Document 468512

Проект версия 308809706 Дата печати 21.01.2016 4:26:00
Желтый цвет (на печати серый) – обратить внимание на формулировку. Красный (на печати темный) - несогласие
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
Изучение математики в основной школе направлено на достижение следующих целей:
 интеллектуальное развитие учащихся: развитие логического мышления и речи, алгоритмической культуры, формирование качеств мышления, свойственных математической деятельности и необходимых для получения общего образования, для полноценной жизни в современном обществе;
 воспитание качеств личности, связанных с изучением математики – воображения,
интуиции, творческой активности и самостоятельности, способности ориентироваться
в новых условиях;
 овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для применения в повседневной жизни, изучения смежных дисциплин, продолжения обучения в
старшей школе или иных формах среднего образования:
 развитие представлений о числе; формирование практических навыков выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений и вычислительной культуры;
 овладение символическим языком алгебры, формирование формальнооперативных умений и их применение к решению математических и нематематических задач;
 изучение элементарных функций, использование функционально-графических
представлений для описания и анализа реальных зависимостей;
 развитие геометрической интуиции, пространственных представлений, освоение
основных фактов и методов планиметрии, знакомство с простейшими пространственными телами и их свойствами;
 развитие умения переходить от задач реальной жизни к их математической
формулировки и соотносить математические результаты с практикой.

формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества, об
изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.
Реализация указанных целей достигается в результате освоения следующего
содержания образования.
2
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ
ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ
Арифметика
Натуральные числа. Десятичная система счисления. Римская нумерация. Арифметические действия с натуральными числами. Степень с натуральным показателем.
Делимость натуральных чисел. Свойства делимости. Признаки делимости на 2, 3,
5, 9, 10. Признаки делимости на 4, 6 и 11. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Деление с остатком.
Целые числа: положительные, отрицательные и нуль.
Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби и его применение к преобразованиям дробей. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями.
Нахождение части от целого и целого по его части.
Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с
десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обыкновенной в виде десятичной.
Отношение. Пропорция. Основное свойство пропорции.
Проценты. Нахождение процента от величины, величины по ее проценту. Нахождение отношения величин в процентах.
Текстовые (сюжетные) задачи, в том числе на движение, работу, стоимость,
смеси. Арифметический способ их решения.
Рациональные числа. Модуль (абсолютная величина) числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Степень
с целым показателем.
Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы
арифметических действий: переместительный, сочетательный, распределительный.
Числовые равенства и их свойства. Числовые неравенства и их свойства.
Квадратный корень из числа. Иррациональность числа 2 . Корень третьей степени. Корень натуральной степени из числа.
Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. Запись чисел в
стандартном виде. Использование в вычислениях калькулятора и компьютера.
Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных
чисел. Рациональные и иррациональные числа как периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Действительные числа.
Сведения из истории. История формирования понятия числа: натуральные числа, дроби, недостаточность рациональных чисел для геометрических измерений, иррациональные числа. Старинные системы записи чисел. Дроби в Вавилоне, Египте, Риме.
Появление отрицательных чисел и нуля. Десятичные дроби и метрическая система мер.
Алгебра
Алгебраические выражения. Буквенные выражения (выражения с переменными). Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Числовое значение буквенного выражения. Подстановка одного выражения в другое.
Тождественные преобразования алгебраических выражений. Вычисления значений арифметических выражений с использованием алгебраических преобразований и
тождеств.
Свойства степеней с целым показателем и их применение в преобразовании выражений.
Многочлены. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, куб суммы и куб разности.
3
Формула разности квадратов, формула суммы кубов и разности кубов. Разложение многочлена на множители.
Многочлены с одной переменной. Степень многочлена. Корень многочлена.
Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене. Разложение
квадратного трехчлена на линейные множители.
Алгебраические дроби. Действия с алгебраическими дробями. Преобразование
рациональных выражений.
Свойства квадратных и кубических корней. Преобразования выражений, содержащих знаки квадратного и кубического корня.
Уравнения и неравенства. Уравнение с одним неизвестным (с одной переменной). Корень уравнения. Линейное уравнение с одним неизвестным. Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение рациональных
уравнений. Замена переменной. Разложение на множители. Примеры решения уравнений
высших степеней.
