Ларионов В.В. Явления переноса

Ларионов В.В. Явления переноса
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ
КИНЕТИКИ
3.1. Явление переноса в газах.
3.2. Число столкновений и длина свободного пробела
молекул в газах.
3.3. Диффузия газов.
3.4. Внутреннее трение. Вязкость газов.
3.5. Теплопроводность газов.
3.6. Коэффициенты переноса и их зависимость от
давления.
3.7. Понятие о вакууме.
Явления переноса в газах
Мы знаем, что молекулы в газе движутся со скоростью пули, звука.
Однако, находясь в противоположном конце комнаты, запах
разлитой пахучей жидкости мы почувствуем через сравнительно
большой промежуток времени. Это происходит потому, что
молекулы движутся хаотически, то есть они сталкиваются и
траектория у них ломанная.
Рассмотрим следующие явления:
1) Распространение молекул примеси в газе от источника
называется диффузией.
Вы встретитесь с понятием диффузия. Основные причины и закономерности
и т.д. легче понять рассматривая
явления переноса в газах.
(1)
диффузии, теплопроводимости
dni
Ni   D
S
dx
2) Если какое либо тело движется в газе, то оно сталкивается с
молекулами газа и сообщает им импульс. С другой стороны тело
тоже будет испытывать соударения со стороны молекул, и получать
собственный импульс, но направленный в противоположную
сторону. Газ ускоряется, тело тормозиться, то есть на тело
действуют силы трения. Такая же сила трения будет
действовать и между двумя соседними слоями газа,
движущимися с разными скоростями. Это явление носит
название - внутреннее трение или вязкость газа, причём
(2)
Fтр = - η (dU/dz)S, где U – скорость движения слоя газа, S площадь соприкосновения слоев газа.
3) Если в соседних слоях газа создана и поддерживается разность
температур, то между ними будет происходить обмен тепла.
Благодаря хаотическому движению, молекулы в соседних слоях
будут перемешиваться, и их средние энергии будут выравниваться.
Происходит перенос энергии от более нагретых к более
холодным. Этот процесс называется теплопроводностью.
Q  
dT
S
dx
– поток тепла. (3)
В процессе диффузии происходит перенос вещества, при
внутреннем трении – перенос импульса, при теплопроводности –
перенос энергии (тепла). А в основе лежит один и тот же механизм
– хаотическое движение молекул. Общность механизма,
обуславливающего все эти явления переноса приводит к тому, что
их закономерности должны быть похожи друг на друга.
Число столкновений и длина свободного
пробега молекул в газах.
Обозначим λi – длина свободного пробега молекулы; λ 
средняя длина свободного пробега.
Модель газа – твёрдые шарики одного диаметра
взаимодействующие только при столкновении.
Обозначим Sэфф. – эффективное сечение молекулы (рис.
13.2).
Рис. 13.2
Sэфф = πd2/4 – площадь, в которую не может
проникнуть центр любой другой молекулы. За
одну секунду молекула проходит путь, равный
средней арифметической скорости υ. За одну
секунду молекула проходит путь, равный
средней арифметической скорости υ. За одну
секунду молекула претерпевает ν
столкновений. Следовательно
Предположим, что все молекулы застыли, кроме одной. Её
траектория
будет
представлять
собой
линию.
Столкновения будут только с теми молекулами, центры
которых лежат внутри цилиндра радиусом d
Длина цилиндра за одну секунду равна υ';
умножив объём υ'S на число молекул в
единице объёма n, получим среднее число
столкновений в одну секунду:
ν  πd 2 υ n.
(13.1.4)
На самом деле все молекулы движутся (и в сторону и на
встречу друг другу), поэтому число соударений
определяется средней скоростью движения молекул
относительно друг друга.
По закону сложения случайных величин
υ 
А так как
υ  υ
2
2
 2υ
υ
λ 
, то получим
ν
 υ 2.
2
λ 
p
Так как p = nkT, то есть n 
, то
kT
то есть  ~
(13.1.5)
1
.
2
2nπd
λ 
1
.
p
(13.1.6)
kT
,
2
2nd p
(13.1.7)
Здесь можно заметить, что с учётом введения нами ранее
kT
эффективного сечения молекулы Sэфф.,
(13.1.8)
λ 
2S эфф. p
.
Пример: при d = 3 Å =31010 м, р = 1 атм., Т = 300 К, λ =
107 м, т.к. λ = 107 м, то число столкновений.
3
ν
13.3. Диффузия
Рис. 13.4.
10
10

