Разбор ключевых задач.

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №65 им. Б.П Агапитова с
углубленным изучением предметов музыкально-эстетического цикла»
города Магнитогорска
«Функционально-графический способ решения заданий
с параметрами на примере КИМов ОГЭ 2015».
Элективный курс, 9 класс
Исполнитель: Любовь Петровна Пыхалова,
учитель математики
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Практика работы в школе показывает, что уравнения и неравенства с параметром это один из сложнейших разделов школьного курса математики, представляющий для
школьников наибольшую трудность, как в логическом, так и в техническом плане.
Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой
по своему характеру к исследовательской. Выбор метода решения, запись ответа
совершенствуют умения наблюдать, сравнивать, анализировать, строить схемы и графики,
выдвигать гипотезу и обосновывать полученные результаты. Задачи с параметром
проверяют не только умение работать по алгоритму, но и способность к поиску
нестандартных решений, формируя при этом творческий подход к выполнению заданий.
Функции и графики наиболее востребованные средства при решении многих
параметрических задач. В первую очередь вместе со знанием определений свойств
функций надо хорошо понимать качественную сторону, представлять себе, какая
информация доставляется тем или иным свойством. Функционально-графический способ
наиболее наглядно может демонстрировать решение задач с параметрами.
Данный элективный курс можно рекомендовать в качестве предпрофильной
подготовки к изучению предмета на профильном уровне, выстраивает индивидуальнообразовательную траекторию учащегося, а также позволяет сократить разрыв между
требованиями, предъявляемыми к выпускнику при выполнении заданий итоговой
аттестации и школьной программой. В процессе его изучения учащиеся знакомятся с
функционально-графическим методом решения уравнений.
Целями данного курса являются:







эффективная подготовка выпускников к сдаче ОГЭ по математике
повышение уровня математической культуры выпускников
расширение кругозора учащихся, повышение мотивации к изучению предмета;
стимулирование познавательного интереса, развитие творческих способностей;
закрепление теоретических знаний и развитие практических навыков и умений;
развитие графической культуры учащихся, геометрического воображения и
логического мышления;
знакомство учащихся с методами решения различных по формулировке
нестандартных задач.
Организация учебного процесса.
Программа элективного курса рассчитана на 10 часов.
Курс предназначен для учащихся 9 класса
Курс имеет практико-ориентированную направленность.
Формы занятий: лекции, семинары, практикумы.
На занятиях можно применять:
 тренажеры;
 on-line тестирование http://uztest.ru;
 http://sdamgia.ru/
 http://alexlarin.net/gia/
 http://gia.edu.ru/.
Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения курса:
Личностные результаты:
 развитие учебно-познавательного интереса к учебному материалу и способам решения
задач;
 умение ориентироваться в знаниях об объекте.
Метапредметные результаты:
 постановка и формулирование проблемы;
 поиск и выделение необходимой информации по какой -либо функции;
 создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового
характера.
Предметные результаты:
 понимание сути ключевой задачи;
 применение знаний свойств функций к решению параметрических задач;
 глубокий уровень применения графической информации к анализу учебной задачи.
Содержание курса
№
уро
ка
1
Содержание
Повторение и обобщение свойств
функций
2-3
Изучение семейств функций, их
свойств. Комбинация нескольких
графиков.
4-5
Разбор ключевых задач.
Решение заданий с параметрами.
6-7
10
Контроль
Линейная функция, функция
обратной пропорциональности,
квадратичная функция, функция
модуля. Преобразования
графиков.
y=a; y=kx+b ; y=ax²+bx+c ; y=|x|;
𝑘
y=𝑥
Пр 1
Ключевая задача № 1. График
функции y = f(x) и прямая у = b
Ключевая задача № 2. График
функции y = f(x) и прямая у = kх
Пр2
Разбор ключевых задач.
Решение заданий с параметрами.
Ключевая задача № 3. График
функции y = f(x) и прямая
= х + b.
Пр3
Самостоятельное решение задач с
параметрами.
Задачи типа №1,2,3.
Разбор ключевых задач.
Решение заданий с параметрами.
8-9
Типы задач
у
Итоговая работа
Повторение и обобщение свойств функций.
Я предлагаю повторить все свойства основных функций на уровне 9 класса с помощью
двух презентаций коллег по данной теме. Преобразования элементарных графиков
изучить с помощью справочного материала – таблицы ( см. дополнительный материал.)

