Sorina_avtoref - Саратовский государственный университет

На правах рукописи
Сорина Евгения Владимировна
ОЦЕНКА И ПРИБЛИЖЕНИЕ СЕГМЕНТНЫХ
ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ
01.01.09 – дискретная математика и математическая кибернетика
Автореферат
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Саратов 2010
Работа выполнена на кафедре математической экономики механикоматематического факультета Саратовского государственного университета
им. Н.Г. Чернышевского.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Дудов Сергей Иванович
Официальные
оппоненты:
доктор
физико-математических
наук,
профессор Лукашов Алексей Леонидович
кандидат физико-математических наук,
доцент Богомолов Алексей Сергеевич
Ведущая организация:
Институт математики и механики УрО РАН
Защита состоится «22» апреля 2010 года в 15 ч. 30 мин. на заседании
диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном
университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, механико-математический факультет.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского
государственного университета.
Автореферат разослан «_____» марта 2010 года.
Учёный секретарь диссертационного совета ДМ 212.243.15
кандидат физико-математических наук,
доцент
В.В. Корнев
2
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Задачи по оценке и приближению сложных многозначных отображений многозначными отображениями простой структуры
находят обширные приложения в естествознании, в том числе и в самой математике, и представляют один из разделов негладкого анализа.
Локальными аппроксимациями многозначных отображений занимались
многие отечественные и зарубежные математики (Пшеничный Б.Н. ([27] –
[28]), Демьянов В.Ф. ([15] – [18]), Рубинов А.М. ([30] – [31]), Половинкин Е.С.
([25] – [26]), Минченко Л.И. ([22]), Обен Ж.П. ([24]), Гороховик В.В. ([12]) и
др.)
К задачам, имеющим нелокальный характер, относятся, в частности,
внешнее и внутреннее эллипсоидальное оценивание многозначных отображений. Многие известные математики занимались эллипсоидальными оценками
множеств достижимости динамических систем (см., например, Черноусько Ф.Л.
([33]), Куржанский А.Б. ([34])).
Относительно немного известно работ по равномерному приближению
многозначных отображений на заданном множестве. Так в работе Никольского
М.С. ([23]) рассматривается задача о равномерном приближении непрерывного
многозначного отображения, заданного на отрезке, постоянным выпуклозначным отображением.
Простейшим примером многозначного отображения является сегментная
функция. Диссертация посвящена исследованию некоторых задач по оценке и
приближению сегментной функции таким объектом как полиномиальная полоса. Сформулируем эти задачи.
Будем считать, что сегментная функция F (t )   f1 (t ), f 2 (t ) задана на отрезке  c, d  двумя непрерывными функциями f1 (t ) и f 2 ( t ) , причём f1 (t )  f 2 (t )
при всех t   c, d  . Обозначим через Pn ( A, t )  a0  a1t 
 ant n полином фик-
сированной степени n с вектором коэффициентов A   a0 , a1, , an   n 1 .
Задачу
 ( A)  max max Pn ( A, t )  f1(t ), f 2 (t )  Pn ( A, t )  min
(1)
t c , d 
A n1
будем называть задачей о внешней оценке сегментной функции F (t ) полиномиальной полосой. Её геометрический смысл состоит в построении полиномиальной полосы наименьшей (по ординате) ширины, содержащей в себе график
данной сегментной функции F (t ) . Под полиномиальной полосой с осью, задаваемой полиномом Pn ( A, t ) , и шириной (по ординате) 2r мы понимаем график
сегментной функции n ( A, r , t )  [ Pn  A, t   r , Pn  A, t   r ] .
Задача, отличающаяся от (1) перестановкой функций f1 (t ) и f 2 ( t ) ,
3
(2)
 ( A)  max max  f1(t )  Pn ( A, t ), Pn ( A, t )  f 2 (t )  min
t c , d 
A n1
называется в диссертации задачей о псевдовнутренней оценке сегментной
функции F (t ) полиномиальной полосой. Если минимальное значение целевой
функции  ( A) меньше нуля, то её геометрический смысл заключается в построении полиномиальной полосы наибольшей ширины, которая содержится в
графике сегментной функции F (t ) .
Следующая рассматриваемая задача
 ( A, r )  max max  f1(t )  Pn ( A, t )  r , f 2 (t )  Pn ( A, t )  r   min
tc, d 
A n1 , r 0
(3)
называется задачей наилучшего равномерного хаусдорфова приближения сегментной функции F (t ) полиномиальной полосой.
Последнюю задачу
 ( A, r )  min ,
(4)
A
n 1
которая отличается от (3) тем, что минимизация осуществляется только по
A  n 1 при фиксированном значении r , будем называть задачей наилучшего
равномерного приближения сегментной функции F (t ) полиномиальной полосой
фиксированной ширины 2r .
Приведём сравнение с некоторыми известными задачами.
Нетрудно убедиться, что при f1  t   f 2  t  для t   c, d  все задачи становятся эквивалентными задаче П.Л. Чебышёва о равномерном приближении непрерывной функции полиномом заданной степени
max Pn ( A, t )  f (t )  min .
(5)
tc , d 
A n 1
Задача (1) даёт также повод для гипотезы: не является ли она эквивалентной
задаче (5) для f (t )  ( f1 (t )  f 2 (t )) / 2 . Однако простые примеры говорят, что
это не так.
В монографии Б. Сендова [32] рассматривалась задача о приближении
графика сегментной функции графиком полинома в метрике Хаусдорфа двумерного пространства. Эта задача (в условиях специфики выбранной метрики
Хаусдорфа ([32, c.37]), как следует из примера, приведённого самим автором
([32, c. 117 – 118]), не является задачей выпуклого программирования в отличие
от задач (1) - (5).
Уместно также вспомнить задачу об ужах (см. [19, c. 34]), в которой требуется найти полиномы заданной степени n (верхний и нижний ужи), которые