10
107
газов
Диффузия – это распределение молекул примеси в газе от источника.
Решаем одномерную задачу. Пусть в газе присутствует примесь с
концентрацией n в точке с координатой х. Концентрация примеси
зависит от координаты х (рис. 13.4).
dn
dn
dn
grad n 
i
j k
dx
dy
dz
– в общем случае. Так как у нас одномерная задача, то
Рис. 13.5
(13.3.1)
dn
grad n 
dx
При наличии grad n, хаотическое движение будет более
направленным
–
стремиться
выровняться
по
концентрации и возникнет поток молекул примеси,
направленных от мест с большей концентрацией к местам
с меньшей концентрацией. Найдём этот поток. Пусть в
плоскости с координатой х находится единичная площадка
S перпендикулярная оси х. Подсчитаем число молекул,
проходящих через площадку в направлении слева направо
(N+) и справа налево (N) – за время t (рис. 13.5).
N  N1'  N1"
1 '
N   n1  S
6
'
1 ''
N _  n1  S
6
'
(13.3.2)
(13.3.3)
где n1'  концентрация молекул слева от площади, а
концентрация молекул справа от площади.
n2"

Через поверхность S ,будут пролетать молекулы,
претерпевшие последнее соударение на различных
расстояниях от S. Однако в среднем последнее соударение
происходит на расстоянии от S, равном средней длине
'
свободного пробега  . Поэтому в качестве n1 разумно
"
n
n
(
x


)
взять значение 1
, а в качестве 2 - значение n1( x   )
Тогда с учетом (13.3.2)
1
N   S [n1 ( x   )  n1 ( x   )]
(13.3.4)
6
Поскольку  очень мала, разность значений функций n(x),
стоящую в квадратных скобках, можно представить в виде
dn
n( x   )  n( x   )    .
dx
Подставив это в выражение (13.3.4), получим, что
1
 dn
N      S
3
 dx
(13.3.5)
Сравнение выражения 13.3.5) с формулой 13.1.1)
показывает, что исходя из молекулярно-кинетических
представлений, удается не только прийти к правильной
зависимости N1 от dn1/dx, но и получить выражение для
коэффициента диффузии D:
1

(13.3.6)
D    
3

Более строгий расчет приводит к такой же формуле, но с
несколько отличным числовым коэффициентом.
dn
N  D ,
dx
(13.3.7)
или в общем случае (в трёх мерной системе)
N = – D grad n
(13.3.8)
Уравнение Фика. Поток, направленный в сторону
уменьшения концентрации D  м 2
с
численно равен потоку через единицу площади в единицу
времени при grad n = 1.
3.4. Внутреннее трение. Вязкость газов
Рассмотрим ещё одну систему координат (рис. 3.6): υ от х.
Пусть в покоящемся газе вверх, перпендикулярно оси х
движется пластинка со скоростью υ0, причём υ0 << υT (υT –
скорость теплового движения молекул). Пластинка
увлекает за собой прилегающий слой газа, тот слой –
соседний и так далее. Весь газ делится как бы на
тончайшие слои, скользящие вверх тем медленнее, чем
дальше они от пластинки. Раз слои газа движутся с
разными скоростями, возникает трение. Какова же здесь
природа трения? Ведь силы притяжения в газе малы!
Например, в твёрдых телах силы трения имеют
электромагнитную природу. Каждая молекула газа в слое
принимает участие в двух движениях: тепловом и
направленном. Но так как направление теплового
движения хаотически меняется, то в среднем вектор
тепловой скорости равен нулю
При направленном
движении вся совокупность молекул будет дрейфовать с
постоянной скоростью υ. Таким образом средний импульс
отдельной молекулы в слое определяется только
дрейфовой скоростью υ: p = m υ.
Рис. 3.6
Рис. 13.6
Но так как молекулы участвуют в тепловом движении, они будут
переходить из слоя в слой. При этом они будут переносить с собой
добавочный импульс, который будет определяться молекулами того
слоя, куда перешла молекула. Перемешивание молекул разных слоёв
приводит к выравниванию дрейфовых скоростей разных слоёв, что
и проявляется макроскопически как действие сил трения между
Вернёмся к рис. υ(х) и рассмотрим элементарную площадку dS
перпендикулярно оси х. Через эту площадку за время dt влево и вправо
переходят потоки молекул. Как мы уже говорили
1
N nυS
6
(13.4.1)
Через площадку S в единицу времени переносится
импульс
K  N (mu1  mu2 )
(m – масса молекулы). Подстановка
выражения (13.4.1)
K  N (mu  mu )
для N дает
(13.4.2)
1
K  n υ Sm(u1  u2 )
6
1
2
u1  u( z   ) и u2  ( z   )
Подстановка этих значений в (13.4.2) дает для потока
импульса в направлении оси z выражение
1
K  n υ Sm[u ( z   )  u ( z   )]S
6
(13.4.3)
Приняв во внимание, что произведение nm равно
плотности газа  , можно записать
1
du
K  ( υ  )
S
3
dz
(13.4.4)
Сравнение с формулой (13.1.2)дает выражение для
1
коэффициента вязкости
   υ   D
(13.4.5)
3
Это уравнение называют – уравнением Ньютона, где D –
коэффициент диффузии; ρ – плотность. Физический смысл η в том,
что он численно равен импульсу, переносимому в единицу
времени через единицу площади при градиенте скорости равном
единице (grad S).
3.5. Теплопроводность
газов
Рассмотрим газ, заключённый между двумя
параллельными стенками, имеющих разную температуру
(Та и Тб (рис. 13.7)). Итак, у нас имеется градиент
температуры  dT  0 
 dx