Уравнение с несколькими переменными. Система уравнений. Решение системы.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Методы подстановки и алгебраического сложения. Примеры решения нелинейных систем. Диофантовы уравнения.
Неравенство с одним неизвестным (с одной переменной). Решение неравенства.
Линейные неравенства с одним неизвестным и их системы. Квадратные неравенства. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Доказательство неравенств. Неравенство между средним арифметическим и
средним геометрическим.
Составление уравнений, неравенств, систем по условиям задач. Решение текстовых задач алгебраическим методом. Интерпретация результата, отбор решений.
Координаты. Изображение чисел точками координатной прямой. Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки: интервал, отрезок, полуинтервал, луч.
Формула расстояния между точками координатной прямой. Использование модуля для
задания числовых промежутков.
Декартова система координат на плоскости. Координаты точки плоскости. Формулы расстояния между точками координатной плоскости. Примеры применения различных систем координат на практике.
Уравнение с двумя переменными. Графическая интерпретация множества решений уравнения с двумя переменными. Уравнение прямой. Уравнение окружности с центром в начале координат, с центром в произвольной точке.
Графическая интерпретация решения системы уравнений с двумя переменными.
Изображение на координатной плоскости множеств, заданных неравенствами и их системами.
Сведения из истории. Зарождение алгебры в недрах арифметики. Ал-Хорезми.
Рождение буквенной символики. П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. История вопроса о
нахождении формул корней алгебраических уравнений.
История создания метода координат. Примеры различных систем координат на
плоскости.
Числовые фунции. Понятие о функции. Область определения функции. Способы
задания функции. График функции. Возрастание и убывание функции, сохранения знака
на промежутке; наибольшее и наименьшее значения функции.
Прямая пропорциональность, линейная функция и ее график (прямая). Геометрический
смысл углового коэффициента прямой. Обратная пропорциональность и ее график (гипербола). Квадратичная функция и ее график (парабола). Координаты вершины парабо-
4
лы, ее ось симметрии. Графики функций квадратного и кубического корня, функции модуль переменной (или y  x ).
Использование графиков и свойств функций для исследования и решения уравнений и систем.
Описание реальных процессов с помощью функций. Чтение и построение графиков реальных зависимостей.
Преобразования графиков: параллельный перенос вдоль осей координат и симметрия относительно осей.
Изображение чисел (углов) на единичной окружности. Синус, косинус произвольного числа. Графики тригонометрических функций и их периодичность.
Числовые последовательности и способы их задания. Рекуррентные последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена
арифметической и геометрической прогрессий. Формулы суммы первых нескольких
членов арифметической и геометрической прогрессий. Среднее арифметическое и среднее геометрическое. Простые и сложные проценты.
Сведения из истории. Введение в математику переменной величины. Как складывалось понятие функции. Язык и символика. Задача о шахматной доске. Задача Леонарда Пизанского (Фибоначчи) о кроликах.
Элементы логики
Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение
множеств. Диаграммы Эйлера.
Понятие об аксиомах и теоремах. Обратная теорема. Следствие. Доказательство
от противного. Контрпример.
Элементы вероятности и статистики
Решение комбинаторных задач. Перебор вариантов. Дерево последовательных
выборов. Правило умножения. Факториал.
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Применение средних
для характеристики ряда числовых данных (среднее арифметическое, мода, медиана).
Случайные события. Частота события, вероятность, приближение частоты к вероятности. Вычисление вероятностей на основе подсчета числа вариантов. Среднее результатов измерения. Математическое ожидание. Геометрическая вероятность.
Использование статистических инструментов (в форме таблиц, формул, вычислительных устройств) при оценке соответствия результатов измерения гипотезе.
Сведения из истории. От азартных игр к теории вероятностей. Ферма и Паскаль.
5
ГЕОМЕТРИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ, ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ
Основные понятия. Точка, прямая и плоскость. Части прямой (отрезок, луч),
угол, ломаная. Отрезок прямой как кратчайший путь между двумя точками. Расстояние. Длина отрезка. Вертикальные и смежные углы. Величина угла. Параллельность и перпендикулярность прямых. Признаки и свойства.