n  1 раз своим графиком касаются поочерёдно графиков заданных непрерывных функций g1 (t ) и g 2 (t ) на отрезке при условии, что g1 (t )  g 2 (t ) на всём
отрезке, и при этом графики полиномов содержатся в графике сегментной
функции  (t )  [ g1 (t ), g 2 (t )] . В диссертации показано, что при определённых
условиях решение задачи (1) (или задачи (2)) будет давать решение задачи об
ужах, но для такого ужа обязательно имеет место “избыточный” альтернанс, в
4
том смысле, что этот уж, по крайней мере, n  2 раза поочерёдно касается графиков некоторых функций g1 (t ) и g 2 (t ) .
Наконец, отметим, что в дискретной постановке задача (1) рассматривалась И.Ю. Выгодчиковой ([13] – [14]), то есть когда в (1) отрезок  c, d  заменяется конечным набором точек.
Более подробно и с примерами эти сравнения делаются по мере изложения текста диссертации.
Цель работы заключалась в
 исследовании взаимосвязи задач (1) - (4),
 получении необходимых и достаточных условий их решения,
 получении достаточных условий единственности их решения.
Методика исследования.
Целевые функции всех экстремальных задач (1) - (4) являются выпуклыми конечными функциями. При исследовании в основном применялись методы
выпуклого анализа, теории минимаксных задач, а также некоторые факты из
теории полиномиальных приближений и многозначного анализа.
Научная новизна.
Результаты данной работы являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказано существование решений всех поставленных задач.
2. Дано их сравнение с известными из теории полиномиального приближения
задачами.
3. Установлена параметрическая связь всех задач через задачу (4), где r использовалось в качестве параметра.
4. Получены необходимые и достаточные условия решения задач в форме,
сравнимой с чебышевским альтернансом.
5. Получены достаточные условия единственности решения задач. Показано,
что на вопрос о едиственности решения задач о внешней и псевдовнутренней оценке могут влиять дифференциальные свойства сегментной функции,
даны примеры условий единственности решения через дифференциальные
свойства сегментной функции.
Теоретическое значение и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут
быть использованы при исследовании задач по оценке и равномерному приближению многозначных отображений. Они могут найти применение в теории
приближений, теории минимаксных задач, при исследовании прикладных задач
естествознания, в техническом анализе ценных бумаг, а также могут быть использованы в учебном процессе.
Апробация работы.
Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре по негладкому анализу и математической экономики кафедры математической экономики Саратовского государственного университета (руководитель
– проф. Дудов С.И.) (2005-2010 г.); на научных конференциях сотрудников механико-математического факультета Саратовского государственного универси5
тета (2005-2009 г.); на 13-ой, 14-ой и 15-ой Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2006 г.,
2008г., 2010г.); на 8-ой международной Казанской летней научной школеконференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань,
2007 г.); на международной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина «Дифференциальные уравнения и топология» (Москва,
2008 г.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы
теории функций и смежные вопросы» (Воронеж, 2009 г.); на объединенном
научном семинаре механико-математического факультета и факультета КНИТ
СГУ по дискретной математике и математической кибернетике (декабрь
2009г.).
Публикации.
Результаты исследований опубликованы в работах [1] – [11]. Работа [10]
входит в список изданий, рекомендуемых ВАК РФ при защите кандидатских
диссертаций.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, содержащих 12 параграфов,
списка использованной литературы и приложения. Работа занимает 124 страницы.
Содержание работы
Во Введении даётся обоснование актуальности темы, приводятся постановки рассматриваемых задач, их сравнение с некоторыми известными задачами и кратко излагаются основные результаты.
В Главе 1 устанавливается взаимосвязь рассматриваемых задач.
В методическом плане проводимое здесь исследование опирается на работу С.И. Дудова [20], где выявлена взаимосвязь некоторых задач по оценке и
приближению выпуклого компакта шаром некоторой нормы. Задачи (1) - (4)
можно рассматривать как некоторые аналоги рассматриваемых в [20] задач.
В §§ 1-2 даются постановки задач (1) - (4), обсуждается их сравнение с
известными задачами, вводятся обозначения для оптимальных значений целевых функций и множества решений:
 *  min   A ,
  Arg min   A ,
 *  min   A ,
  Arg min   A ,
A
A
n 1
n 1
 *  min   A, r  ,
n 1
A
,
r 0
A
A
  { A 
n 1
n 1
n 1
: r  0,  A, r    *} ,
 ( r )  Arg min  ( A, r ) .
A
6
n 1
Отметим, что из-за некоторых соображений, связанных с удобством изложения,
существование решений задач (1) - (4), то есть непустота множеств  ,  ,
 и  ( r ) , а также их выпуклость и компактность, доказываются позже в § 6
главы 2.
Кроме того, в § 2 фиксируется важная связь целевых функций поставленных задач.
Теорема 2.1. При любых A  n 1 и r  0 справедливо равенство
  A, r   max   A  r,  A  r.
Главные результаты главы получены в § 3. Здесь устанавливается параметрическая связь задачи (4) с задачами (1) и (2).
Для этого вводятся обозначения
   max  ( A) ,    min  ( A) ,    max  ( A) ,    min  ( A) ,
A
A
r 
*   
2
,
r 
*   
T (r )  
T ( r )  
A 
A
2
r 
,
A
A 
 *
2
, r 
 *
2
,