тогда через газ в направлении
оси х будет идти поток тепла.
Хаотично двигаясь, молекулы
будут переходить из одного
слоя газа в другой, перенося с
собой энергию. Это движение
молекул приводит к
перемешиванию молекул,
имеющих различную
кинетическую энергию
Рис. 13.7

m0 v 2кв i
Wк. 
 kT
2
2
При подсчёте потока тепла введём следующие упрощения:
1) υ = const (средне арифметическая скорость).
2) Примем, что концентрация молекул в соседних слоях
тоже одинакова, (хотя на самом деле она различается. Это
упрощение даёт ошибку  10 %).
Снова вернёмся к рисунку: через площадку S за единицу времени
проходит молекул.
Средняя энергия этих
1
N
6
 nS
(13.5.1)
молекул Wк – соответствует значению энергии в том месте, где они
испытывают последнее результирующее столкновение. Для одной
i
молекулы газа:
Wк1  kT1 ,
(13.5.2)
2
соответствующую температуре в том месте, где произошло ее
последнее соударение с другой молекулой.
В соответствии со сказанным для потока тепла через
площадку S в положительном направлении оси x
получается выражение Q  N (Wk1  Wk 2 )
где N – определяется формулой (13.5.1). Подстановка
значений N, Wk1, Wk2 дает
1
i
i
i
 1
(13.5.3)
Q  n  S  kT1  kT2   n  S k (T1  T2 )
6
2
2

6
2
Разность T1 – T2 равна T ( x   )  T ( x   )   dT 2
dx
(13.5.4)
dT
dx
Здесь
- производная от Т по оси х в том месте, где
расположена плоскость S. Тогда
1
i dT
1
 i  dT
Q n S k
2      kn
S
6
2 dx
3
 2  dx
(13.5.5)
Сопоставление этой формулы с формулой (13.1.3) дает для
коэффициента теплопроводности следующее выражение
1
i
   υ ( nk )
Вспомним, что выражение3
определяет теплоемкость(13.5.6)
при постоянном
2
i
i
объеме Сv моля газа, т.е. Количество
R  kN A газа, содержащего NA молекул. Аналогично
2 теплоемкость количества газа, содержащего
выражение
представляет2 собой
i
n молекул, т.е.
nk теплоемкость единицы объема газа. Эту теплоемкость можно
2
получить, умножив
уд. Теплоемкость сv (теплоемкость ед. массы) на массу ед
объема, т.е. На плотность газа
. Т.о.,

Тогда коэффициент теплопроводности
i
nk  cv
2
1
   cv
3
(13.5.7)
(13.5.8)
13.6. Коэффициенты
переноса и их
зависимость от давления
Сопоставим
N = D gradU или N   D dn  Уравнение Фика для диффузии;
dx
K = η gradu или
K  
Q = χ gradT или q   χ
du

dz
Уравнение Ньютона для трения;
dT
 Уравнение Фурье для теплопроводности.
dx
Все эти законы были установлены опытно, задолго до обоснования
молекулярно – кинетической теорией. Эта теория позволила
установить, что внешнее сходство уравнений обусловлено
общностью лежащих в их основе молекулярного механизма
перемешивания молекул в процессе их теплового хаотического
движения. Однако к концу XIX века, несмотря на блестящие успехи
молекулярно – кинетической теории ей не доставало твёрдой опоры
– прямых экспериментов, доказывающих существование атомов и
молекул. Это дало возможность некоторым учёным, философам
(Максвелл, Освальд) – наверное вы изучали это течение –
субъективный идеализм. Заявлять, что схожесть формул – это
произвол учёных – упрощённое математическое описание явления.
Но это конечно не так. Все выше указанные коэффициенты связаны
между собой и все выводы молекулярно – кинетической теории
подтверждены опытно.
1
D

