Организация поиска решения математических задач заочного

Организация
поиска решения
математических задач
Универсальный метод
Рене Декарта(1596-1650 гг.)
•
•
•
Задача любого вида сводится к
математической.
Математическая задача любого вида
сводится к алгебраической.
Любая алгебраическая задача
сводится к решению одного –
единственного уравнения.
Как искать решение?
(методика Д.Пойа)
1. Понять предложенную задачу.
2. Найти путь от неизвестных к данным,
если нужно, рассмотрев
промежуточные задачи (анализ).
3. Реализовать найденную идею
решения (синтез).
4. Решение проверить и оценить
критически (взгляд назад).
Алгоритмы решения
математических задач:
это хорошо или плохо?
«Каждая решенная мною
задача становилась
образом, который служил
впоследствии для решения
других задач».
Р. Декарт «Рассуждения о методе»
По
мнению
академика
Ермакова,
в математике следует
помнить не формулы,
а процессы мышления.
Самостоятельность и творчество
в процессе решения
«То, что Вы были вынуждены открыть
сами, оставляет в Вашем уме дорожку,
которой Вы можете снова
воспользоваться, когда в этом
возникнет необходимость.»
Г. Лихтенберг
«Математику нельзя изучать,
наблюдая, как это делает
сосед»
А. Нивен
Роль учителя в процессе
решения задач
«Если Вы хотите заставить
скучать – расскажите все до
конца»
Вольтер
Догадки и
испытания
Идеи решения некоторых задач
5 класс
Путь велосипедиста состоял из трех
одинаковых участков. Когда велосипедист
проехал без остановок два таких участка, у
него на велосипеде лопнула шина. На
остальной путь пешком он затратил вдвое
больше времени, чем на езду на
велосипеде. Во сколько раз велосипедист
ехал быстрее, чем шел?
1) в 2 раза
2) в 3 раза
3) в 4 раза
4) в 5 раз
А5.
Решение. Изменяются две величины: длина
пути и время. Сравнить следует скорости, так
характеристикой «быстроты» передвижения
является скорость.
Если бы путь в 2 раза меньшей длины был
пройден за одно и тоже время, то скорость
уменьшилась бы в 2 раза. А так как при этом
еще и время увеличилось в 2 раза, то
скорость еще уменьшилась в 2 раза, т.е. в
итоге путь пешком был в 4 раза медленнее.
Значит, ехал путешественник в 4 раза
быстрее, чем шел.
В5. В десятичной записи числа 59876
использованы
5
последовательных
цифр (5, 6, 7, 8, 9).
Запишите наименьшее пятизначное
число, большее числа 59876, в записи
которого
будут
использованы
5
последовательных
цифр
(необязательно таких, как в данном
примере).
Решение. Так как число должно быть больше
указанного, причем в указанном числе после
цифры 9 все цифры идут в порядке
убывания, то искомое число в старшем
разряде будет содержать цифру 6. Цифры 0 и
1 не могут содержаться в этом числе, так как
тогда не будет цифры 6 (нужны 5
последовательных цифр). Значит, самая
маленькая цифра должна быть 2, и набор
будет состоять из следующих цифр: 2, 3, 4, 5
и 6. Самое маленькое число 62345.
•
Ответ. 62345.
6 класс
А8. Каждый из четырех мальчиков либо
всегда говорит правду, либо всегда
лжет.
Алеша утверждает, что Коля врун.
Коля говорит, что Миша врун.
Миша говорит, что Коля врун.
Толя говорит, что Алеша врун.
Сколько всего врунов среди них?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Решение. Задача решается с помощью перебора.