n 1
:  ( A)  r   *  r.
n 1
:  *  r   ( A)  r ,
Показывается (леммы 3.1 – 3.2), что справедливы соотношения
0  r  r  r  r   ,
r  r


   .
Конкретную связь решений задач (1) и (2) с решениями задачи (4) выражает
Теорема 3.1 1) Справедлива формула
  ,
если r  0, r  ,




 
  
T (r ), если r   r , r  ,
 (r )  
T (r ), если r   r , r  ,

  , если r   r ,  .



2) Если 
   , то r  r  (  *   * ) / 2 и при этом
 (
*   *
2
)  
7
 .
3) Если 
   , то
 ( r ) {
r  ( r , r ) ,
 }   ,
то есть на интервале ( r , r ) среди решений задачи (4) нет решений задач (1)
и (2).
Также в § 3 доказано, что  ( r ) как многозначное отображение
на отрезке  r , r  непрерывно по Какутани и строго моно

тонно убывает по включению (теорема 3.2), а на отрезке  r , r  оно также


непрерывно по Какутани, но строго монотонно возрастает по включению (теорема 3.3).
В § 4 для функции f (r )  min  ( A, r ) показано (теорема 4.1), что она
 () :
 2
n1
A
n 1
является выпуклой и конечной при r  0 , причём
  *  r , если r  0, r   ,
 

f (r )  
 *  r , если r   r ,  .

