Физические основы фотоники и плазмоники

ОПТИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ
ТЕХНОЛОГИИ
ЛЕКЦИЯ №2
Электромагнитное излучение в
сплошной среде
Астапенко В.А., д.ф.-м.н.
1
Микроскопические уравнения Максвелла
e, h – напряженности микроскопических электрического и магнитного полей
1 rote  
1 h
c t
 2 divh  0
 3 rot h 
закон электромагнитной индукции
отсутствие магнитных зарядов
1 e 4

jmicr
c t
c
модифицированный закон Ампера
jmicr
- микроскопическая плотность тока
1 e
- плотность тока смещения, введенного Максвеллом
4  t
 4 dive  4 ρmicr
закон Кулона в дифференциальной форме
ρ micr
- микроскопическая плотность заряда
2
Макроскопическое электрическое поле, магнитная
индукция и макроскопическое магнитное в среде
усреднение по физически бесконечно малому объему V
Er  
1
 er  r  dr 
 V V
B r  
1
V
 h r  r dr
напряженность макроскопического
электрического поля
магнитная индукция
V
HB
напряженность макроскопического
магнитного поля в немагнитном приближении
3
Усреднение микроскопических
уравнений Максвелла
rot E  
rot B 
1 B
c t
1  E 4π
  jc  jb 
c t
c
jb
divB  0
div E  4 π ρ b  ρ ext 
- плотность тока связанных зарядов
j c  σ E - плотность тока проводимости
ρ b - плотность связанных зарядов
ρ ext - плотность внешних зарядов
4
Поляризация среды (P)
P – дипольный момент единицы объема среды
P
jb 
t
выражение плотности тока связанных зарядов
через поляризацию вещества в случае,
когда намагниченностью среды можно пренебречь
ρ b  div P
выражение плотности связанных зарядов
через поляризацию среды
jb4  ρ b c, jb  - четырехмерный вектор плотности тока
ρ b
 div jb  0
t
закон сохранения заряда, из которого следует,
что в четырехмерном векторе плотности тока
только три компоненты являются независимыми
5
Электрическая индукция и диэлектрическая
проницаемость среды
D  E  4 π P - индукция электрического поля

В линейном приближении:
Di  r, t    εˆ E  r, t    dτ  ε ij  r, τ  E j  r  r, t  τ  dr 
0

e
 Ei  r, t   4 π  dτ   ij   r, τ  E j  r  r, t  τ  dr
0
В фурье-представлении:


Di  k , ω   εij  k , ω  E j  k , ω    ij  4 χ ij e  k , ω  E j  k , ω 
Pi  k , ω   χ ij  k , ω  E j  k , ω 
 e
 ij  k , ω   ij  4  ij e  k , ω 
ij, ij(e) - тензоры диэлектрической проницаемость и восприимчивость
6
Диэлектрическая проницаемость
изотропной среды
ki k j

 ij  k ,    2   k ,      ij  2
k
k

ki k j
l 
Dl   k ,     l   k ,   El   k ,  
Dl   k ,   , El   k ,   k
 t 
  k, 

Dt   k ,     t   k ,   Et   k ,  
Dt   k ,   , Et   k ,    k
В пренебрежении пространственной дисперсией:
 l   k  0,     t   k  0,      
 ij    ij    тензор диэлектрической проницаемости
изотропной среды превращается в скаляр
7
Формулы Крамерса-Кронига
1

 e   

 e   
 e    V .P. 
dω

ω  ω

1
 e    V .P. 
dω

ω  ω

 f x 
a   f  x 

f x 
V .P. 
dx  lim  
dx  
dx
 0    x  a
 x  a
a x  a


- интеграл в смысле
главного значения
Пользуясь приведенными равенствами, можно по мнимой части диэлектрической
восприимчивости восстановить действительную часть и наоборот.
8
Общие соотношения для функций отклика
вещества  и 
χ ω  χ  ω
χ ω   χ  ω 
χ ω    χ  ω
ε  1 4π
 j

 N jβ
ε2 3 j
формула Клаузиуса-Мосотти
β j   ω  , N j динамическая поляризуемость и концентрация атомов среды
ε  ω  1 
ω2p
ω2
4 e2 Ne
ωp 
me
«плазменная» формула для диэлектрической
проницаемости
- плазменная частота
9
Поляризуемость атомов вещества
ε ω  1  4 π  N j β  j  ω - для разреженных сред, когда 1
j
E  E a 
me2 e 5

4
 5.14  10 B см
9
E a2 me4 e10 c
16 Вт
I  I a  c


3
.
52

10
8π
8 π 8
см 2
dt   2 Reβω E ω exp  i ω t 
f 0n
e2
βω 

me n ω 02n  ω 2  i ω γ 0n
f jn 
2 me ω jn n d j
2
3e  g j
d ω  βω  E ω
общее выражение для поляризуемости
2
-сила осциллятора атомного перехода
(безразмерная величина)
10
Формула Клаузиуса-Мосотти
P
 1
E
4
P  N  Eloc
Eloc  E  E Lor
E Lor 
4
P
3
ELor  поле Лоренца
ε  1 4π

