соотношение объёмов записали? Разберитесь с давлением: до и после всплытия. Если пузырёк всплыл, ч ему равно его давление вблизи границы раздела вода – воздух? А на дне
озера столб воды оказывает воздействие на пузырёк? Так запишите
это воздействие! Удачи. Если трудно, подходите. Помогут.
246. В баллоне объёмом 10 л находится гелий под давлением 1 МПа при
температуре 300 К. После того как из баллона было взято 10 г гелия,
температура в баллоне понизилась до 290 К. Определить давление ге-
лия, оставшегося в баллоне. Сделайте чертёж, лучше два; отобразите
условия состояния. Записали уравнения идеального газа для этих
условий? Два уравнения есть, третье напрашивается для массы газа.
Не записали? Так запишите! Удачи в преобразованиях.
247. В баллоне объёмом 25 л находится водород при температуре 290 К.
После того как часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на 0,4 МПа. Определить массу израсходованного газа. Температура постоянна. Сделайте чертёж, здесь лучше два; отобразите условия состояния. Запишите уравнения идеального газа для этих состояний. Два уравнения есть, третье напрашивается для изменения массы
газа. Не записали? Так запишите! Удачи в преобразованиях.
248. В колбе вместимостью 100 мл находится некоторый газ при температуре 300 К. Вследствие утечки, из колбы вышло 10 20 молекул. На
сколько понизилось давление газа в колбе? Сделайте чертёж, здесь
лучше два; отобразите условия этих состояний. Запишите уравнения
состояния идеального. Два уравнения есть, третье напрашивается для
числа молекул газа в колбе. Не записали? Так запишите! Удачи в преобразованиях; будьте внимательны, они разнонаправлены. Лучше выражать изменение давления.
249. В цилиндре под невесомым поршнем находился воздух в объёме V1 
0,37 л и атмосферном давлении P1  710 мм. рт. ст. После погружения
цилиндра в воду с температурой t2  25 С на глубину h  1,5 м объём воздуха уменьшился до V2  0,34 л. Определить температуру воздуха Т1. Сделайте чертёж, лучше два; отобразите условия состояния.
Запишите уравнения идеального газа для этих состояний. Третье
уравнение свяжет давление воздуха и давление столба воды, то есть
определит давление второго состояния. Преобразуйте.
250. Из баллона объемом V  25 л, содержащего сжатый воздух при давлении P1  3,9 МПа и температуре t1  35 С, постепенно выпускают
массу воздуха m  0,48 кг. После закрытия крана температура воздуха
в баллоне t2  –15 С. Определить давление P2. Сделайте два чертежа,
отобразите условия состояния. Запишите уравнения идеального газа
для этих состояний. Решая систему уравнений, находите неизвестный
параметр.
11. Первое начало термодинамики. Процессы
251. Водород массой 40 г, имевший температуру 300 оК, адиабатически
расширился, увеличив объём в три раза. Затем при изотермическом
сжатии объём газа уменьшился в 2 раза. Определить полную работу,
совершенную газом и конечную температуру газа. Представьте процессы газа на графике в координатах (V,Р). Не забудьте порядок обозначения координатных осей (х,у). В учебнике, записях найдите ана-
литические выражения, отображающие связь между термодинамическими параметрами при адиабатическом процессе (TV; PV) и совершаемую при этом работу. Получите систему из трёх уравнений. Преобразуйте. Отметим, это не единственный путь. Дерзайте.
252. Найти молярную массу газа, если при изобарическом нагревании 0,5
кг этого газа на  Т  10 оК требуется на  Q  1,48 кДж больше, чем
при его изохорическом нагревании. Отобразите процессы газа в координатных осях (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Воспользуйтесь дважды первым началом термодинамики (два процесса).
Выразите для каждого из них изменение внутренней энергии и совершённую работу. Не забудьте, разность теплоты процессов известна.
Это один из вариантов решения. Ищите свой вариант. Удачи.
253. Какое количество тепла надо сообщить азоту при изобарическом
нагревании, чтобы газ совершил работу 2 Дж? Отобразите процесс газа в координатных осях (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у).
Воспользуйтесь первым началом термодинамики. Для нахождения работы можно воспользоваться уравнением состояния идеального газа,
что позволит выразить её через массу газа, сортность газа и разность
температур. Изменение внутренней энергии может быть выражено через эти же параметры. Не забудьте учесть возможные степени свободы
обозначенного газа. Удачи. Трудно, подходите. Помогут.