Принимая обозначение
 r* , r*   Arg min f ( r ) ,


r 0
устанавливается связь задачи (3) с задачей (4).
Теорема 4.2. Для того, чтобы пара ( A* , r* ) доставляла минимальное
значение функции  ( A, r) в задаче (3) необходимо и достаточно, чтобы
r*   r* , r*  и A*  ( r* ) :






* *
 ( A, r )   r *  r*, r*  , A*  (r * ) .
 ( A , r )  min
A n1 ,


r 0


Эту связь можно выразить в виде
 
 ( r ) .



r r* , r* 



Устанавливаются также важные свойства решения задачи (4) на интерва-

ле r , r .
Теорема 4.3. Если 
   , то справедливы соотношения


 ( A)  r   ( A)  r ,
r  r , r ,
 ( r1 )  ( r2 )   ,
r1, r2  r , r , r1  r2 .
8


A  ( r ) ,
В § 5 показывается, как заменив метрику, используемую Б. Сендовым в
[32, c. 37], и наложив некоторые дополнительные условия, можно говорить об
эквивалентности задачи о внешней оценке (1) и задачи, рассматриваемой в [32].
В Главе 2 дана характеризация решений рассматриваемых задач в форме,
сравнимой с чебышевским альтернансом.
В § 6 показано, что решения всех задач (1) - (4) существуют и ограничены. Поэтому из выпуклости и конечности (а следовательно, и непрерывности
(см. [17, c. 43])) целевых функций в целом получаем, что множества  ,  ,
 и  ( r ) являются выпуклыми компактами.
В § 7 средствами выпуклого анализа на основе полученных формул субдифференциалов функций  ( A) и  ( A) установлены критерии решения задач о
внешней и псевдовнутренней оценках (1) – (2).
Введём обозначения
R1  A  t   c, d  :  ( A)  Pn ( A, t )  f1(t )  f 2 (t )  Pn ( A, t ) ,
R2  A  t   c, d  :  ( A)  f 2 (t )  Pn ( A, t )  Pn ( A, t )  f1(t ) ,
R3  A  t   c, d  :  ( A)  Pn ( A, t )  f1(t )  f 2 (t )  Pn ( A, t ) ,
R  ( A)  R1 ( A) R2 ( A) R3 ( A) .
Критерий решения задачи (1) устанавливает
Теорема 7.1 Для того, чтобы функция  ( A) принимала в точке A* ми-
нимальное на n1 значение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
хотя бы одно из условий:
1) R3 ( A* )   ,
2)существует упорядоченная последовательность точек t1  t2 
из
R1 ( A)

R2 ( A)
такая,
что

если


ti  R1 ( A* ) R2 ( A* ) ,
 tn  2
то
ti 1  R2 ( A* ) R1 ( A* ) , i  1, n  1 .
Формулировка критерия решения задачи (2) имеет аналогичный вид (теорема 7.2). В ней множества Ri ( A) , i  1,3 , заменяются на множества Ri ( A) ,
где
R1  A  t   c, d  :  ( A)  Pn ( A, t )  f 2 (t )  f1(t )  Pn ( A, t ) ,
R2  A  t   c, d  :  ( A)  f1(t )  Pn ( A, t )  Pn ( A, t )  f 2 (t ) ,
R3  A  t   c, d  :  ( A)  Pn ( A, t )  f 2 (t )  f1(t )  Pn ( A, t ) .
Также в § 7 устанавливается связь задачи (1) с задачей об ужах (следствия 7.1 – 7.2).
В § 8 даётся характеризация решения задачи (4). По теореме 3.1 при
r  0, r  и r  r её решения выражают соответственно решения задачи (1) и