Возникает вопрос: с чего начинать перебор?
Условие задачи:
Алеша:
Коля врун;
Коля:
Миша врун;
Миша:
Коля врун;
Толя:
Алеша врун.
Коля и Миша говорят друг о друге. Понятно, что один
обязательно говорит правду, а другой лжет.
а) Допустим, что Коля говорит правду, а Миша – врун.
Тогда Алеша – врун, а Толя говорит правду.
Всего 2 вруна.
б) Допустим, что Коля – врун, а Миша говорит правду.
Тогда Алеша говорит правду, а Толя – врун. Снова 2
вруна.
В1.
Часы показывают некоторое
количество часов и 30 минут. Через
7 часов наверняка уже будет «завтра».
Сколько часов назад наверняка было
«вчера»?
Ответ следует дать в виде полного
количества часов (без минут).
Решение. Самое сложное условие для
понимания – «наверняка …». Эта задача
предусматривает освоение школьниками
«принципа
крайнего»,
который
часто
используется в доказательствах.
Так как через 7 часов наверняка уже будет
«завтра», то сейчас может быть 17 : 30 или
18 : 30 и т.д. до 23 : 30. Чтобы ответить на
вопрос задачи, необходимо подобрать такое
число, чтобы оно подходило для всех
перечисленных вариантов. Таким числом
является 24.
Ответ. 24.
7 класс
А4. В 4 часа дня с первого до
последнего удара часов прошло 6
секунд. Сколько секунд пройдет с
первого до последнего удара в
полдень?
1) 18
2) 20
3) 22
4) 24
Решение.
Между
четырьмя
ударами 3 временных промежутка
по 2 секунды каждый. В полдень
12 ударов, значит, 11 временных
промежутков по 2 секунды, всего
22 секунды.
В4. Квадрат 300  300 разбит
красными
линиями
на
«вертикальные»
прямоугольники
3  2, а синими линиями — на
«горизонтальные» прямоугольники
2  3.
Сколько получится квадратиков
1  1 при таком разбиении, если
провести разрезы по всем линиям?
Решение.
Квадрат
300  300 можно разбить
на квадраты 6  6, в
каждом из которых 4
квадратика 1  1. Всего
квадратов 6  6 будет
50  50 = 2500 (так как
300 : 6 = 50). Значит,
квадратиков 1  1 будет
10000 (2500  4 = 10000).
Ответ. 10000.
2
В5. На полу площадью 12 м лежат три
2
ковра: площадь одного 5 м , другого –
2
2
4 м и третьего – 3 м . Каждые два
ковра перекрываются на площади
2
2
1,5 м , причем 0,5 м из этих полутора
квадратных метров приходится на
участок пола, где перекрываются все
2
три ковра. Какова площадь пола (в м ),
не покрытая коврами?
Решение.
Площадь,
покрытая тремя коврами
одновременно,
равна
0,5 м2. Значит, три участка,
покрытые ровно двумя
коврами, имеют площади
по
1
м 2.
Площади,
покрытые только одним
ковром,
равны
соответственно 2,5 м2,
1,5 м2 и 0,5 м2. Всего
коврами
покрыто
2,5 + 1,5 + 0,5 + 3  1 + 0,5
= 8 (м2). Так как площадь
пола
12
м 2,
то
не покрыто коврами 4 м2
(12 – 8 = 4).
Ответ. 4.
0,5
1,0
1,5
0,5
1,0
1,0
2,5
8 класс
В2. Четыре класса А, Б, В и Г должны
покрасить забор вокруг школы. А, Б и В
классы вместе могут выполнить эту
работу за 1 ч 20 мин; А, Б и Г
классы - за 2 часа. Если будут работать
только В и Г классы, забор будет
покрашен за 1 ч 20 мин. За какое время
работа будет выполнена, если будут
работать все четыре класса? Ответ
запишите в минутах.
Решение. Пусть производительности
каждого класса (когда они работают по
отдельности) равны соответственно x, y,
z и t. Тогда получим систему уравнений
(предварительно
надо
перевести
минуты в часы):
4

