Методическая разработка учителя математики МОУ «СОШ № 14

Методическая разработка учителя математики МОУ «СОШ № 14» г. Чебоксары
Пузариной В.С. по теме «Преобразование графиков функций»
Введение
1. Преобразование графиков функций
1.1. Построение графика функции y=f(x)+n
1.2. Построение графика функции y=f(x-m)
1.3. Построение графика функции y=af(x)
1.4. Построение графика функции y=f(kx)
1.5. Упражнения
Построение графика функции y= -f(x)
Построение графика функции y=f(-x)
1.6. Построение графика функции y=|f(x)|
1.7. Построение графика функции y=f(|x|)
1.8. Упражнения
2. Решение уравнений с помощью графиков
Контрольная работа
Литература
1
Введение.
Разработка посвящена основным приёмам построения графиков на примерах
простейших функций. Она предназначена для учащихся 8 класса. Основной учебник, по
которому они занимаются, «Алгебра»- учебник для 8 класса общеобразовательных
учреждений. Авторы: Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др. Главная задача: выполнять
построения с помощью преобразования «опорных» графиков. В 8 классе учащиеся ещё
не знакомы с понятиями «вектор», «параллельный перенос», «чётная, нечётная
функция», поэтому материал излагается в упрощённом виде. Чем раньше учащиеся
начнут применять основные приёмы преобразования, тем легче им будет в старших
классах, когда надо будет решать уравнения и неравенства с модулями, параметрами,
где графический способ упрощает решение.
Учащиеся 8 класса знакомы с графиками функций вида у = кх, у = кх + в,
у = √х,
у = к/х , у = ах2+вх+с, знают на что влияют числовые коэффициенты и свободные
члены. Настало время обратить их внимание на общие закономерности, связанные с
преобразованием графиков функций любого вида, независимо оттого встречались они с
ними или нет. Таким образом, они должны научиться выполнять преобразования с
произвольным графиком функции, даже если неизвестна формула, с помощью которой
задана функция.
Учащиеся знают, что уравнение квадратичной функции у=ах2+вх+с можно
представить в виде у=а(х-m)2+n, где (m;n)-координаты вершины параболы, которая
является графиком квадратичной функции. Им известно, что парабола вида у=ах 2+n
получается сдвигом параболы у=ах2 вдоль оси Оу на n единиц вверх при n>0 и вниз при
n<0. Поэтому
преобразование y=f(x)+n просто надо применять к графику любой другой
функции. Аналогичная ситуация связана с преобразованием y=f(x-m). А преобразование
y=f(x-m)+n – это комбинация двух предыдущих. Более подробно будут
рассматриваться преобразования: y= -f(x), y=f(-x), y=af(x), y=f(kx), y=|f(x)|, y=f(|x|) и их
комбинации.
2
1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
1.1.Построение графика функции y=f(x)+n
Пусть нам известен вид графика функции y=f(x) и надо построить график функции
y=f(x)+n. Значения у для второй функции на n больше при n>0 и на n меньше при n<0, это
значит, что график в первом случае выше, а во втором ниже, опорного графика f(x).
График функции y=f(x)+n получается из графика y=f(x) сдвигом вдоль оси Оу на n
единиц. Направление сдвига определяется знаком числа n (при n>0 график сдвигается вверх,
при n<0 – вниз).
На рис.1 изображены графики функций y  x , y  x +3, y  x -2.
На рис.2: y=f(x), y=f(x)-10
Рис.1
1.2.
Рис.2
Построение графика функции y=f(x-m).
Ранее неоднократно строились графики квадратичной функции вида y=a(x-m)2 и не раз
убеждались в том, что происходит сдвиг параболы y=ax2 вдоль оси Ох вправо при m>0 и влево
при m<0. Это преобразование справедливо и для графика любой другой функции.
На рис.3 графики функций: y  x , y  x  4 , y  x  3 .
На рис.4 : у = -х3, у = -(х-4)3, у = -(х+3)3.
График функции y=f(x-m) получается из графика функции y=f(x) сдвигом вдоль оси Ох
вправо при m>0 и влево при m<0.
1.3.
Построение графика функции y=af(x).
Пусть надо построить график функции y=af(x), и пусть для определенности а=2. Это
означает, что значения у функции, которую надо построить в 2 раза больше значений у опорной
3
функции для у>0 и в 2 раза меньше для у <0. И в том и другом случае происходит растяжение
графика вдоль оси Оу. В случае, когда |а|<1, происходит сжатие.
На рис.5 изображены графики функций: y  x , y  2 x , y 
На рис.6 : y=f(x), y 
1
x.
3
1
f(x), y=2f(x).
3
.
Рис.3
.
Рис.4
Рис.5
Рис.6
4
График функции y=af(x) получается из графика функции y=f(x) растяжением в а раз по
оси Оу ( в случае |а|<1получается сжатие).
1.4.Построение графика функции y=f(kx).
В одной и той же системе координат построим графики функций:
1) y 
4
4
4
, 2) y 
, 3) y 
(рис.7)
1
x 1
2x  1
x 1
3
Рис.7
Заметим: в случае графика 2) происходит сжатие графика 1) в 2 раза, а в случае
графика 3) – растяжение графика 1) в 3 раза вдоль оси Ох.