9
(2). Поэтому принципиально важным является случай r  ( r , r ) , то есть когда
задача (4) имеет самостоятельное от задач (1) и (2) значение. Этот случай отражён ниже в теореме 8.3, где
Ri  A  Ri ( A) Ri ( A) , i  1,2 .
Теорема 8.3. Пусть r  ( r , r ) . Для того, чтобы функция  ( A, r ) принимала в точке A* минимальное на n1 значение, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись следующие условия:
1)  ( A* )  r   ( A* )  r ,
2) существует упорядоченная последовательность точек {ti }i 1,n 2 
 R1( A* )
R2 ( A* )
t1  t2 


 tn  2


такая, что если ti  R1( A* ) R2 ( A* ) , то ti 1  R2 ( A* ) R1( A* ) , i  1, n  1 .
Получить в общем случае критерий решения задачи (3) в форме, близкой
к чебышевскому альтернансу не удалось. В § 9 приводятся необходимые и отдельно достаточные условия решения задачи (3).
Обозначим через R3  A  R3 ( A) R3 ( A) . Необходимые условия даёт
Теорема 9.3. Если пара ( A*, r* ) доставляет минимальное значение
 ( A, r ) в задаче (3), то
1) r*  (  ( A* )   ( A* )) / 2 ,
2) выполняется хотя бы одно из условий:
a) R3 ( A* )   ,
б) существует последовательность {ti }i 1,n  2  R1( A* )




R2 ( A* ) такая,
что если ti  R1( A* ) R2 ( A* ) , то ti 1  R2 ( A* ) R1( A* ) , i  1, n  1 .
Введём дополнительные обозначения
Ri  A  Ri ( A) R3 ( A) ,
Ri  A  Ri ( A) R3 ( A) , i  1,2 .
Достаточные условия решения даёт
Теорема 9.5. Пусть вектор коэффициентов A* таков, что существует
последовательность из n  1 пар точек {ti(1)  ti(2) }i 1, n 1, удовлетворяющая
условиям:
1) если






ti(1)  R1 ( A* ) R 2 ( A* ), R1 ( A* ), R 2 ( A* ) , то соответственно






ti(2)  R 2 ( A* ) R1 ( A* ), R 2 ( A*), R1 ( A*) ,
2) если ti(2)  R1 ( A* )


R1 ( A* ) R2 ( A* ) R2 ( A* ) , то и
10


 *
 *

*
 *
ti(1)
1  R1 ( A ) R1 ( A ) R2 ( A ) R2 ( A ) ,
3) ti(1)  ti(1)
1 ,
ti(2)  ti(2)
1 ,
ti(2)  ti(1)
2
Тогда пара ( A*, r* ) , где r*  (  ( A* )   ( A* )) / 2 , доставляет минимальное значение функции  ( A, r ) в задаче (3).
Приводятся также относительно вырожденные ситуации, когда достаточные условия решения являются одновременно и необходимыми.
Примером такой ситуации является
Теорема 9.6. Пусть вектор A* таков, что
1) R3 ( A* )   ,
2) либо R2 ( A* )   , либо R1 ( A* )   .
Тогда для того, чтобы пара ( A*, r* ) , где r*  (  ( A* )   ( A* )) / 2 , была одним из
решений задачи (3), необходимо и достаточно, чтобы существовала упорядоченная последовательность {ti }i 1,n  2  R1 ( A* ) R2 ( A* ) :

t1  t2 <

 tn  2


такая, что если ti  R1 ( A* ) R2 ( A* ) , то ti 1  R2 ( A* ) R1 ( A* ) , i  1, n  1 .
Если чебышевская задача о равномерном приближении непрерывной
функции полиномом заданной степени всегда имеет единственное решение, то
в задачах (1) – (4) вопрос о единственности решения может зависеть от свойств
оцениваемой или приближаемой сегментной функции F (t ) .
В Главе 3 получены достаточные условия единственности решения данных задач.
В § 10 приводятся достаточные условия единственности решения задачи
(1). Нижеследующая теорема даёт условия единственности, в которых не используются дифференциальные свойства функций f1 (t ) и f 2 ( t ) .
Теорема 10.1. Если вектор коэффициентов A* удовлетворяет хотя бы
одному из условий:
1) множество R3 ( A* ) содержит не менее n  1 точек,
2) существует упорядоченный набор точек
t1  t2 <  tn  2