Nβ
ε2 3
Здесь при вычислении локального поля
производится усреднение поля по атомам
«минус» выделенный атом
n 2  1 4π

N β  формула Лоренц-Лорентца
2
n 2 3
n – показатель преломления вещества
11
Макроскопические уравнения Максвелла
в немагнитном приближении (B=H)
С учетом выражения для плотности тока связанных зарядов
и определения электрической индукции получаем:
1 H
rot E  
c t
1  D 4π
rot H 
 E
c t
c
div H  0
divD  4πρext
Материальное соотношение
D  D  E  ˆ E
12
Учет намагниченности вещества
jb 
P
 c rotM
t
учет намагниченности среды M в выражении
для плотности тока связанных зарядов
Добавление ротора в выражении для плотности тока не меняет уравнения
сохранения заряда, в котором фигурирует дивергенция плотности тока
ρ b
 div jb  0
t
Определение напряженности макроскопического магнитного поля в среде:
H  B4π Μ
«Следует помнить, что в действительности истинное среднее значение
напряженности <магнитного поля> есть B, а не H» Л.Л. т.8
13
Магнитная проницаемость и
восприимчивость вещества
B   H  для изотропной среды; Bi  ij H j  общий случай
  lim B H  H  0   начальная магнитная проницаемость
d  B H  дифференциальная магнитная проницаемость
  1  4    m
(m) – магнитная восприимчивость вещества
(m) >0 – парамагнитная среда ((m) <<1)
(m) <0 – диамагнитная среда ( (m)  <<1)
>>1 – ферромагнетики, <0 – метаматериал
14
Численные значения магнитной
проницаемости
15
Макроскопические уравнения Максвелла
в общем случае
Используя выражения для плотности тока связанных зарядов через
поляризуемость и намагниченность среды и определение напряженности
магнитного поля в веществе, приходим к следующим макроскопическим
уравнениям Максвелла в общем случае:
1 B
rot E  
c t
1  D 4π
rot H 
 E
c t
c
divB  0
divD  4πρext
Материальные соотношения
D  D  E  ˆ E
B  B  H   ̂ H
16
Разложение электромагнитного поля по плоским
волнам
Er, t   Ek , ω exp i k r  ω t 
Hr, t   Hk , ω exp ik r  ω t 
переход к плоским волнами в уравнениях в частных производных
превращает дифференциальные операторы в алгебраические:

 i 
t
div  i k 
rot  ik 
17
Уравнения Максвелла в среде
в фурье-представлении
Подставляя формулы из предыдущего слайда в уравнения Максвелла,
получаем систему алгебраических уравнений:
ω
k  E  k , ω      H  k , ω 
c
 k  H k,ω  0
ω
4π σ 
k  H  k , ω    ε  i
  E  k ,ω 
c
ω 
ε  k  E  k,ω   0
18
Диэлектрики и проводники
Предел диэлектрической среды (ток проводимости пренебрежимо мал):
ω
k  H  k , ω     ε  k , ω  E  k , ω 
c
ωε  k,ω  4π σ
Случай проводника (ток смещения пренебрежимо мал):
4π σ
k  Hk , ω   i
Ek , ω
с
ωε  k,ω <<4π σ
Таким образом, одно и то же вещество на разных частотах может вести себя
и как проводник и как диэлектрик
ε k, ω  ε k, ω  i
4π σ
ω
обобщенная диэлектрическая проницаемость:
первое слагаемое в правой части содержит отклик
связанных зарядов на электрическое поле, второе
слагаемое описывает отклик свободных зарядов
19
Поперечная электромагнитная волна
в диэлектрике
Исключая из 1-го и 3-го уравнений Максвелла магнитное поле, находим:
ω2
k E  k , ω   k  k  E  k , ω    2 ε  ω     E  k , ω 
c
2
a  b  c  b a c  c a b 
Et   k ,    k  поперечная ЭМ волна:  k  E  k , ω   0
Волновое уравнение в фурье-представлении для поперечной ЭМ волны
 2 ω2
 t 
ω2
2
 k  2 ε   E  k ,ω   0  k  2 ε  ω    
c
c


закон дисперсии для поперечной волны
06.05.2016
20
Комплексный показатель преломления
(в немагнитном приближении =1)
ω2
ω2
ω
ω
k  2 ε  ω   2  ε  ω   i ε  ω   ; k  n  ω  s   n  ω   i κ  ω   s;
c
c
с
с
2
n2  κ 2  ε; 2 n κ  ε
n


1
1
ε  ε2  ε2 ; κ 
2
2

комплексный показатель
преломления вещества
ε2  ε2  ε

 1  ε 2 
ε
1) ε  ε; ε  0  n  ε 1      ε; κ 
 8  ε  
2 ε


2) ε<<ε; ε<0  n  0; κ 
s 1
ε : ε  ω   1 
ω2p
ω
2
0.
для ω<ω p
Дисперсия поперечных электромагнитных
волн в общем случае
ω2
ω2
k  2 ε  ω      2  ε  ω   i ε  ω       ω   i    ω  
c
c
2
k  k   i k 
k  n  ω
k  // k 
ω
ω
s   n  ω  i κ  ω s
с
с
s  1, s  единичный вектор в направлении распространения волны
Комплексный показатель преломления вещества:
n  ω  n  ω  i κ  ω
06.05.2016
22
Комплексный показатель преломления
(в общем случае)
n2  κ 2  ε       
система уравнений для определения
действительной и мнимой части КПП
2 n κ  ε +  
n
1
ε        