254. Из баллона объёмом V, содержащего сжатый воздух при давлении P1
и температуре t1, постепенно выпускают некоторую массу воздуха m.
После закрытия крана давление воздуха в баллоне равно P2, температура t2.Определить массу m, если V  120 л; P1  0,42 МПа; t1  17
С; P2  0,18 МПа; t2  3 С. Сделайте рисунок, лучше два: до и после; позволить лучше понять происходящее и записать для этих состояний объединённый газовый закон. Система ведёт к уравнению с одним неизвестным. Удачи в преобразованиях.
255. Цикл, совершаемый одним киломолем идеального двухатомного газа,
состоит из двух изохор и двух изобар. Совершаемая газом за цикл р абота равна А  32 кДж. Минимальное значение объёма V1  0,25 м3, а
давления P1  170 кПа; максимальное значение V2  0,85 м 3. Определить количество тепла Q полученное за цикл. Отобразите процессы
газа в координатных осях (V,P). Учтите порядок обозначения осей
(х,у). Из первого начала термодинамики (записали?) следует – нужно
найти изменение внутренней энергии (А известно). Одно из направлений её нахождения – уравнение состояния идеального газа; дважды
записать. Разность левых частей этих уравнений позволяет найти аналитическое уравнение работы, тогда как разность правых частей – эту
работу через массу газа, его сортность и изменение температуры. Записав уравнение изменения внутренней энергии, обнаружите возмож-
ность её нахождения. Удачи в преобразованиях. Трудно? Подходите.
256. Двухатомный газ при давлении P1  650 кПа имел объём V1  0,38 м3,
а при давлении P2  1700 кПа объём равен V2. Переход из первого
состояния во второе был сделан в два этапа: сначала по изотерме, затем по изохоре. Приращение внутренней энергии U  – 270 кДж.
Определить объём V2. Отобразите процессы газа в координатных осях
(V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Один из вариантов аналитической записи может быть таким. Запишите объединённый газовый закон для первого состояния. Поскольку изменение энергии при
изохорическом процессе известно, сделайте аналитическую запись.
Если в этой системе произвести преобразования, можно найти отношение температур. Записав объединённый газовый закон и для втор ого состояния, можно найти объёмом второго состояния (через преобразование с первым состоянием). Удачи. Трудно, подходите. Помогут.
257. Азот массой 14 г адиабатически расширяются так, что давление
уменьшается в 5 раз и затем изотермически сжимается до первоначального давления. Начальная температура азота 420 °С. Найти совершённую газом работу. Отобразите процессы в координатах (V,P).
Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите уравнение работы
при адиабатическом и изотермическом процессах; уравнение состояния газа. Преобразуйте. Будьте внимательны к знакам. Удачи.
258. Из баллона объёмом V, содержащего азот при температуре t1 , выпускается часть газа столь быстро, что теплообмен газа в баллоне с атмосферой за время выпуска не успевает произойти. Сразу после закрытия крана температура газа в баллоне равна t2, давление P2. Масса выпущенного азота равна m. Определить температуру t 1, если V  60
л; P2  3,7М Па; t2  –15 С; m  1,12 кг. Сделайте рисунок, лучше
два: до и после; позволить лучше понять происходящее и записать для
этих состояний объединённый газовый закон. Система позволяет получить уравнение с двумя неизвестными. Третье уравнение должно
отражать адиабатический процесс. Придётся выбирать Вам; из трёх
уравнений Пуассона. Удачи. Трудно? Подходите.
259. Водород находился в объёме V1  0,33 м 3 при давлении P1  1750 кПа,
а при изменении объёма до V2  0,68 м 3 давление его стало равным P2
 250 кПа. Переход из первого состояния во второе совершался в два
этапа: сначала по изохоре, затем по адиабате. Определить количество
поглощённого тепла  Q. Отобразите процессы в координатах (V,P).
Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите объединённый газовый закон для трёх состояний; одно из них промежуточное (при изохоре). Запишите количество тепла в каждом процессе; их сумму нужно найти. Здесь не обойтись без аналитической записи промежуточных процессов: изохорического, адиабатического. Осталось преобра-
зовывать. Будьте внимательны к знакам. Необходимые уравнения
можно найти в учебнике, лекциях. Удачи. Если трудно, подходите.