таких, что если ti  R1 ( A* ) R2 ( A* ) , то ti 1  R2 ( A* ) R1 ( A* ) , i  1, n  1 ,
то A* является, причём единственным, решением задачи (1).
Введём следующее
Определение 10.1. Будем говорить, что точка t *  R3  A обладает l кратностью, если выполняется хотя бы одно из условий:
а) функции f1 (t ) и f 2 (t ) дифференцируемы в этой точке справа (или слева) l  1 раз, причём
11
f1(i ) (t *  0)  f 2(i ) (t *  0) ,
i  1, l  1 ,
(или соответственно f1(i ) (t *  0)  f 2(i ) (t *  0) ,
i  1, l  1 ),
б) в случае чётного значения l  2k достаточно, чтобы одна из функций
была в этой точке дифференцируема 2k  1 , а вторая 2k  2 раза, причём
f1(i ) (t * )  f 2(i ) (t * ) , i  1,2k  2 .
Следующая теорема даёт достаточные условия единственности решения.
учитывающие дифференциальные свойства сегментной функции:
Теорема 10.2. Пусть R3 ( A* )  ti i 1 , m  n  1 , где точки t i обладают
m
кратностью li , i  1, m , и выполняется хотя бы одно из условий
а) l1   lm  n  1 ,
б) l  l1 
 lm  n  1 и существует k  n  1  l пар точек {ti(1)  ti(2) }i 1, k :
t1(1)  t1(2)  t2(1)  t2(2) 
таких,
что

ti(1) , ti(2) 



R3 ( A* )  
и
 tk(1)  tk(2)
если


ti(1)  R1 ( A* ) R2 ( A* ) ,
то
ti(2)  R2 ( A* ) R1 ( A* ) . Тогда A* - единственное решение задачи (1).
В § 11 для задачи (4) получено следующее условие единственности решения.
Теорема 11.3. Если для вектора A* существует последовательность


{ti }i 1,n  2  R1( A* ) R2 ( A* ) :
t1  t2 <


 tn  2


такая, что если ti  R1( A* ) R2 ( A* ) , то ti 1  R2 ( A* ) R1( A* ) , i  1, n  1 , то
A* является единственным решением задачи (4) при r  (  ( A* )   ( A* )) / 2 .


Из теоремы 11.3 вытекает важный вывод для случая r  r , r .
Теорема 11.4. Если r  r , то для значений r  ( r , r ) решение задачи
(4) всегда единственно.
В последнем § 12 получены достаточные условия единственности решения задачи (3).
Теорема 12.1. Пусть вектор коэффициентов A* таков, что существует
последовательность из n  1 пар точек {ti(1)  ti(2)} , i  1, n  1 , удовлетворяющих
условиям:


ti(2)  R2 ( A* )  R1 ( A* ), R2 ( A* ), R1 ( A* )  ,
1) если ti(1)  R1 ( A* ) R2 ( A* ), R1 ( A* ), R2 ( A* ) , то соответственно
12
2) если ti(2)  R1 ( A* )
 *
ti(1)
1  R1 ( A )

R1 ( A* )  R2 ( A* )