Изучение семейств функций, их свойств на конкретных примерах:
Графический метод решения некоторых уравнений с параметрами весьма эффективен,
когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a.
Пример1. Сколько корней имеет уравнение | | x | – 2 | = a в зависимости от параметра a?
Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | – 2 | и y = a.
График функции y = | | x | – 2 | изображен на рисунке.
Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая
(при a = 0).
Из чертежа видно, что:
Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | – 2 |
две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни
можно найти: x1,2 = ± 2).
Если 0 < a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие
точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное
уравнение имеет три корня.
Если a > 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть
данное уравнение будет иметь два корня.
Ответ:
если a < 0, то корней нет;
если a = 0, a > 2, то два корня;
если a = 2, то три корня;
если 0 < a < 2, то четыре корня.
Пример 2. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от параметра a?
Решение. Построим в системе координат (x; y) график функции
представим ее в виде:
но сначала
Прямые x = 1, y = 1 являются асимптотами графика функции. График функции y = | x | + a
получается из графика функции y = | x | смещением на a единиц по оси Oy.
Графики функций
пересекаются в одной точке при
a > – 1; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет одно решение.
При a = – 1, a = – 2 графики пересекаются в двух точках; значит, при этих значениях
параметра уравнение (1) имеет два корня.
При – 2 < a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при
этих значениях параметра имеет три решения.
Ответ:
если a > – 1, то одно решение;
если a = – 1, a = – 2, то два решения;
если – 2 < a < – 1, a < – 1, то три решения.
Замечание. При решении уравнения (1) задачи 3 особо следует обратить внимание на
случай, когда a = – 2, так как точка (– 1; – 1) не принадлежит графику функции
но принадлежит графику функции y = | x | + a.
Пример 3. Сколько корней имеет уравнение
x+2=a|x–1|
(2)
в зависимости от параметра a?
Решение. Заметим, что x = 1 не является корнем данного уравнения, так как равенство 3 =
a·0 не может быть верным ни при каком значении параметра a. Разделим обе части
уравнения на | x – 1 |(| x – 1 | ≠ 0), тогда уравнение (2) примет вид
В системе
координат xOy построим график функции
График этой функции изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая,
параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).
Далее рассуждая так же, как и в задаче 3, получаем ответ.
Ответ:
если a = – 1, то корней нет;
если – 1 < a < 1, то один корень;
если a > 1, то два корня.
Рассмотрим наиболее сложное уравнение.
Пример 4. При каких значениях параметра a уравнение
ax2 + | x – 1 | = 0
(3)
имеет три решения?
Решение. 1. Контрольным значением параметра для данного уравнения будет число a = 0,
при котором уравнение (3) примет вид 0 + | x – 1 | = 0, откуда x = 1. Следовательно, при a
= 0 уравнение (3) имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
2. Рассмотрим случай, когда a ≠ 0.
Перепишем уравнение (3) в следующем виде: ax2 = – | x – 1 |. Заметим, что уравнение
будет иметь решения только при a < 0.
В системе координат xOy построим графики функций y = | x – 1 | и y = ax2. График
функции y = | x – 1 | изображен на рисунке. Графиком функции y = ax2 является парабола,
ветви которой направлены вниз, так как a < 0. Вершина параболы — точка (0; 0).
Уравнение (3) будет иметь три решения только тогда, когда прямая y = – x + 1 будет
касательной к графику функции y=ax2.
Воспользуемся тем, что если прямая y = kx + b имеет единственную общую точку с
параболой y = ax2 + px + q, то уравнение ax2 + px + q = kx + b должно иметь единственное
решение, то есть его дискриминант равен нулю. В нашем случае имеем уравнение
ax2 = – x + 1 (a≠ 0). Дискриминант уравнения
Ответ:
В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2015 году
основного государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ указано как задание высокого уровня
сложности . Ожидаемый процент его выполнения 3-15%. И направлено задание на проверку
умений выполнять преобразования алгебраических выражений, решать уравнения,
неравенства и их системы, строить и читать графики функций, строить и исследовать
простейшие математические модели.
В формулировках задания содержится два глагола: постройте график и найдите
значение параметра k.