Помогут.
260. Кислород массой m  2 кг занимает объём V1  1 м3 и находится под
давлением P1  0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объёма V2  3 м3, а затем при постоянном объёме до давления P2  0,5 МПа. Найти изменение  U внутренней энергии газа.
Отобразите процессы в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите изменение внутренней энергии газа для каждого процесса. Поможет аналитическая запись промежуточных процессов: изобарического, изохорического. Не помешает объединённый
газовый закон для каждого из трёх состояний. Удачи в преобразованиях.
261. Из баллона объёмом V, содержащего азот при температуре t1 , выпускается часть газа столь быстро, что теплообмен газа в баллоне с атмосферой за время выпуска не успевает произойти. Сразу после закрытия крана температура газа в баллоне равна t2, давление P2. Масса выпущенного азота равна m. Определить объем V, если t1  32 С; P2 
0,4 МПа; t2  –11 С; m  0,17 кг. Сделайте рисунок, лучше два: до и
после; позволить лучше понять происходящее и записать для этих состояний объединённый газовый закон. Система ведёт к уравнению с
двумя неизвестными. Третье уравнение должно отражать адиабатический процесс. Придётся выбирать; из трёх уравнений Пуассона. Удачи. Трудно? Подходите.
262. Кислород массой m  2 кг занимает объём V1  1 м3 и находится под
давлением P1  0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объёма V2  3 м3, а затем при постоянном объёме до давления P2  0,5 МПа. Найти теплоту  Q, переданную газу. Отобразите
процессы в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у).
Запишите первое начало термодинамики для каждого процесса;
найдите в учебнике, лекциях. Поможет запись уравнения состояния
газа. Преобразуйте, должно получиться. Если трудно, подходите. Помогут.
263. В цилиндре под поршнем находится водород массой 0,02 кг при температуре 300 К. Сначала водород расширялся по адиабате, увеличив
свой объём в пять раз. Затем был сжат изотермически, причём объём
газа уменьшился в пять раз. Найти полную работу, совершённую газом. Отобразите процессы в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите уравнение работы при адиабатическом
и изотермическом процессах; уравнение состояния газа. Преобразуйте. Будьте внимательны к знакам. Удачи.
264. Один киломоль газа изобарически нагревается от 20 оС до 600 оС, по-
глощая 12 МДж теплоты. Найти число степеней свободы молекул газа,
приращение внутренней энергии газа, работу газа. Отобразите процесс
в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите первое начало термодинамики; уравнение состояния газа; работу и
изменение внутренней энергии при изотермическом процессе. Проведите преобразования, что позволит найти число степеней свободы. Из
этих же уравнений найдёте ответы на остальные вопросы. Удачи.
265. Водород массой 40 г, имевший температуру 300 К, адиабатически
расширился, увеличив объём в три раза. Затем при изотермическом
сжатии объём газа уменьшился в 2 раза. Определить полную работу,
совершенную газом и конечную температуру газа. Отобразите процессы в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите уравнение работы (учебник, лекции) при адиабатическом и
изотермическом процессах; уравнение состояния газа. Пригодится
уравнение Пуассона. Преобразуйте. Внимательнее со знаками в работе.
266. Азот массой 14 г адиабатически расширяются так, что давление
уменьшается в 5 раз и затем изотермически сжимается до первоначального давления. Начальная температура азота 420 °С. Найти приращение внутренней энергии газа. Отобразите процессы в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите уравнение изменения внутренней энергии при адиабатическом и изотермическом процессах; уравнение состояния газа. Преобразуйте. Внимательнее со знаками в адиабатическом процессе.
267. В баллоне ёмкостью 10 л находится кислород при температуре 300 К
под давлением 100 кПа. При нагревании кислород получил 8350 Дж
теплоты. Определить температуру и давление кислорода после нагревания. Отобразите процесс в координатах (V,P). Учтите обозначение
осей (х,у). Запишите объединённый газовый закон для начального и
конечного состояний указанного процесса; первое начало термодинамики. Преобразуйте, должно получиться. Трудно. Приходите.
268. Необходимо сжать 110–2 м3 воздуха до объёма в 210–3 м3. Как выгоднее его сжимать: адиабатически или изотермически? Отобразите процессы в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у).