( R2 ( A*)  ,
R1 ( A* ) R2 ( A* ) ( R2 ( A* ) , то и
(2)
(2) (2)
(1)
3) ti(1)  ti(1)
1 , ti  ti 1 , ti  ti  2 ,
а, кроме того,
4) либо R1 ( A* )   и R2 ( A* )   , либо R3 ( A* )   ,
5) либо R1 ( A* )   и R2 ( A* )   , либо R3 ( A* )   .
Тогда пара ( A*, r* ) , где r*  (  ( A* )   ( A* )) / 2 , является единственным решением задачи (3).
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору С.И. Дудову за постоянное внимание, ценные советы и большую помощь в работе над диссертацией.
Список работ автора по теме диссертации
1. Сорина Е.В. О приближении многозначного отображения полиномиальной полосой фиксированной ширины [Текст] / Е.В. Сорина // Математика. Механика: Сб. научн. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2005. - Вып. 7. - С. 114-117.
2. Сорина Е.В. О наилучшем приближении многозначного отображения полиномиальной полосой [Текст] / Е.В. Сорина // Современные проблемы теории
функций и их приложения: Тезисы докладов 13-й Сарат. зимней школы. - Саратов: ООО
Изд-во Научная книга. - 2006. - С. 164-165.
3. Сорина Е.В. Критерий решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения полиномиальной полосой фиксированной ширины
[Текст] / Е.В. Сорина // Математика. Механика: Сб. научн. тр. - Саратов: Изд-во Сарат.
ун-та. - 2006. - Вып. 8. - С. 127-130.
4. Дудов С.И. О некоторых задачах по оценке и приближению сегментной
функции [Текст] / С.И. Дудов, Е.В. Сорина // Материалы восьмой междунар. Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, её приложения и смежные
вопросы». - Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, Изд-во Казан. гос. ун-та. - 2007. - С. 107109. (Дудову С.И. принадлежат постановки рассматриваемых задач и метод, использованный при исследовании их параметрической взаимосвязи; формулировки теорем и их
доказательства принадлежат Сориной Е.В.)
5. Сорина Е.В. Условия единственности решения задачи о внешней оценке
сегментной функции полиномиальной полосой [Текст] / Е.В. Сорина // Математика. Механика: Сб. научн. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2008. - Вып. 10. - С. 76-78.
6. Дудов С.И. Критерий решения задачи наилучшего приближения сегментной функции полиномиальной полосой [Текст] / С.И. Дудов, Е.В. Сорина // Математика. Механика: Сб. научн. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2008. - Вып. 10. - С.
20-23. (Дудову С.И. принадлежит постановка задачи, основные результаты принадлежат
Сориной Е.В.)
7. Дудов С.И. О приближении сегментной функции полиномиальной поло13
сой [Текст] / С.И. Дудов, Е.В. Сорина // Современные проблемы теории функций и
их приложения: Тезисы докладов 14-й Сарат. зимней школы, посвящ. памяти акад. П.Л.
Ульянова. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2008. - С. 67-68. (Дудову С.И. принадлежит
постановка задачи, основные результаты принадлежат Сориной Е.В.)
8. Дудов С.И. Оценки и приближение сегментной функции полиномиальной
полосой [Текст] / С.И. Дудов, Е.В. Сорина // Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвящённая 100-летию со дня рождения Л.С.
Понтрягина: Тезисы докладов. – М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ
им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс. – 2008. – С. 338-339. (Дудову С.И. принадлежат постановки рассматриваемых задач и метод, использованный при исследовании их параметрической взаимосвязи; основные результаты принадлежат Сориной Е.В.)
9. Дудов С.И. О наилучшем равномерном приближении сегментной функции полиномиальной полосой [Текст] / С.И. Дудов, Е.В. Сорина // Современные
методы теории функций и смежные вопросы: материалы конференции Воронежской
зимней математической школы / Воронежский государственный университет [и др.]. Воронеж: Издательско-полиграф. центр Воронежского государственного университета. 2009. - С. 62-63. (Дудову С.И. принадлежит постановка задачи, основные результаты
принадлежат Сориной Е.В.)
10. Выгодчикова И.Ю. Внешняя оценка сегментной функции полиномиальной полосой [Текст] / И.Ю. Выгодчикова, С.И. Дудов, Е.В. Сорина // Журнал