Оценивается максимально в 4 балла. Критерии оценивания:
4б - график построен правильно, верно указаны все значения параметра;
3б – график построен правильно, указаны не все верные значения параметра;
0б - другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям.
Разбор ключевых задач.
Ключевая задача № 1. График функции y = f(x) и прямая у = b
№1.Постройте график функции y= | x2 – 2| x | – 3 | и найдите все значения параметра a,
при которых данный график и прямая у=a имеет ровно четыре общих точки.
Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | x2 – 2| x | – 3 | и
y = a. График функции y = | x2 – 2| x | – 3 | изображен на рисунке. Графиком функции y = a
является прямая, параллельная Ox или с ней совпадающая (когда a = 0).
Из чертежа видно:
Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | x2 –
2| x | – 3 | две общие точки, а также прямая y = a будет иметь с графиком функции y = | x2 –
2| x | – 3 | две общие точки при a > 4. Значит, при a = 0 и a > 4 исходное уравнение имеет
два корня.
Если 0 < a < 3, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | x2 – 2| x | – 3 | четыре
общие точки, а также прямая y=a будет иметь с графиком построенной функции четыре
общие точки при a = 4. Значит, при 0 < a < 3, a = 4 исходное уравнение имеет четыре
корня.
Если a = 3, то прямая y = a пересекает график функции в пяти точках; следовательно,
уравнение имеет пять корней.
Если 3 < a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках;
значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Если a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график
функции y = | x2 – 2| x | – 3 |.
Ответ: если 0 < a < 3, a = 4, то четыре корня.
Подбор задач из основных КИМов ОГЭ 2015 года.
№1. Постройте график кусочно-заданной функции:
х², если |х| ≤ 2,
6
У ={ х , если |х| > 2.
Найдите все значения b, при которых данный график и прямая у=b имеет ровно одну
общую точку.
Ответ: ( -3; 0]
х4−17 𝑥 2 +16
№ 2. Постройте график функции у = 𝑥 2 +3х−4 и найдите все значения а, при которых
у= а имеет с этим графиком ровно одну общую точку.
Ответ: -6,25; -6; 24
№ 3. Постройте график функции у =
|( |х|−2)(х−1)|
|1− х|
и по графику определите, при каких
значениях параметра m прямая у = m имеет с графиком функции ровно три общих точки.
Ответ: 1; 2.
№4. Постройте график функции у = |х²- 3 |х|- х -2|и найдите все значения а, при которых
прямая у = а имеет нечётное число общих точек с этим графиком.
Ответ: 2;3;6.
(х−1)(𝑥 2 +3х+2)
№5. Постройте график функции у=
и определите, при каких значениях m
х+2
прямая у= m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ: -1; 3
(𝑥 2 − 3х)|х|
№6. Постройте график функции у=
и определите, при каких значениях m прямая
х−3
у= m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Ответ: 9.
Проверочная №1.
№ 1. Постройте график функции у = х²- |х| +2 и определите, при каких значениях a
прямая у= a имеет с графиком ровно две общих точки.
Ответ: 1,75; (2; +∞)
№ 2. Постройте график функции у= х²+ 3х - 4|х+2|+2 определите, при каких значениях m
прямая у= m имеет с графиком ровно три общих точки.
Ответ: -2,25; 0
№ 3. Постройте график функции у = 3 |х+7|- х² - 13х - 42 определите, при каких значениях
m прямая у= m имеет с графиком ровно три общих точки.
Ответ: 0;1.
№4. Постройте график функции у = - х²- 4х – 1, если х ≥ -3,
-х – 1, если х < -3
и определите, при каких
значениях m прямая у= m имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ : 2;3.
Ключевая задача № 2. График функции y = f(x) и прямая у = kх .
№ 1. Постройте график функции у =
|х|−4
х²− 4 |х|
и определите, при каких значениях k прямая у
= kх не будет иметь с построенным графиком ни одной общей точки.
Область определения D(y)= ( - ∞ ;-4) U ( -4;о) U( 0;4)U ( 4; +∞)
После преобразования получим
У=
1
𝑥
, если х >0
1
- 𝑥 , если х<0
Семейство прямых у= kx- прямые, проходящие через начало координат.
1
1
Ответ: 0; - 16; 16.
Подбор задач из основных КИМов ОГЭ 2015 года.