Запишите уравнение работы при адиабатическом и изотермическом
процессах. Преобразуйте. Должно получиться.
269. Для аргона отношение удельных теплоёмкостей равно 1,67. Определить давление, получившееся после адиабатического расширения этого газа от 1 л до 2 л, если начальное давление равно 10 5 Па. Отобразите процессы в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей
(х,у). Запишите уравнение адиабатического процесса (уравнение
Пуассона). Преобразуйте.
270. Из баллона объёмом V, содержащего азот при температуре t1 , выпускается часть газа столь быстро, что теплообмен газа в баллоне с атмосферой за время выпуска не успевает произойти. Сразу после закрытия крана температура газа в баллоне равна t2, давление P2. Масса выпущенного азота равна m. Определить давление P2 , если V  150 л; t1
 19 С; t2   2 С; m  0,14 кг. Сделайте рисунок, лучше два: до и
после; позволить лучше понять происходящее и записать для этих состояний объединённый газовый закон. Система ведёт к уравнению с
двумя неизвестными. Третье уравнение должно отражать адиабатический процесс. Придётся выбирать; из трёх уравнений Пуассона. Удачи. Трудно? Подходите.
271. Из баллона объёмом V, содержащего сжатый воздух при давлении P1
и температуре t1, постепенно выпускают некоторую массу воздуха m.
После закрытия крана давление воздуха в баллоне равно P2, температура t2.Определить температуру t1, если V  60 л; P1  7,5 МПа; m 
2,6 кг; P2  3,5 МПа; t2  –25 С. Сделайте рисунок, лучше два: до и
после; позволить лучше понять происходящее и записать для этих состояний объединённый газовый закон. Система ведёт к уравнению с
одним неизвестным. Удачи в преобразованиях.
272. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на   
72 К, сообщив ему количество тепла Q  1,6 кДж. Найти приращение
его внутренней энергии. Отобразите процесс в координатах (V,P).
Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите первое начало термодинамики (учебник, лекции). Сделайте аналитическую запись компонентов, входящих в первое начало. Преобразуйте и выражайте.
Удачи.
273. Два моля идеального газа при температуре Т  300 К охладили изохорически, вследствие чего его давление уменьшилось в n 2 раза. Затем
газ изобарически расширили так, что в конечном состоянии его температура стала равной первоначальной. Найти количество тепла, поглощённого газом в данном процессе. Отобразите процесс в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите первое
начало термодинамики (учебник, лекции); объединённый газовый закон для состояний в изохорическом процессе, что позволит связать
температуру первого и второго состояний. Раскройте первое начало
термодинамики для изотермического и изобарического процессов.
Преобразуйте, не забывая про знаки компонентов. Получится. Можно
подойти.
274. В вертикальном цилиндре под невесомым поршнем находится один
моль некоторого идеального газа при температуре Т. Пространство
над поршнем сообщается с атмосферой. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно поднимая поршень, изотермически увели-
чить объём газа под ним в n раз? Трения нет. Сделайте рисунок, лучше два: до и после; позволить лучше понять происходящее и записать
для этих состояний объединённый газовый закон. «Медленно» предполагает изотермический процесс; можно записать количество полученного тепла. Извне! Работа по преодолению атмосферного давления
затрачивается на изотермическое увеличение объёма; запишите её.
Уравнения состояния, подставленные в выражение для работы, позволяют выразить её через заданные параметры. Осталось учесть энергию, полученную извне; процесс изотермический. Удачи в преобразованиях. Если трудно, подходите.
275. Три моля идеального газа, находившегося при температуре Т1  300 К,
изотермически расширили в n  5 раз и затем изохорически нагрели
так, что его давление стало равным первоначальному. За весь процесс
газу сообщили количество тепла Q  80 кДж. Найти  (Ср/Сv) для этого газа. Отобразите процесс в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите первое начало термодинамики (учебник, лекции); уравнение изотермического и изохорического процессов, что позволит связать параметры первого, второго и третьего состояний. Раскройте первое начало термодинамики для изотермического и изохорического процессов. Выразите в общем виде подведённое к
системе количество теплоты; в этом выражении появится параметр –
число степеней свободы. Найдите аналитическое выражение для .
Преобразуйте. Удачи. Трудно, подходите.