λυ
Коэффициент диффузии
3
Коэффициент вязкости   1  υ   D
3
Коэффициент теплопроводности
1
   υ cv  Dcv
3
(здесь m – масса одной молекулы, а nm = ρ  плотность).
Из анализа этих формул вытекает целый ряд важных выводов.
Рассмотрим зависимость коэффициента переноса от давления p.
Так как скорость теплового
движения молекул v T ~ T
и не зависит от давления p, а
коэффициент диффузии D ~ λ и
зависимости λ(p).
Рис. 13.8
При обычных давлениях D ~ 1
высоком вакууме D = const. p
в разряженных газах, в
Нужно сказать, что вакуум – понятие относительное. Для газа –
нормальное давление 1 атм., а ~105 – вакуумное. С ростом
давления уменьшается λ и затрудняется диффузия (D  0).
При T = const ρ ~ p отсюда, при обычных давлениях:
η = const; в вакууме D = const, ρ ~ p, η ~ ρ.
D~
1
p
, ρ ~ p,
С увеличением p и ρ, повышается число молекул переносящих
импульс из слоя в слой, но дать уменьшённое расстояние
свободного пробега λ. Поэтому вязкость η не зависит от давления p
– это подтверждено экспериментально. На (Рис. 3.8) показаны
зависимости переноса атмосферного давления и λ от p. То есть здесь
изображено всё, о чём мы говорили выше. Эти зависимости широко
используют в технике (например при измерении вакуума).
Молекулярное течение. Эффузия газов
Молекулярное течение – течение газов в условиях вакуума. То есть
когда молекулы не сталкиваются друг с другом. В вакууме
происходит передача импульса непосредственно стенками сосуда,
то есть происходит трение газа о стенки сосуда. Трение перестаёт
быть внутренним и понятие вязкости теряет свой прежний смысл
(как трение одного слоя газа о другой). Течение газа в условиях
вакуума через отверстие (под действием разности давлений)
называется эффузией газа.
Как при молекулярном течении, как и при эффузии количество
протекающего в единицу времени газа обратно пропорционально
1
корню квадратному из молярной массы:
(13.6.1)
n~
μ
Эту зависимость тоже широко используют в технике (например – для
распределения изотопов газа U235 отделяют от U238, используя газ UF6).
13.7. Понятие о вакууме
Газ называется разреженным (разреженный газ), если его плотность
столь мала, что средняя длина свободного пробега молекул λ
может быть сравнима с линейными размерами l сосуда, в котором
находится газ. Такое состояние газа также называется вакуумом.
Различают следующие степени вакуума: сверхвысокий (λ >> l),
высокий (λ > l), средний (λ  l) и низкий вакуум. В трех первых
степенях вакуума свойства разряженных газов отличаются от
свойств неразряженных газов. Это видно из таблицы, где приведены
некоторые характеристики различных степеней вакуума.
Вакуум
Характеристика
Давление в
мм.рт.ст
Число молекул в
единице объема (в
м3)
Зависимость от
давления
коэффициентов 
и  вязкости и
теплоемкости
низкий
средний
высокий
сверхвысок
ий
760 – 1
1 – 103
103 – 107
108 и менее
1025 – 1022
1022 – 1019
1019 – 1013
1013 и менее
Не
зависит
от
давления
Зависимость
р
определяетс
я
параметром
ПрямоПропорциональны
давлению
Теплопрово
дность и
вязкость
практическ
и
отсутствуют
В состоянии высокого вакуума уменьшение плотности
разряженного газа приводит к соответствующей убыли
частиц без изменения λ. Следовательно, уменьшается
число носителей импульса или внутренней энергии в
явлениях вязкости и теплопроводности. Коэффициент
переноса в этих явлениях прямопропорциональны
плотности газа. В сильно разряженных газах внутреннее
трение по существу отсутствует.
Вместо
него
возникает
внешнее
трение
движущегося газа о стенки сосуда, связанное с тем,
что молекулы изменяют свои импульсы только при
взаимодействии со стенками сосуда. В этих
условиях
напряжение
трения
в
первом
приближении пропорционально плотности газа и
скорости его движения. Удельный тепловой поток в
сильно разряженных газах пропорционален
разности температур и плотности газа.
Стационарное состояние разряженного газа, находящегося в
двух сосудах, соединенных узкой трубкой, возможно при
условии равенства встречных потоков частиц, перемещающихся
из одного сосуда в другой: n1υ1 = n2υ2, где n1 и n2 – число
молекул в 1 см3 в обеих сосудах; υ1 и υ2 – их средние
арифметические скорости.
Если Т1 и Т2 – температуры газа в сосудах, то предыдущее
условие стационарности можно переписать в виде уравнения,
выражающего эффект Кнудсена:
p1
T1

,
p2
T2
где р1 и р2 – давления разряженного газа в обоих сосудах.
ЛЕКЦИЯ
ОКОНЧЕНА.