вычислительной математики и математической физики. – 2009. – Т. 49. - № 7. –
С. 1175-1183. (Дудову С.И. принадлежит постановка задачи, определение 1 и
комментарии к нему. Выгодчиковой И.Ю. и Дудову С.И. принадлежат комментарии к теоремам 3 и 4, примеры 1 и 2. Основные результаты принадлежат Сориной Е.В.)
11. Дудов С.И. О наилучшем приближении сегментной функции полиномиальной полосой [Текст] / С.И. Дудов, Е.В. Сорина // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 15-й Сарат. зимней школы, посвящ. 125летию со дня рождения В.В. Голубева и 100-летию СГУ. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та.
- 2010. - С. 71-72. (Дудову С.И. принадлежит постановка задачи, основные результаты
принадлежат Сориной Е.В.)
Список литературы
12. Гороховик В.В. Дифференцируемость мультиотображений в смысле Фреше
[Текст] / В.В. Гороховик, П.П. Забрейко // Труды института математики НАН Беларуси – 1998 - Т.1. - С. 34 - 49.
13. Выгодчикова И.Ю. О наилучшем приближении дискретного мультиотбражения
алгебраическим полиномом [Текст] / И.Ю. Выгодчикова // Математика. Механика:
Сб. научн. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2001. - Вып. 3. - С. 25-27.
14. Выгодчикова И.Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближении
многозначного отображения алгебраическим полиномом [Текст] / И.Ю. Выгодчикова
// Известия Сарат. ун-та. - 2006. - Вып. 1/2. - С. 11-19.
15. Демьянов В.Ф. Минимакс: дифференцируемость по направлениям [Текст]
/ В.Ф. Демьянов. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1974.
14
16. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс [Текст] / В.Ф. Демьянов, В.Н. Малоземов. - М.: Наука, 1972.
17. Демьянов В.Ф. Недифференцируемая оптимизация [Текст] / В.Ф. Демьянов, Л.В. Васильев. - М.: Наука, 1981.
18. Демьянов В.Ф., Основы негладкого анализа и квазидифференциальное
исчисление [Текст] / В.Ф. Демьянов, А.М. Рубинов. - М.: Наука, 1990.
19. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами [Текст] / В.К. Дзядык. - М.: Наука, 1977.
20. Дудов С.И. Взаимосвязь некоторых задач по оценке выпуклого компакта
шаром [Текст] / С.И. Дудов // Матем. сборник. – 2007. - Т. 198. - № 1. - С. 4358.
21. Лейхтвейс К. Выпуклые множества [Текст] / К. Лейхтвейс - М.: Наука,
1985.
22. Минченко Л.И., Многозначный анализ и возмущённые задачи нелинейного программирования [Текст] / Л.И. Минченко, О.Ф. Борисенко, С.И. Грицай.
- Минск: Наука и техника, 1993.
23. Никольский М.С. Об аппроксимации непрерывного Об аппроксимации непрерывного многозначного отображения постоянными
многозначными отображениями [Текст] / М.С. Никольский // Вестник
МГУ. Сер. 15. Вычисл. Матем. и кибернетика. – 1990. - № 1. - С. 76- 80.
24. Обен Ж.-П. Прикладной нелинейный анализ [Текст] / Ж.-П. Обен, И.
Экланд. - М.: Мир, 1988.
25. Половинкин Е.С. Элементы теории многозначных отображений [Текст] /
Е.С. Половинкин. - М.: Изд-во МФТИ, 1982.
26. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений [Текст] / Е.С.
Половинкин. - М.: Изд-во МФТИ, 1983.
27. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи [Текст] / Б.Н.
Пшеничный. - М.: Наука, 1980.
28. Пшеничный Б.Н. О дифференцируемости функции минимума со связанными ограничениями [Текст] / Б.Н. Пшеничный // Кибернетика. – 1985. - № 1. С. 123 - 125.
29. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ [Текст] / Р. Рокафеллар. - М.: Мир, 1973.
30. Рубинов А.М. Сопряжённая производная многозначного от ображения и дифференцируемость максимума при связанных ограничениях
[Текст] / А.М. Рубинов // Сиб. матем. ж. - 1985. - Т. 26. - № 3. - С. 147- 155.
31. Рубинов А.М. Аппроксимация многозначных отображений и дифференцируемость маргинальных функций [Текст] / А.М. Рубинов // ДАН СССР. –
1987. - Т. 292. - № 2. - С. 269 -272.
32. Сендов Б. Хаусдорфовые приближения [Текст] / Б. Сендов. - София,
1979.
33. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем: метод
эллипсоидов / Ф.Л. Черноусько. - М.: Наука, 1988.
34. Kurzhanski A.B., Valui I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Burkhauser, 1977.
15