12. Второе начало термодинамики. Энтропия
276. Кислород массой m  2 кг увеличил свой объём в n  5 раз, один раз
изотермически, другой – адиабатически. Каково будет изменение
энтропии в этих двух случаях? Отобразите процессы на одном
графике в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у).
Запишите для изотермического и адиабатического процессов
(учебник, лекции) приращение энтропии системы и первое начало
термодинамики; запишите первое начало термодинамики через
термодинамические параметры, заданные условием задачи. Будьте
внимательны к аналитической записи адиабатического процесса.
Преобразуйте. Трудно? Подходите. Помогут. Удачи.
277. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту 84 кДж. Какую
работу совершает газ, если температура нагревателя в три раза выше
температуры охладителя? Отобразите процесс на графике в
координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у).
Попробуйте осознать, почему возможен замкнутый цикл; прояснится
формализованная запись КПД цикла Карно как через теплоты, так и
через температуры. Преобразуйте. Должно получиться.
278. Найти изменение энтропии при нагревании 100 г воды от 0 С до 100
С и последующем превращении воды в пар той же температуры. Количество теплоты, необходимое при изменении температуры тела,
определяется его массой, удельной теплоёмкостью и изменением температуры. Найдите аналитическую запись (школьную, в дифференциальной форме) и постройте график: Т  f(Q); не забудьте, вода нагревается; превращается в пар. Сделайте аналитическую запись для изменения энтропии (учебник, лекции): должна получиться сумма из двух
интегралов (по температуре и по массе). Преобразуйте. Удачи.
279. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от нагревателя теплоту 4,38 кДж и совершил работу 2,4 кДж. Определить температуру нагревателя, если температура охладителя 273 К. Отобразите
процесс на графике в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения
осей (х,у). Попробуйте осознать, почему возможен замкнутый цикл;
прояснится формализованная запись КПД цикла Карно как через теплоты, так и через температуры. Преобразуйте. Должно получиться.
280. Найти изменение энтропии при изобарическом расширении азота массой 4 г от объёма 5ּ10–3 м3 до объёма 9ּ10–3 м3. Отобразите процесс на
графике в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у).
Запишите аналитические выражения: первого начала термодинамики и
изменения энтропии указанного процесса. Раскройте первое начало
термодинамики через параметры задачи. Удачи в преобразованиях.
281. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура
нагревателя 500 К, охладителя 250 К. Определить работу, совершенную рабочим веществом при изотермическом расширении, а также
термический к.п.д. цикла, если при изотермическом сжатии совершена
работа 70 Дж. Отобразите процесс на графике в координатах (V,P).
Учтите порядок обозначения осей (х,у). Попробуйте осознать, почему
возможен замкнутый цикл; прояснится формализованная запись КПД
цикла Карно как через теплоты, так и через температуры. Внимательнее к понятиям раздела. Преобразуйте. Должно получиться.
282. Гелий массы m  1,7 г адиабатически расширили в n  3 раза и затем
изобарически сжали до первоначального объёма. Найти приращение
энтропии газа. Отобразите процессы на графике в координатах (V,P).
Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите для адиабатического и изобарического процессов (учебник, лекции) приращение энтропии системы и первое начало термодинамики; запишите первое начало
через термодинамические параметры, заданные условием задачи.
Будьте внимательны к аналитической записи адиабатического процесса. Не помешает уравнение состояния газа. Удачи в преобразованиях.
283. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура нагревателя в n  1,6 раза больше температуры холодильника. За один цикл
машина производит работу А  12 кДж. Какая работа за цикл затрачивается на изотермическое сжатие рабочего вещества, которым является идеальный газ? Отобразите процесс на графике в координатах
(V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Проясните для себя понятия раздела, входящие в формализованную запись КПД цикла Карно
как через теплоты, так и через температуры. Трудно? Подходите.
284. Кусок льда массой m  200 г, взятый при температуре t1  –10 С, был
нагрет до t2  0 С и расплавлен, после чего образовавшаяся вода была
нагрета до температуры t3  10 С. Определить изменение S энтропии
льда. Количество теплоты, необходимое для изменения агрегатного
состояния льда, определяется его массой, удельной теплоёмкостью
льда, изменением температуры, удельной теплотой плавления и теплоёмкостью воды. Найдите аналитическую запись (школьную, в дифференциальной форме) и постройте график: Т  f(Q); не забудьте, лёд
нагревается, превращается в воду, которая нагревается. Сделайте аналитическую запись для изменения энтропии (учебник, лекции): должна получиться сумма из трёх интегралов (два по температурам и по
массе). Преобразуйте. Получится.
