Касательная к графику функции

Предмет «Математика на компьютере».
ТЕМА: «Касательная к графику функции».
ЦЕЛИ:
1. Углубление знаний о возможностях пакета программ MathCAD для решения
математических задач.
2. Обучение принципам решения математических задач с помощью программного
обеспечения.
3. Изучение возможностей пакета MathCAD и их места в интеллектуальной
деятельности человека.
4. Формирование математической и компьютерной грамотности и информационной
культуры.
5. Воспитание трудолюбия и целеустремлённости.
ЗАДАЧИ:
1. Повторить алгоритмы графического и аналитического решений систем уравнений в
среде MathCAD.
2. Вспомнить знания, умения и навыки, полученные при прохождении темы
«Касательная к графику функции на уроках математики».
3. Применить полученные знания, умения и навыки при решении задач на нахождение
и построение касательной к графику функции.
ХОД УРОКА:
Действия ученика
Действия учителя
Приветствие учеников. Настрой их на урок в связи с присутствием
гостей.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Ученики
Объявление темы «Касательная к графику функции».
формулируют цель Вопрос к ученикам: Исходя из названия темы, скажите, пожалуйста,
урока.
какая основная цель нашего сегодняшнего урока?
Изучение возможностей пакета MathCAD для решения задач по теме
«Касательная к графику функции».
Добавление целей и задач урока. (Поставленные цели мы будем
реализовывать через задачи сегодняшнего урока).
Для успешного достижения поставленной цели необходимо повторить
часть пройденного ранее материала на уроках математики и спецкурса
«Математика на компьютере».
ПОВТОРЕНИЕ
Ученик поднимает
Вопрос 1. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными в среде
руку. И отвечает.
MathCAD? (На левой части доски готовит ответ…) Вернее всего, ученик
предложит аналитическое решение. Но есть и графическое решение.
Решение.
1. Задать предполагаемые значения переменных x:=1
y:=1
2. Записать слово Given, обозначающее начало SOLVE BLOCK.
3. Набрать уравнения из системы, друг под другом. При этом знак
равенства заменить на приближённое равенство. [Alt] + [=]
4. Задать вектор. [Alt] + [M]
5. В выведенной команде указать количество строк и столбцов: 2,1
xval
6. В блоке вектора указать имена неизвестных
yval
7. Справа от блока указать : = find(x,y) — нахождение значения x и y,
удовлетворяющих уравнению.
8. Вывести результаты: Xval = и Yval =
Ученик поднимает
Вопрос 2. Как построить графики двух функций (f(x), g(x)) на одной
руку. И отвечает.
координатной плоскости в среде MathCAD? (На правой части доски
Ученик поднимает
руку. И отвечает.
Ученик поднимает
руку. И отвечает.
Ученик поднимает
руку. И отвечает.
Ученик поднимает
руку. И отвечает.
Ученик поднимает
руку. И отвечает.
Ученик поднимает
руку. И отвечает.
Ученик поднимает
руку. И отвечает.
готовит ответ…)
Решение.
1. Задать значение аргумента x:=x1, x1+h .. x2, где x1 и x2 – левая и
правая границы интервала, h – шаг изменения аргумента.
2. Вызвать область графика [shift] + [@]
3. В области графика функции указать список аргументов и список
функций.
Если ученик не укажет построение осей координат, напомнить ему
об этом.
На дом вам было задание повторить §13 и §19 учебника «Алгебра и
начала анализа» для 10-11 классов под редакцией Андрея Николаевича
Колмогорова. Вспомним некоторые вопросы, необходимые для
дальнейшей нашей работы.
Вопрос 1. Какую прямую называют касательной к графику функции?
(Отвечает …).
Стр. 99 §13 абзац 5.
Проходящую через точку (x0; f(x0)) прямую, с отрезком которой
практически сливается график функции f при значениях x, близких
к x0, называют касательной к графику функции f в точке (x0; f(x0)).
Вопрос 2. В чём состоит геометрический смысл производной?
(Отвечает …).
Стр. 126. §19 абзац 3.
Существование производной функции f в точке x0 эквивалентно
существованию (невертикальной) касательной в точке (x0, f(x0))
графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f ’(x0). В
этом состоит геометрический смысл производной.
Вопрос 3. Существует ли касательная к графику функции, если в
заданной точке не существует производной функции? (Отвечает …).
Стр. 126. §19 абзац 2.
Если f’(x0) не существует, то касательная либо не существует
(например, у функции y=|x| в точке (0;0)), либо вертикальна
(например, у графика функции y= 3 x в точке (0;0)).
Вопрос 4. Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке
A(x0, f(x0)). (К доске идёт …).
Стр. 128. §19.
Y= f(x0) + f’(x0)·(x – x0)
Вопрос 5. Чему равен тангенс угла наклона прямой y = 4·x –7
(Отвечает …).
Вопрос 6. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x3-1
в точке x0= –1 (Отвечает тот, кто у доски или к доске идёт…).
Решение. F’(x) = 3·x2; Y= –2 + 3·(x–(–1)) = 3·x –1
Вопрос 7. А теперь напишем алгоритм построения касательной в среде
MathCAD. (Отвечает …).
Алгоритм построения касательной к графику функции в заданной точке:
1. Задать x0
2. Задать функцию f(x). Определить f(x0)
3. Определить и записать производную y(x) функции f(x) («в уме»). Определить y(x0).
4. Записать уравнение касательной g(x) по формуле.
5. Преобразовать («в уме») уравнение касательной и записать преобразованное выражение.
6. Задать интервал аргумента x.
7. Построить графики согласно полученным ранее знаниям.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Ученики работают на компьютере.
(выдать раздаточный материал, см. Приложение)
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ
1. Подведение итогов работы. Выставление оценок.
2. Домашнее задание. Повторить §§ 22–24.
Приложение. Раздаточный материал для практической работы.
Задание 1. Оформить решение нахождения уравнения касательной к
графику функции f(x)=2x-x2 в точке (x0, f(x0)), если x0=2. Предоставить
геометрическую интерпретацию решения.
Примечание. Обозначить производную через y(x), уравнение
касательной g(x).
Задание 2. В среде MathCAD аналитически решить систему уравнений
x 3  y  0

3x  y  2
Можно ли по найденному значению определить количество решений
системы? Пересекаются ли графики функций, полученные из этих
уравнений? Докажите свою точку зрения (в среде MathCAD). Найдите
окончательное решение системы.
Задание 3. Два небесных тела движутся по законам:
первое — f(t) = t2 + 1; второе — f(t) = 4t-3.
Столкнутся ли эти два тела? Если ДА, то, как их развести, чтобы они не
столкнулись?