zdachi_na_procenti.

Задачи на проценты
Что нужно знать?
1. Выражение
a
• 100
b
показывает, сколько процентов число а
составляет от числа b.
2. Выражение
a -b
• 100
b
показывает, на сколько процентов число а
больше числа b.
3. Выражение
a -b
• 100
a
показывает, на сколько процентов число b
меньше числа a.
4. Чтобы найти процент от числа нужно это число умножить
на количество процентов, умноженное на 0,01.
5. Чтобы найти число по его процентам нужно это число
разделить на количество процентов, умноженное на 0,01.
6. 1% – это 1/100 часть чего-либо. Информация о том, что товар подешевел,
например, на 10% нам ничего не говорит о стоимости товара, потому что
нам надо знать, от какого числа мы берем эти 10%
7. При сравнении двух чисел за 100% мы всегда берем то, с чем сравниваем.
Например, если известно, что число А больше числа В на 30%, значит,
число В мы принимаем за 100%, и число А тогда будет 130% от В:
130
А= 100 В=1,3В
8. Если мы хотим увеличить число А на Р%, то мы к числу А прибавляем
Р
от А и получаем:
100
А+0,01РА=А(1+0,01Р)
9. Если мы хотим уменьшить число А на Р%, то мы из числа А вычитаем
Р от А и получаем:
100
А-0,01РА=А(1-0,01Р)
3
Практические советы.
1. Очень тщательно изучи, от чего нужно считать проценты.
Если об этом не сказано прямо, то обязательно подразумевается.
2. Закончив решать задачу, прочти её ещё раз. Вполне возможно,
ты нашел промежуточный ответ, а не окончательный.
Внимательно читай задачу.
(№ 99565)
В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В
2009 году, в результате строительства новых домов, число
жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению
с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010
году?
Внимательно прочитывая условие решаем по действиям:
1) 40000  0,08  3200( жит.) - выросло в 2009-м г.
2) 40000  3200  43200( жит.) - стало в 2009-м г.
3) 43200  0,09  3888( жит.) - выросло в 2010-м г.
4) 43200  3888  47088( жит.) - стало в 2010-м г.
Ответ:
4 7 0 8 8
(№ 99566)
В понедельник акции компании подорожали на некоторое
количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое
количество процентов. В результате они стали стоить на 4%
дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько
процентов подорожали акции компании в понедельник?
Решим задачу уравнением:
Пусть х руб. стоили акции в понедельник; на у % они дорожали
и дешевели.
Переведем условие задачи на математический язык:
Пн: подорожали на 0,01yx руб. и стали стоить
(х+0,01ух)=х(1+0,01у) руб.
Вт: подешевели на то же самое число процентов. Умножим
стоимость акций на (1-0.01у) и получим
х(1+0.01у)(1-0,01у) руб.
(№ 99566)
В понедельник акции компании подорожали на некоторое
количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое
количество процентов. В результате они стали стоить на 4%
дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько
процентов подорожали акции компании в понедельник?
Так как результате акции стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии
торгов в понедельник, значит их стоимость составила 96% от
первоначальной стоимости, то есть 0,96х. Приравняем эти величины:
х(1+0.01у)(1-0,01у)=0,96х
Разделим обе части на х:
(1+0.01у)(1-0,01у)=0,96
Применим формулу разности квадратов:
1-0,0001у²=0,96
0,0001у²=0,04
0,01у=0,2
У=20
Ответ:
2 0
(№ 99566)
В понедельник акции компании подорожали на некоторое
количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое
количество процентов. В результате они стали стоить на 4%
дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько
процентов подорожали акции компании в понедельник?
Решим задачу уравнением:
Стоимость акций в понедельник примем за 1; на у % они дорожали
и дешевели.
Переведем условие задачи на математический язык:
Пн: подорожали на 0,01y руб. и стали стоить
(1+0,01у) руб.
Вт: подешевели на то же самое число процентов. Умножим
стоимость акций на (1-0.01у) и получим
(1+0.01у)(1-0,01у) руб.
(№ 99566)
В понедельник акции компании подорожали на некоторое
количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое
количество процентов. В результате они стали стоить на 4%
дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько
процентов подорожали акции компании в понедельник?
Так как результате акции стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии
торгов в понедельник, значит их стоимость составила 96% от
первоначальной стоимости, то есть 0,96. Приравняем эти величины:
(1+0.01у)(1-0,01у)=0,96
Применим формулу разности квадратов:
1-0,0001у²=0,96
0,0001у²=0,04
0,01у=0,2
У=20
Ответ:
2 0
(№ 99567)
Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько
процентов пять рубашек дороже куртки?
Пусть х руб. стоит рубашка; у руб. стоит куртка.
Используем 3-е правило:
y - 4x
• 100 = 8
y
Нужно ответить на вопрос:
5х - у
 100  ?
y
Из первого уравнения выразим либо х, либо у и подставим во второе
выражение:
3
 5 х  23 
1