№ 2. Прямая у = kх касается параболы у= х²+ bx + с в точке с координатами (3;15).
Найдите все возможные значения коэффициентов b и с.
Ответ: в = 1, с =9.
№ 3. Найдите все значения k, при которых прямая у=kх + 4 пресекает этот график в трёх
различных точках график функции:
5х+8 при х < -2
У ={ -2 при - 2 ≤ х ≤ 2²
5х-12 при х > 2.
Ответ: (3;5)
№ 4. Найдите все значения k, при каждом их которых прямая y = kx имеет с графиком
функции у = х²+4 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.
Ответ : -4; 4
№ 5. Постройте график функции у = ||4х – 5 | - 1| и определите, при каких значениях
параметра k прямая у = kх + 4 имеет с графиком функции не менее трёх различных
общих точек.
12
8
Ответ: - 4; - 5 ≤ k ≤ - 3.
Проверочная №2.
№ 1. Постройте график функции у = ||х – 4 | - 2| и определите, при каких значениях
параметра k прямая у = kх имеет с графиком функции ровно четыре общих точек.
Ответ: 0 < k < 0,5.
№ 2. Постройте график функции у = |х – 1 | - | х+2| и определите, при каких значениях
параметра k прямая у = kх имеет с графиком функции ровно три общих точки.
Ответ: (−1,5; 0).
№ 3. Постройте график кусочно-заданной функции:
2х+13 при х < -5
У = 3 при - 5 ≤ х ≤ 5
2х-7 при х > 5.
Найдите все значения k, при которых прямая у = kх пересекает тот график в трёх
различных точках.
Ответ: (0,6; 2)
Ключевая задача № 3. График функции y = f(x) и прямая у = х + b.
Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от параметра a?
Построим графики левой и правой частей данного уравнения. Для построения графика
функции
найдем промежутки
знакопостоянства выражений x + 2 и x:
Ответ: если a>– 1, то одно решение; если a = – 1, то два решения; если – 3<a<–1, то
четыре решения; если a<–3, то три решения.
Подбор задач из основных КИМов ОГЭ 2015 года.
2х²
№ 1.Постройте график функции у = - х |х| + |х| + 2х и по графику определите, при каких
значениях параметра b прямая у = х + b имеет с графиком функции ровно одну общую
точку.
Ответ : (- ∞ ; 0 ] U ( 2,25; +∞ )
№ 2.Постройте график функции у = |х - 1 | - | х – 2 | и определите при каких значениях b
прямая у = х + b имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ: -1; -2.
Проверочная №3.
|х|
№ 1. Постройте график функции у = |х| и по графику определите, при каких значениях
параметра b прямая у = х + b имеет с графиком функции ровно две общих точки.
Ответ : −1 < b ≤ 1
№2. При каком значении b прямая у= -5х +b является касательной к параболе у= 4х²- 3х?
Найдите координаты точки касания данных прямой и параболы.
Ответ: 0,25; ( - 0,25; 1 )
Дополнительные задания для самостоятельного решения или
осуществления контроля знаний обучающихся
1. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a?
1) | | x | – 3 | = a;
2) | x + 1 | + | x + 2 | = a;
3) | x2 – 4| x | + 3 | = a;
4) | x2 – 6| x | + 5 | = a.
Ответы:
1) если a<0, то корней нет; если a=0, a>3, то два корня; если a=3, то три корня; если
0<a<3, то четыре корня;
2) если a<1, то корней нет; если a=1, то бесконечное множество решений из отрезка [– 2; –
1]; если a > 1, то два решения;
3) если a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней;
если a=1, то шесть корней; если a=3, то три решения; если a>3, то два решения;
4) если a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь
корней; если a=4, то шесть корней; если a=5, то три корня; если a>5, то два корня.
2. Сколько корней имеет уравнение | x + 1 | = a(x – 1) в зависимости от параметра a?
Указание. Так как x = 1 не является корнем уравнения, то данное уравнение можно
привести к виду
.
Ответ: если a<–1, a > 1, a=0, то один корень; если – 1<a<0, то два корня; если 0<a<1, то
корней нет.
3. Сколько корней имеет уравнение x + 1 = a | x – 1 |в зависимости от параметра a?
Указание. Привести уравнение к виду
Построить график (см. рисунок).
Ответ: если aЈ–1, то корней нет; если – 1<aЈ1, то один корень; если a>1, то два корня.