2
κ
1
2 
06.05.2016
 ε         ε+  
2
 ε          ε +   
2
2
2


 ε        

решение системы
в общем случае
(с учетом магнитных
свойств среды)
23
Распространение электромагнитной волны в
веществе
Из 1-го уравнения Максвелла следует соотношение между амплитудами и фазами
напряженности электрического поля и магнитной индукцией в среде:

 κ 
B  k , ω   n 2  κ 2 exp i arctg    s  E  k , ω  
 n 

 ωn 
c 
ω 
E  r, t   E  k , ω  exp i
z

t

κ
z


n 
c 
 c 
v ph 
c
n
Фазовая скорость
ω 

I  z   I 0 exp  2 κ z 
c 

α ext  2 κ
06.05.2016
ω
 коэффициент экстинкции (ослабления) излучения
c
24
Немагнитная среда (=1)
ω 
 ε ω 




I  z   I 0 exp  2 κ z    ε >0, ε  ε   I 0 exp  
z
c
c
ε




Изменение интенсивности излучения с расстоянием определяется
знаком мнимой части диэлектрической проницаемости:
>0 – ослабление излучения; <0 – усиление излучения
ω 
ω 





I  z   I 0 exp  2 κ z    ε <0, ε  0   I 0 exp   ε
z
c 
c 


Этот случай реализуется, например, в металлах на частотах меньших плазменной
06.05.2016
25
Диэлектрическая проницаемость металла
2

p
  DS     1 
 формула Друде-Зоммерфельда
   i  
c2
 int er    1  2
 вклад межзонных переходов
2
0    i  
для золота:
c  2.96 эВ
06.05.2016
0  2.76 эВ
  0.59 эВ
26
Комплексный коэффициент преломления
в металле [Johnson P.B., Chirsty R.W. 1972]
8
8
nAg(  ) 6
nAu(  ) 6
Ag(  )
4
Au(  )
4
2
0
2
1
2
3
4

5
6
0
1
2
3
4
5
6

Экспериментальные зависимости действительной (сплошная кривая) и мнимой
(пунктир) частей показателя преломления серебряной пленки (левый график) и
золотой пленки (правый график) в зависимости от энергии фотона;
по оси ординат отложена энергия фотона в электрон-вольтах
06.05.2016
27
Усиление излучения в среде
1  D
B 
divS 
E

H


4 π  t
t 
Ft  
F0 e
i ωt
 F0
e
i ωt
S
q  ω 
2
c
E  H
4π
ω 
2
2
ε  ω  E0     ω  H 0 

8π 
ω  ωnm   nm
χ res  ω   g m β m
 e
 res 
N
N 
 ω  m  n 
 gm gn 
χ
 e
res
 ω 

N
N 
π e2

gm f nm Gmn  ω   m  n 
2 me
 gm gn 
Nn Nm

при  n   m  условие усиления излучения
gn
gm
Nn gn  Nm gm  инверсия населенности
06.05.2016
28
Волновой пакет и групповая скорость


F  z , t   Re  F  k  exp i  k z  ω  k  t   dk


квазимонохроматическое излучение : ωc  ω 2  ω  ωc  ω 2, ω  ωc
ω  k   ωc 
F  z, t  
2 sin ξ  k , z, t  
F0
cos  kc z  ωc t  , ξ  k , z , t    k 2  z  u t 
π
ξ  k , z, t 
Fk  z, t  
u
06.05.2016
ω  kc 
 k  k c  , ωc  ω  k c 
k
2 sin ξ  k , z, t  
F0
 огибающая волнового пакета
π
ξ  k , z, t 
ω  kc 
 групповая скорость
k
29
Корпускулярно-волновой дуализм
Для фотона:
u
ω
ε
u 
k
p
ε ω
p k
Для нерелятивистской частицы
ε  p   p2 2 m  u  p m  v
Для релятивистской частицы
ε  p   m2 c 4  p 2 c 2  u 
06.05.2016
ε
 p c2   v
p
30
Фазовая и групповая скорость в плазме
ε  ω  1 
ω2p
ω2
ω2  ω2p
ω
k  ω  ε  ω 
c
c
1
u
dk  ω  dω
c
u
ω2  ω2p  c ε  ω 
ω
v ph 
c
c

n  ω
ε  ω
v ph u  c2
v ph  c
06.05.2016
uc
31
Дисперсия фазовой скорости (сплошная кривая) и
групповой скорости (штриховая кривая)
электромагнитной волны в плазме
600
v ( )
400
u(  )
137
200
0
2
4
6
8
10

Абсцисса отложена в электрон-вольтах, ордината – в атомных единицах,
прямой линией показана скорость света в вакууме в атомных единицах ат. ед. , p=3 эВ
06.05.2016
32