100

 100  15


20
 100х

100х
у
23
Ответ:
1 5
(№ 99567)
Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько
процентов пять рубашек дороже куртки?
Пусть 4a - стоимость 4-х рубашек
4a <
b - стоимость куртки
на 8%, т.е. составляет 0,92 части от
b
4a = 0,92 b :4
a = 0,23 b
Найдем процентное отношение стоимости 5 рубашек к стоимости куртки
5a
5  0,23 b
100% 
100%  5  0,23 100% 
b
b
 5  23  115% 5 рубашек дороже куртки 15%
Ответ:
1 5
(№ 99568)
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы
зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы
на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий
доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего
дохода семьи составляет зарплата жены?
Пусть p руб. – доход мужа; m руб. – доход жены; d руб. – доход дочери,
Тогда общий доход – (p+m+d) руб.
Внимательно читаем первое условие, используя 3-е правило,
переводим его на математический язык:
(2p + m + d) - (p + m + d)
p
• 100 =
• 100 = 67
p+m+d
p+m+d
Внимательно читаем второе условие, используя 3-е правило,
переводим его на математический язык:
1
2
(p + m + d) - (p + m + d)
d
3 • 100 =
3
• 100 = 4
p+m+d
p+m+d
(№ 99568)
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы
зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы
на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое,
общийдоход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от
общего дохода семьи составляет зарплата жены?
2
d
3
• 100 = 4
p+m+d
p
• 100 = 67
p+m+d
Таким образом имеем два уравнения. Разделим второе на
с первым:
2
3
и сложим
p
• 100 = 67 Смотри 1-е правило и переведи с математического
p+m+d
языка на обычный:
+
d
• 100 = 6 73% составляет доход мужа и дочери от дохода семьи.
p+m+d
p+d
• 100 = 73
p+m+d
Маме остается.... 100%-73%=27%
Ответ:
2 7
(№ 99568)
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы
зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на
51%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход
семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода
семьи составляет зарплата жены?
Обозначения
x — количество денег, которое каждый месяц приносит в бюджет муж
y — количество денег, которое каждый месяц приносит в бюджет жена
z — количество денег, которое каждый месяц приносит в бюджет дочь
D — общий ежемесячный доход семьи
Переписывая условие задачи с новыми обозначениями, получаем:
x+y+z=D
2x+y+z=1,51⋅D
x+y+0,5z=0,97⋅D
Вычитая из первого уравнения третье, получаем
0,5z=0,03⋅D ⇔ z=0.03/0,5⋅D=0,06⋅D
. Таким образом, доход дочери составляет 6% от общего
дохода семьи
14
.
(№ 99568)
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы
зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на
51%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход
семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода
семьи составляет зарплата жены?
Вычитая из второго уравнения первое, получаем x=0.51⋅D
Получается, что доход мужа составляет 51% от общего дохода
семьи.
Подставляем полученные данные в первое уравнение системы:
0.51⋅D+y+0.06⋅D=D.
Откуда y=0.43⋅D
Следовательно, доход жены составляет 43%
от общего семейного дохода
Ответ:
4 3
15
(№ 99568)
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы
зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на
51%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход
семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода
семьи составляет зарплата жены?
1) Прочитав первое условие, понимаем, что если доход мужа увеличился
вдвое, то он увеличился на размер зарплаты. То есть, получается, что
доход мужа составляет 51% от общего дохода семьи.
2) Второе условие говорит о том, что стипендия дочери уменьшилась
вдвое, то есть на 0,5 от первоначальной. Следовательно:
0,03:0,5=0,06=6%- составляет стипендия дочери от общего дохода семьи.
3) Следовательно, доход жены составляет:
100%-51%-6%= 43% от общего семейного дохода
Ответ:
4 3
16
(№ 99570) Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным
капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон —
42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть
капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную
прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая
сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в
рублях.
В задаче достаточно данных, чтобы решить ее по действиям:
1) 0,12=12% (от уст. капитала) внес Гоша.
2) Используя первое правило узнаем сколько % внес Антон:
42000
• 100 = 21% (уставного капитала) внес Антон.
200000
3) 100-(12+14+21)=53% (уставного капитала) внес Борис.
4) Значит Борис должен получить 53% от прибыли.
Используем 4-е правило:
1000000  0,53  530000( руб.)
Ответ:
5 3 0 0 0 0