4. Сколько корней имеет уравнение
2| x | – 1 = a(x – 1)
в зависимости от параметра a?
Указание. Привести уравнение к виду
Ответ: если a<–2, a>2, a=1, то один корень; если –2<a<1, то два корня; если 1<a<2, то
корней нет.
5. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от параметра a?
Указание. Построить графики левой и правой частей данного уравнения.
Ответ: если a<0, a=2, то один корень; если 0<a<2, то два корня.
6. При каких значениях параметра a уравнение
x2 + a | x – 2 | = 0
имеет три решения?
Указание. Привести уравнение к виду x2 = – a | x – 2 |.
Ответ: при a<–8.
7. При каких значениях параметра a уравнение
ax2 + | x + 1 | = 0
имеет три решения?
Указание. Воспользоваться задачей 5. Данное уравнение имеет три решения только в том
случае, когда уравнение ax2 + x + 1 = 0 имеет одно решение, причем случай a = 0 не
удовлетворяет условию задачи, то есть остается случай, когда
Ответ:
8. Сколько корней имеет уравнение
x|x–2|=1–a
в зависимости от параметра a?
Указание. Привести уравнение к виду –x |x – 2| + 1 = a. Построить графики функций y = –
x | x – 2 | + 1 и y = a. Отметим, что
Ответ: если a<0, a>1, то один корень; если a=0, a=1, то два корня; если 0<a<1, то три
корня.
9. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от параметра a?
Указание. Построить графики правой и левой частей данного уравнения.
Для построения графика функции
выражений x + 1 и x:
найдем промежутки знакопостоянства
Ответ: если a= 0, то один корень; если – 1 < a < 0, то два корня; если a = – 1, a<–2, то три
корня; если – 2<a<–1, то четыре корня.
10. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от параметра a?
Указание. Построить графики левой и правой частей данного уравнения.
Ответ: если a<0, a>2, то два корня; если 0<a<2, то один корень.
Итоговая
работа.
№1. Постройте график функции
у= 1,5х - 3, если х< 2,
- 1,5 х + 3, если 2 ≤ х ≤3
3х – 10,5, если х >3
и определите, при каких
значениях m прямая у= m имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ : -1,5; 0
|х+2 |−3
№ 2. Постройте график функции у = 𝑥 2 +4х−3|х+2 |+ 4 и найдите все значения k≠ 0 при
которых прямая у = kх либо не пересекает этот график, либо имеет четное число общих
точек с этим графиком.
1
Ответ: -1; -15 ;
1
3
№ 3. Постройте график функции у = |х - 1 | - | х + 2 | и определите при каких значениях b
прямая у = - х + b имеет с графиком функции не менее 2 общих точек.
Ответ: [-2; 1]
Дополнительный материал (в отдельном файле):
1. Справочные таблицы по основным преобразованиям графиков функций;
2. Презентации по функционально-графическому способу решения основных задач.
Литература
1. Дятлов В.Н., Материалы дистанционного курса «Как научить решать задачи с
параметрами»: лекции 1-4 и 5-8.-М.: Педагогический университет «Первое сентября»,
2014.
2. Ященко И.В.и др. « Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий. 2015»
3. Мальцева Д.А. и др. «Математика 9 класс. ГИА 2015.
2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. М.: Илекса,
Харьков: Гимназия, 1998.
3. Домбровская Т.В. Задания с параметром. Томск: ТОИПКРО.
4. Домбровская Т.В. Учебно-методический сборник тестовых заданий по алгебре, 9
класс. Томск: ТОИПКРО, 2005.
5. Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б. Сборник заданий для
проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9 класс. М.:
Дрофа, 2002.
6. Лаппо Л.Д., Попов М.А. ЕГЭ. 9 класс. Экспериментальная экзаменационная работа.
Типовые тестовые задания. М.: Издательство «Экзамен», 2006.
7. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учебник для
7,8,9 кл. общеобразоват. Учреждений. М.: Просвещение, 2004.
8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 кл.
М.: Просвещение, 1997.
9. Фальке Л.Я., Лисничук Н.Н., Крыжановская Е.Н. и др. Изучение сложных тем курса
алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике. М.:
Народное образование; Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2005.
10. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике. М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.
11. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М.: Просвещение, 1986.
11. Материалы из Интернета.