285. Газ, совершающий цикл Карно, отдал охладителю теплоту 14 кДж.
Определить температуру нагревателя, если при температуре охладителя 280 К работа цикла равна 6 кДж. Как будет выглядеть изображение цикла Карно на диаграмме (T,S), если выразить состояние системы через энтропию S и абсолютную температуру T вместо давления и
объёма? Отобразите процесс на графике в координатах (V,P). Учтите
порядок обозначения осей (х,у). Сделайте аналитическую запись КПД
цикла Карно: через работу, теплоту, температуру (учебник, лекции);
уточните понятия входящие в выражение, что поможет в преобразованиях. Для выполнения второго задание уточните понятие энтропии.
Не забудьте, для обратимого адиабатического процесса энтропия постоянна. Изменение энтропии при обратимом изотермическом процессе найдите в учебнике, лекциях. Удачи. Трудно? Подходите, помогут.
286. Смешивают 4 кг воды при 80 С и 6 кг воды при 20 С. Определить
изменение энтропии при этом процессе. Количество теплоты, необходимое при изменении температуры тела, определяется его массой,
удельной теплоёмкостью, изменением температуры. Найдите аналитическую запись (школьную, в дифференциальной форме) и постройте
график: Т  f(Q); это позволит найти температуру смеси; не забудьте,
одна часть воды нагревается, другая – охлаждается. Запишите аналитически изменение энтропии (учебник, лекции): должна получиться
сумма из двух интегралов (по температуре). Преобразуйте. Удачи.
287. Моль идеального газа из жёстких двухатомных молекул совершает
цикл Карно. Температура нагревателя Т1  400 К. Найти КПД цикла,
если при адиабатическом сжатии газа затрачивается работа Á  2 кДж.
Отобразите процесс на графике в координатах (V,P). Учтите порядок
обозначения осей (х,у). Сделайте аналитическую запись КПД цикла
Карно как через теплоты, так и через температуры. Найдите аналитическое выражение (лекции, записи) для работы при адиабатическом
процессе; желательно через температуры: нагревателя, холодильника.
Преобразуйте. Удачи.
288. Струя водяного пара при температуре 100 С, направленная на глыбу
льда массой 4 кг при температуре 20 С, растопила её и нагрела получившуюся воду до 60 С. Найти изменение энтропии при этом
процессе. Количество теплоты, необходимое при изменении температуры тела, определяется его массой, удельной теплоёмкостью, изменением температуры, удельной теплотой изменения фазового состояния. Найдите аналитическую запись (школьную, в дифференциальной
форме) и постройте график: Т  f(Q); не забудьте, одно вещество
нагревается, изменяет фазовое состояние, нагревается, другое – изменяет фазовое состояние, охлаждается. Запишите аналитически изменение энтропии (учебник, лекции): должна получиться алгебраическая
сумма из двух интегралов (по температуре) и двух интегралов по массе. Преобразуйте. Удачи. Заметим, это один из возможных путей.
289. В каком случае КПД цикла Карно повысится больше: при увеличении
температуры нагревателя на  оК; или при уменьшении температуры
холодильника на такую же величину? Отобразите процесс на графике
в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите аналитически КПД цикла Карно: через работу, теплоту, температ уру (учебник, лекции); последнее необходимо записать для двух температур, отличающихся на о; уточните понятия входящие в выражение, что поможет в преобразованиях. Удачи. Трудно? Подходите.
290. Равные массы кислорода и водорода одинаково изотермически сжимают. Для какого газа изменение энтропии будет больше и во сколько
раз? Отобразите процесс на графике в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите для изотермического процесса
(учебник, лекции) приращение энтропии системы и первое начало
термодинамики; первое начало запишите через термодинамические
параметры, заданные условием задачи. Получите систему из двух
уравнений. Преобразуйте. Если есть вопросы, подходите. Помогут.
291. Водород совершает цикл Карно. Найти КПД цикла, если при адиабатическом расширении объём газа увеличивается в n  2 раза. Отобразите замкнутый процесс на графике в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите аналитически КПД цикла Карно: через работу, теплоту, температуру (учебник, лекции); запишите
уравнение Пуассона, связывающее параметры, указанные в условии
задачи с параметрами в КПД. Удачи. Подходите, в трудную минуту.