 x  y  z   3  1,

 x  y  t   2  1,

4
 z  t    1
3

3

x

y

z

,

4

1

x

y

t

,

2

3

z  t  4

Вычитая из первого уравнения второе,
получим систему относительно двух
переменных:
1

z t 
,


4

z  t  3

4

Находим, что:
Тогда
1
x y 
4
1
1
z , t
2
4
Суммарная производительность всех
четырех классов равна:
x  y  z t 1
Ответ. 60.
В5. Известны расстояния от
трех вершин параллелограмма
до
не
пересекающей
его
прямой: АА1=2, ВВ1=3, СС1=6.
Найдите
расстояние
от
вершины D до этой прямой.
Решение.
АК  ВВ1, DM  CC1.
Тогда треугольники АКВ
и DMC будут равны по
гипотенузе и острому
углу.
А1В1КА и D1C1MD –
прямоугольники.
Так как АА1 = В1К = 2,
а ВВ1= 3, то ВК = 1.
DD1 = С1М = СС1 – СМ =
=6 – 1 = 5.
Ответ 5.
9 класс
В2.
Прямоугольный треугольник
разделён высотой, проведённой к
гипотенузе, на два треугольника, в
которые
вписаны
окружности
радиусов 5 и 12. Найдите радиус
окружности, вписанной в данный
треугольник.
Решение. Высота, опущенная на
гипотенузу, разбивает треугольник на два
подобных треугольника, каждый из
которых подобен исходному. Радиусы
вписанных
окружностей
в
этих
треугольниках являются сходственными
элементами, а значит, находятся в том же
отношении, что и все
остальные
элементы. Так как радиусы вписанных
окружностей в треугольники АСН и СНВ
равны 12 и 5, значит, гипотенузы этих
треугольников находятся в отношении
12 : 5. Тогда получаем пифагорову тройку
5, 12 и 13. Значит, гипотенуза исходного
треугольника по отношению к катетам
находится в отношении 13: 12 : 5, а значит,
искомый радиус равен 13.
Ответ. 13.
A
H
C
B
В4. Гусеница сидит в одном из восьми
углов закрытой коробки 3 × 5 × 9 см. В
самом дальнем от неё углу коробки
есть маленькое отверстие, через
которое она хочет выбраться на
свободу. Какое наименьшее число
сантиметров ей придётся для этого
преодолеть? Если ответ не выражается
целым числом, то округлите его до
целого.
Решение. Допустим,
что гусеница сидит в
точке А, а попасть ей
надо в точку С1. Чтобы
получить наименьшее
расстояние, надо
сделать развертку и
двигаться по отрезку.
B1
C1
D1
A1
5
B
C
3
A
9
D
Возможны 3 различных варианта передвижения
по двум смежным граням.
C1
B1
B1
A1
C
B
5
C1
C1
5
3
B
C
9
A
3
D
5
D1
A
3
B
9
C
D
A
9
AC1  9 2  8 2  145  12
AC1  14 2  9 2  14
AC1  12  5  169  13
2
2
Ответ. 12.
В5. В ряд стоят 30 стульев.
Время от времени подходит
человек и садится на один из
свободных стульев. При этом
один из его соседей (если такие
есть) встает и уходит. Какое
наибольшее
число
стульев
может оказаться занятым, если
сначала все они свободны?
Решение. Самое главное в решении этой задачи – придумать
такой алгоритм, чтобы занять как можно больше мест. Пусть
стулья пронумерованы от 1 до 30. Сначала первый человек
занимает стул №1. Следующий садится на стул №3, при этом
никто не уходит.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …
Третий человек садится на стул №2, при этом уходит человек со
стула №3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …
Заняты первые два стула. Затем занимается стул №4 (никто не
уходит).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …
После занятия стула №3 уходит человек со стула №4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …
Теперь заняты первые 3 стула. Далее алгоритм повторяется,
пока не будут заняты первые 28 стульев. Потом остается
последнему человеку сесть на стул №30, и только стул №29
останется свободным.
Ответ. 29.
10 класс
А8. Какой вид имеет квадратное
уравнение с целыми
коэффициентами, один из корней
7
которого равен
?
53 2
1) x2 - 10x + 43 = 0
3) x2 - 10x + 7 = 0
2) x2 + 10x + 7 = 0
4) x2 - 10x - 7 = 0
Решение.
x1 
7
53 2



7 53 2
 53 2
25  18
Чтобы коэффициенты уравнения были
целыми, нужно, чтобы x 2  5  3 2
Тогда для определения коэффициентов
применим теорему Виета:
 x1  x2  10,

 x1  x2  7
Теперь составим уравнение:
x2 - 10x + 7 = 0.
В5.
В треугольнике две медианы
взаимно перпендикулярны и равны
18 см и 24 см. Найдите площадь этого
треугольника (в см2)
Решение.
В
решении
можно
использовать свойство медиан (они
делятся
точкой
пересечения
в
отношении 2 : 1, считая от вершины).
Этим
же
свойством
можно
воспользоваться
для
построения
правдоподобного чертежа.
B
12
16
8
O
A
M
6
L
C
SAOB = 0,5  16  12 = 96
SBOM = 0,5  12  8 = 48
SAOL = 0,5  16  6 = 48
SLOM = 0,5  6  8 = 24
Так как LМ – средняя линия треугольника АВС, то
SСLM = 0,25SABC.
SABLM = 0,75SABC = 96 + 48 + 48 + 24 = 216.
SABC = 216 : 4  3 = 288.
Ответ. 288.
11 класс
В1. Строится числовая последовательность: первый ее член
равен 32012, а каждый следующий член, начиная со второго,
равен сумме цифр предыдущего. Найдите сотый член этой
последовательности?
Решение. Так как первый член
последовательности делится на 9, то
каждый
следующий
член
будет
обладать тем же свойством. Так как
сумма цифр очень резко уменьшает
разрядность чисел, то понятно, что для
100-го члена это число точно будет
равняться 9. Более тщательные оценки
дают
такой
результат
уже
для
четвертого члена последовательности.
Ответ. 9.