Фигуры на плоскости. Многоугольники. Виды многоугольников. Выпуклые
многоугольники. Окружность и круг.
Длина ломаной, периметр многоугольника.
Понятие о равенстве и симметрии в геометрии.
Треугольник. Внутренние и внешние углы треугольника. Стороны треугольника, его медианы, биссектрисы, высоты. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Равнобедренный треугольник. Свойства и признаки. Равносторонний треугольник. Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Перпендикуляр и наклонная. Сумма углов треугольника. Сумма углов
выпуклого многоугольника.
Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника. Подобие треугольников. Коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников.
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения. Теорема синусов и теорема косинусов. Вычисление элементов треугольника. Точки пересечения: серединных перпендикуляров (центр окружности, описанной около треугольника), биссектрис (центр
окружности, вписанной в треугольник), медиан, высот.
Четырехугольники. Параллелограмм. Ромб, прямоугольник, квадрат. Свойства и признаки. Равенство параллелограмма. Трапеция. Средняя линия трапеции.
Вписанные четырехугольники. Описанные четырехугольники.
Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр окружности и круга. Дуга, хорда.
Сектор, сегмент. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности. Центральный угол, вписанный угол.
Угол с вершиной внутри круга, угол с вершиной вне круга. Окружность, вписанная
в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Метрические соотношения в окружности (свойства хорд, секущих, касательных). Правильные многоугольники. Вписанные и описанные многоугольники.
Длина окружности и длина дуги. Число . Радианная мера угла.
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
6
Понятие о площади плоских фигур. Равновеликость. Связь между площадями
подобных фигур.
Площадь прямоугольника.
Площади параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы).
Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними; формула Герона. Формулы, связывающие площадь треугольника с радиусом вписанной
и радиусом описанной окружности.
Формула, выражающая площадь четырехугольника через две диагонали и угол
между ними.(куда убрать?)
Площадь описанного многоугольника.(в старшую школу?)
Площадь круга и площадь сектора.
Координаты и векторы
Декартовы координаты на плоскости. Формула расстояния между двумя точками.
Уравнение окружности. Уравнение прямой.
Вектор. Длина (модуль) вектора. Коллинеарные векторы. Равенство векторов.
Операции над векторами (умножение на число, сложение). Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
Скалярное произведение векторов.
Преобразования плоскости
Осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, центральная симметрия.
Движение. Осевая и центральная симметрия фигур.
Гомотетия. Подобие фигур.
Геометрические тела в пространстве.
Наглядные представления о пространственных телах: куб, параллелепипед,
призма, пирамида, шар, сфера, конус, цилиндр. Изображение, сечения. Развертки.
Объем прямоугольного параллелепипеда и куба.
МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ
Использование свойств треугольника. Проведение дополнительных построений.
Метод геометрических мест; метод симметрии; метод подобия.
Простейшие построения с помощью циркуля и линейки: угла, равного данному; биссектрисы данного угла; серединного перпендикуляра к отрезку; прямой,
параллельной данной прямой; треугольника по трем сторонам.
Использование свойств окружности (окружность и углы; окружность и касательные).
Алгебраический метод решения геометрических задач (составление уравнений). Координатный метод. Векторный метод.
Задачи на вычисление, доказательство, построение и на геометрические места
точек.
Геометрические неравенства, задачи на максимум и минимум.
Задачи на принадлежность нескольких точек одной прямой и на пересечение
нескольких прямых в одной точке.
Простейшие планиметрические задачи в пространстве.
7
В ходе освоения содержания учащиеся овладевают разнообразными способами
деятельности, приобретают опыт:
планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов;
проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их
обоснования;
решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе
задач, требующих поиска пути и способов решения;
исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов,
обобщения, постановки и формулирования новых задач;
ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использования различных языков математики (словесного, символического, графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования
разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии;
применения полученных знаний для решения практических задач; проверки и
оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным
жизненным опытом.