292. В сосудах 1 и 2 находится по 1,2 моль газообразного гелия. Отношение объёмов сосудов V2/V1  α  2, а отношение температур гелия в
них Т1/Т2  β  1,5. Считая газ идеальным, найти разность энтропий
гелия в этих сосудах (S2 – S1). Уточните понятие энтропии (учебник,
лекции). В сосудах температура установилась в результате поступа ющего элементарного количества тепла извне; раскройте это количество
тепла через элементарное изменение внутренней энергии и элементарную работу (давление лучше заменить через объединённый газовый закон). Полученное выражение подставьте в уравнение энтропии.
Можно переходить к интегрированию. Если возникнут трудности,
возьмите нижний предел от критической температуры до температуры
условия задачи. Получите два уравнения. Преобразуйте. Должно получиться. Если трудно, подходите. Помогут. Удачи.
293. Водород совершает цикл Карно. Найти КПД цикла, если при адиабатическом расширении давление уменьшается в n  2 раза. Отобразите
замкнутый процесс на графике в координатах (V,P). Учтите порядок
обозначения осей (х,у). Запишите аналитически КПД цикла Карно: через работу, теплоту, температуру (учебник, лекции); запишите уравнение Пуассона, связывающее параметры, указанные в условии задачи
с параметрами в КПД. Удачи. Трудно? Подходите.
294. Найти приращение энтропии двух молей идеального газа с показателем адиабаты   1,3, если объём газа увеличился в α  2 раза, а давление уменьшилось в β  3 раза. Отобразите на графике в координатах
(V,P) указанные в задаче состояния 1 и 2. Учтите порядок обозначения
осей (х,у). Посмотрите по графику, как возможно попасть из точки 1 в
точку 2. Такая формулировка возможна, поскольку в условии задачи
есть фраза «в результате некоторого процесса». Выбор невелик: изобара  изохора, или наоборот. Для каждого из процессов (выбранного
вами направления) запишите первое начало термодинамики и, привлекая аналитическую запись понятия энтропии, вычислите приращение
энтропии; при сложении внимательнее со знаками. Удачи. Подходите.
295. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изохоры, адиабаты и
изотермы; причём изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла. Найти КПД цикла, если температура Т в
его пределах изменяется в n раз. Учитывая порядок обозначения осей
(х,у), отобразите процессы на графике в координатах (V,P), обращая
внимание на фразу «изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла (замкнутого)». Запишите аналитически
КПД цикла: через полезную работу (определяется адиабатическим и
изотермическим процессами); теплоту (изохорический процесс)
(учебник, лекции). Воспользуйтесь аналитической записью работы и
энергии при соответствующем процессе; не избежать уравнения Пуассона, связывающего параметры, соответствующие условию задачи.
Удачи. Трудно? Подходите. Помогут.
296. В некотором процессе температура вещества зависит от его энтропии
S по закону Т  αּSn, где α, n – некоторые постоянные. Найти теплоёмкость С вещества как функцию S. Уточните понятие энтропии и теплоёмкости вещества (учебник, лекции). Запишите аналитически элементарное изменение энтропии (внимательнее с понятием теплоёмкости вещества). Поскольку температура является функцией энтропии,
замените её в аналитической записи энтропии через заданную функциональную зависимость. Удачи в преобразованиях.
297. Во сколько раз следует увеличить изотермически объём идеального
газа в количестве 4 моль, чтобы его энтропия испытала приращение
S  23 Дж/К? Отобразите процесс на графике в координатах (V,P).
Учтите порядок обозначения осей (х,у). Запишите первое начало термодинамики для данного процесса. Уточните понятие энтропии; запишите её аналитическое выражение. Возьмите интеграл; преобразуйте согласно поставленному вопросу. Удачи. Трудно? Подходите. Помогут.
298. Два моля идеального газа сначала изотермически охладили, а затем
изобарически расширили так, что температура газа стала равной первоначальной. Найти приращение энтропии газа, если его давление в
данном процессе изменилось в n  3,3 раза. Отобразите процессы на
графике в координатах (V,P). Учтите порядок обозначения осей (х,у).
Запишите первое начало термодинамики; для каждого процесса.
