Написать уравнение касательных к графику функции

Урок «Построение касательной к графику функции».
Цели: Повторить тему из курса алгебры «Производная и ее применение».
Закрепить навыки при нахождении значений функций и построении
графиков в среде MathCAD.
ПОВТОРЕНИЕ. Цель – восстановить знания, полученные на уроках алгебры
при изучении темы «Производная и ее применение».
1. Как построить касательную к графику функции в заданной точке в
1
x
1
2
среде MathCAD? Показать на примере y  , x0   . Каковы
особенности решения данного задания по сравнению с «бумажным»
решением?
РЕШЕНИЕ.
1. Найти значение f(-1/2)=-2.
2. Найти значение производной f’(-1/2)=-1/x2=-4
3. Найти уравнение прямой y=-2-4(x+1/2)=-2-4x-2=-4x-4
4. Построить график функции.
5. Построить прямую.
Особенности – 1. Уравнение прямой надо задать у(х):=… 2.
Производную находить не надо.
2. Написать производную суммы (u+v)’, производную произведения
'
u
(u*v)’, производную частного   и производную произведения
v
константы на функцию (С*u)’, где С – постоянная.
РЕШЕНИЕ.
(u+v)’=u’+v’,
(u*v)’=u’*v+u*v’,
 u  u 'v  u  v'
,
  
v2
v
'
(С*u)’=C*u’.
3. Написать производные функций y  x n , y  sin x, y  cos x .
РЕШЕНИЕ.
x '  n  x , sin x'  cos x, (cos x)'   sin x
n
n 1
4. Как определить точки пересечения параболы с осью абсцисс?
РЕШЕНИЕ.
Надо решить квадратное уравнение, получаемое из правой части
задаваемой функции.
5. В каких точках касательная к графику функции параллельна оси
абсцисс? Геометрический смысл производной.
РЕШЕНИЕ.
Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс в точках, в
которых угловой коэффициент равен нулю (т.е. производная равна
нулю).
Самостоятельная работа. Закрепить знания и навыки при построении
графиков в среде MathCAD.
Вариант 1.
Задача 1. Постройте график функции f ( x)  sin x cos x и касательную к этому
графику в точке x0 

6
Задача 2. Постройте график функции f ( x)  x 2  3x  2 и касательные к этому
графику в точках пересечения графика с осью абсцисс.
Задача 3. На кривой y 
1
найдите точку, в которой касательная
1 x2
параллельна оси абсцисс. Постройте график заданной функции и
касательную в найденной точке.
Вариант 2.
Задача 1. Постройте график функции f ( x) 
графику в точке x0 

2 cos x
и касательную к этому
sin x
4
Задача 2. Найдите точки графика функции f ( x)  x 3  3x 2  3x , в которых
касательная параллельна оси абсцисс. Постройте график заданной функции и
касательные в найденных точках.
Задача 3. Постройте график функции y  3x 4  6 x 2  2 и касательные к этому
графику в точках пересечения графика с осью абсцисс.