Для построения графика функции y=f(kx) надо подвергнуть график функции y=f(x)
сжатию вдоль оси Ох, если |k|>1, и растяжению в 1/|k| раз, если |k|<1.
1
В нашем случае: 1) y=f(x), 2) y=f(2x), 3) у  f ( x) .
3
.
5
1.5. Упражнения.
1. Используя график функции у=х2, построить графики функций:
a. у =х2-1
b. у =(х+1)2
c. у =(х-3)2+2
d. у = х2+4х
2. Используя график функции y  x , постройте график функции:
a.
y
x 1
b. y  x -2
y  x  3 +1
c.
3
Используя график функции y 
a.
1
, постройте график функции:
x
y
b. y 
3
x3
4
1
x2
y
x2
x 1
d. y 
x 1
x2
y
2x  1
x2
c.
e.
1.6. Построение графика функции y = -f(x).
Значения у для функций y=f(x) и y= -f(x) противоположны, значит, графики этих
функций симметричны относительны оси Ох.
На рис.8 изображены графики : у = х2 и у = -х2,
На рис.9: y=f(x) и y= -f(x).
6
Итак, чтобы построить график функции y = - f(x), надо график функции y=f(x)
симметрично отобразить относительно оси Ох.
Рис.8
Рис.9
1.7. Построение графика функции y=f(-x).
На рис.10 изображены графики функций: y  x и y   x , а на рис.11 – графики
функций y  ( x  1) 2 и y = (-х-1)2, графики этих функций симметричны относительно оси Оу.
Для того, чтобы построить график функции y=f(-x), надо график функции y = f(x)
симметрично отобразить относительно Оу.
Рис.10
Рис.11
7
1.8. Построение графика функции y = |f(x)|.
 f ( x), f ( x)  0,
|f(x)|= 
поэтому значения у<0 функции y=f(x) поменяют знак, графически
 f ( x), f ( x)  0
это означает, что эта часть графика симметрично отобразится относительно оси Ох.
Чтобы из графика y=f(x) получить график y=|f(x)|, надо участки графика y=f(x), лежащие
выше оси Ох, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси Ох, симметрично отобразить
относительно этой оси.
На рис.12 показаны графики y=2(x-3)2-5 и y=|2(x-3)2-5|
Рис.12
1.9. Построение графика функции y=f(|x|).
|х| = |-х|, то есть модули противоположных чисел равны, а это означает ,что
противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции,
графически это выражается симметрией графика относительно осиОу.
Чтобы построить график функции y=f(|x|), надо оставить часть графика y=f(x),
построенную при х≥0, и симметрично отобразить относительно оси ординат.
8
Это можно увидать на рис.13.
Рис.13
1.10. Упражнения
1. Используя график функции у=х2, постройте график функции:
1) y=4-x2
2) y=-(x-2)2
3) -3-(x+2)2
4) Y=2x-x2
5) y=|x2-1|
6) y=(|x|-1)2
7) y=|(x-1)2-4|
8) y=x2-2|x|
2. Используя график линейной функции, постройте график функции:
1) y=|x|
2) y=|x-1|
3) y=|x|-1
4) y=|x-1|-2
5) y=1-|x|
6) u=||x-2|-3|
7) |||x|-1|-2|
9
2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ.
Пусть нам надо решить уравнение 2  x  1 =|x+1|. Аналитический способ решения
может вызвать затруднения. Поэтому решим его графически, абсциссы точек пересечения
графиков дадут решение.
Видим, что графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два решения:
х=0, х=8.
Упражнения.
Решить графически уравнения:
1) –x2=  x
x2 
2
x 1
3) ( x  1)2 
1
x 1
2)
4) |x2-1|=x+1
5) (x-3)2=4-|x-5|
6) 3  x  1 
3
x2
7) |1-|x||= x  1
8)
x 1  1 x
9) |3-|x2-1||=x+2
10
Контрольная работа.
1. Пусть дана функция f(x)=x2+2x, постройте графики функций:
1) y=f(x)+1
2) y=|f(x)-1|
3) y=f(x+1)
4) y 
1
f ( x)
2
5) y=f(-x)
6) y= -f(x)
7) y=|f(x)|
8) y=1-f(x)
9) y=|f(x)|-1
10) y=2f(x-1)
11) y=f(|x|)
12) y=|f(|x|)|
2 Решить графически уравнение: (x-1)2=
1
x 1
(ответ: х=0, х=2)
Литература
1.И.М.Гельфанд, Е.Г.Глаголева, Э.Э.Шноль.
Брошюра «Функции и графики».
«Наука», Москва, 1973г.
2 Журнал «Квантор», №4, Львов, 1993г.
3.М.И.Башмаков «Математика» - учебник для ПТУ, «Высшая школа», Москва,
1994г.
4.А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.
«Алгебра и начала анализа» - учебник для 10-11 классов общеобразовательных школ.
«Просвещение», Москва.
5. Мочалов В.В. Лекции для учителей математики на курсах повышения квалификации
Чувашской Республики. Чебоксары, 2009г.
11
12