Уточните понятие энтропии; запишите её аналитическое выражение;
для каждого процесса. Придётся интегрировать. При сложении повнимательнее со знаками. Если трудно, подходите. Помогут. Удачи.
299. Найти приращение энтропии алюминиевого бруска с массой m  3 кг
при нагревании его от Т1  300 К до Т2  600 К, если в этом интервале
температур теплоёмкость алюминия с  а  bּТ, где а  0,77 Дж/(гּ К), b
 0,46 мДж/(гּК). Уточните понятие энтропии; запишите аналитически
элементарное изменение энтропии; не забыли учесть заданный в условии задачи закон изменения теплоёмкости? Осталось лишь проинтегрировать. Удачи в вычислениях.
300. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изобары, адиабаты и
изотермы; причём изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла. Найти КПД цикла, если температура Т в
его пределах изменяется в n раз. Учитывая порядок обозначения осей
(х,у), отобразите процессы на графике в координатах (V,P), обращая
внимание на фразу «изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла (замкнутого)». Запишите аналитически
КПД цикла: через полезную работу (определяется изобарическим и
адиабатическим процессами); теплоту (изобарический процесс) (учебник, лекции). Воспользуйтесь аналитической записью работы и энергии при соответствующем процессе; не избежать уравнения Пуассона,
связывающего параметры, соответствующие условию задачи. Удачи.
Трудно? Подходите. Помогут.
Таблица 1
N зад
Nвар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
26
27
28
29
30
31
32
33
34
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
51
52
53
54
55
56
57
58
59
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
76
77
78
79
80
81
82
83
84
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
101
102
103
104
105
106
107
108
109
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
126
127
128
129
130
131
132
133
134
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
151
152
153
154
155
156
157
158
159
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
176
177
178
179
180
181
182
183
184
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
201
202
203
204
205
206
207
208
209
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
226
227
228
229
230
231
232
233
234
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
251
252
253
254
255
256
257
258
259
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
276
277
278
279
280
281
282
283
284
Таблица 2
N зад
Nвар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
24
25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
49
50
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
74
75
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
99
100
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
124
125
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
149
150
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
174
175
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
199
200
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
224
225
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
249
250
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
274
275
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
299
300
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
Таблица 3
N зад
Nвар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
2
3
4
5
6
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
26
27
28
29
30
31
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
51
52
53
54
55
56
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
76
77
78
79
80
81
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
101
102
103
104
105
106
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
126
127
128
129
130
131
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
151
152
153
154
155
156
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
176
177
178
179
180
181
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
201
202
203
204
205
206
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
226
227
228
229
230
231
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
251
252
253
254
255
256
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
276
277
278
279
280
281
Таблица 4
N зад
Nвар
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
16
17
18
41
42
43
66
67
68
91
92
93
116
117
118
141
142
143
166
167
168
191
192
193
216
217
218
241
242
243
266
267
268
291
292
293
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
19
20
21
22
23
24
25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
44
45
46
47
48
49
50
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
69
70
71
72
73
74
75
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
94
95
96
97
98
99
100
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
119
120
121
122
123
124
125
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
144
145
146
147
148
149
150
126
126
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
169
170
171
172
173
174
175
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
194
195
196
197
198
199
200
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
219
220
221
222
223
224
225
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
244
245
246
247
248
249
250
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
269
270
271
272
273
274
275
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
294
295
296
297
298
299
300
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
Библиографический список
1. Калашников, Н.П. Основы физики: учеб. пособие для вузов: [в 2 т.]. Т.1 /
Н.П. Калашников, М.А. Самарина. – 2-е изд. перераб. – М.: Дрофа, 2003. –
398 с.
2. Савельев, И.В. Курс общей физики: в 3 т. Т 1: Механика. Молекулярная физика / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1977. – 416 с.
3. Иродов, И.Е. Задачи по общей физике: учеб. пособие для вузов / И.Е. Иродов. – СПб.: лань, 2006. – 416 с.
4. Чертов, А.Г. Задачник по физике: учеб. пособие для втузов / А.Г. Чертов,
А.А. Воробьёв. – 7-е изд. перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 636 с.
5. Яврский, Б.М. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов /
Б.М. Яворский, А.А. Детлаф, А.К. Лебедев. – 8-е изд., перераб. и испр. – М.:
Оникс: Мир и Образование, 2002.