8
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ
ВЫПУСКНИКОВ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
Арифметика
знать и понимать:
 смысл позиционной (десятичной) записи чисел;
 признаки делимости целых чисел на 2, 3, 5, 9, 10;
 основные правила и приемы выполнения арифметических действий
уметь:
 переходить от одной формы записи чисел к другой, выбирая наиболее подходящую в зависимости от конкретной ситуации: представлять десятичную дробь в виде
обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной, проценты – в
виде дроби и дробь – в виде процентов;
 изображать числа точками на координатной прямой;
 сравнивать рациональные числа;
 выполнять арифметические действия с рациональными числами, находить значения степеней с целыми показателями и корней, находить значения числовых выражений, сочетая при вычислениях устные и письменные приемы, применение калькулятора;
 округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближенное значение
числового выражения;
 применять стандартный вид числа для записи больших и малых чисел, выполнять умножение и деление чисел, записанных в стандартном виде;
 пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади,
объема, выражать в несложных случаях более крупные единицы через более мелкие и
наоборот;
 решать разнообразные текстовые задачи, включая задачи на движение и работу,
задачи связанные с отношением и с пропорциональностью величин, основные задачи на
дроби и на проценты, задачи с целочисленными неизвестными;
применять полученные знания:
 решать несложные практические расчетные задачи, извлекая при необходимости
информацию из справочных материалов;
 производить устную прикидку и оценку результата вычислений; проверять результат вычисления на правдоподобие, используя различные приемы; интерпретировать
результаты решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами
рассматриваемых процессов и явлений.
Алгебра
знать и понимать:
 что в основе преобразований буквенных выражений лежат свойства арифметических действий; что уравнения – это математический аппарат решения разнообразных задач математики, смежных дисциплин, реальной практики;
уметь:
 составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в
выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления; выражать из формул одни переменные через другие;
 выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители;
выполнять несложные тождественные преобразования рациональных выражений;
 применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;
9
 решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся
к ним, системы уравнений (линейные и системы, в которых одно уравнение второй, а
другое первой степени);
 решать линейные неравенства с одной переменной и их системы; квадратные неравенства;
 решать текстовые задачи алгебраическим методом;
 определять координаты точки в координатной плоскости, строить точки с заданными координатами; решать несложные задачи на координатной плоскости: изображать
различные соотношения между двумя переменными, находить координаты точек пересечения графиков;
 применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств;
применять полученные знания:
 выполнять расчеты по формулам, понимая формулу как алгоритм вычисления;
составлять формулы, выражающие зависимости между реальными величинами; находить
нужную формулу в справочных материалах;
 использовать аппарат алгебры для исследования практических ситуаций;
знать и понимать:
 что функция – это математическое понятие, позволяющее описывать и изучать
разнообразные зависимости между реальными величинами,
уметь:
 находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать
обратную задачу;
 отвечать на конкретные вопросы, касающиеся свойств функций по ее графику;
 строить графики изученных функций, описывать их свойства, строить графики
простейших кусочно-заданных функций;
 распознавать арифметические и геометрические прогрессии ;
применять полученные знания:
 интерпретировать содержательно графики зависимостей между величинами; переводить на язык функций и исследовать несложные реальные зависимости.
Элементы логики, комбинаторики, статистики и вероятности
знать и понимать:
 что многие закономерности окружающего мира имеют вероятностный характер;
что статистические закономерности проявляются в массовых и многократно повторяющихся явлениях и процессах;
уметь:
 использовать математическую символику и правильно употреблять в математическом контексте выражения "для всех", "существует", "если … , то …", "следует", "равносильно (эквивалентно)";
 решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения;
 извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, на графиках;
составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
 вычислять значения средних для характеристики статистического ряда данных;
 находить частоту события; сравнивать шансы наступления случайных событий
по их частоте;
10
 находить в простейших случаях вероятности событий;
применять полученные знания:
 осуществлять систематический перебор вариантов при решении учебных и практических задач;
 анализировать реальные числовые данные, представленные в средствах массовой
информации в виде диаграмм, графиков;
 оценивать вероятность наступления случайного события в несложных практических ситуациях, сопоставлять решение вероятностной задачи с реальной ситуацией.