РП 050100.62 (44.03.05) (ПО,МИ) Б3.В3 Алгебра

1
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный педагогический университет
имени Козьмы Минина»
Факультет естественных, математических и компьютерных наук
Кафедра математики и математического образования
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебнометодической деятельности
__________Г. А. Папуткова
«__» _______20____г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Б3.В.3. АЛГЕБРА
Направление
подготовки:
050100.62(44.03.05)
образование»
Профиль подготовки: Математика и информатика
Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр
Форма обучения: очная, 5 лет
Н. Новгород
2014 г.
«Педагогическое
2
Рабочая программа составлена на основе:
1.
Федерального государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования по направлению 050100 «Педагогическое
образование», утвержденного «17» января 2011 г., №46
2.
Учебного
плана
по
направлению
050100.62
(44.03.05)
«Педагогическое образование»,
профилю подготовки «Математика и
информатика», утвержденного «26» апреля 2012г.
Рабочая программа по дисциплине «Алгебра» принята на заседании
кафедры «Математики и математического образования», протокол № 2 от
«30» сентября 2014г.
Разработчики:
доцент Н.М. Агафонова
профессор В.А. Глуздов
доцент В.И. Грачева
СОГЛАСОВАНО
Зав. кафедрой математики и математического образования
_________________/Г.Л. Барбашова/
«____»_______________20__г.
СОГЛАСОВАНО
Директор библиотеки
_________________/ О.В. Парунова /
«____»_______________20__г.
3
1.
Цели и задачи дисциплины
- Целями освоения дисциплины «Алгебра» являются: формирование
систематизированных знаний в области алгебры; обращение алгебраических
теорий и практик в инструмент исследования: 1. других разделов математики
- прежде всего геометрии; 2. школьных математических текстов.
Задачи дисциплины: освоить базовые элементы алгебры как науки:
- предмет алгебры: основные алгебраические структуры и
конструкции, такие как группы, кольца, поля, векторные пространства,
системы линейных уравнений числовые системы;
- методы алгебры: выделение типов алгебраических структур,
подструктур; методы линейной алгебры, решения систем линейных
уравнений, исследования числовых систем;
- теории алгебры: теория векторных пространств; теория групп;
теория колец; теория многочленов и алгебраических уравнений;
- праксиология алгебры: обращение алгебраических теорий и
практик в инструменты исследования числовых систем, геометрических
теорий (пространства, геометрические задачи на построения, пр.), школьных
математических текстов (числовые системы, решение уравнений и их систем,
пр.)
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Цикл, к которому относится дисциплина: профессиональный.
Дисциплины, на которых базируется данная дисциплина: «Введение в
математику».
Дисциплины,
для
которых
данная
дисциплина
является
предшествующей: «Геометрия», «Теория чисел», «Числовые системы»,
«Теория функций комплексного переменного», «Компьютерная алгебра».
3. Требования к результатам освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование
следующих компетенций или их составляющих:
ОК-1 - владением культурой мышления, способностью к обобщению,
анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её
достижения;
ПК-5 - способностью использовать возможности образовательной
среды для формирования универсальных видов учебной деятельности и
обеспечения качества учебно-воспитательного процесса.
В результате освоения данной дисциплины (модуля) студент должен:
Знать: базовые категории теории векторных пространств, систем
линейных уравнений, групп, колец и полей, типы колец; классификацию
числовых систем на базе групповых, кольцевых критериев;
Уметь: использовать базовые понятия и основные факты теории
векторных пространств, матриц, определителей, систем
линейных
уравнений, теории групп, колец и теории многочленов при изучении
4
различных разделов математики и в процессе решения конкретных задач, в
том числе и задач школьной математики;
Владеть навыками: решения типовых задач теории групп и колец,
анализа школьных задач из области натуральных чисел средствами теории
групп и колец.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Общая трудоемкость
дисциплины
Аудиторные занятия,
(в т.ч. занятия в активной
и интерактивной формах)
Лекции
Практические занятия,
Семинары
Самостоятельная работа
Вид итогового контроля
Всего
зач.ед.
10
Всего Семестр Семестр Семестр
часов
1
2
3
360
180
72
108
Экзамен
144
17
72
4
36
4
36
9
72
72
36
36
18
18
18
18
144
72
72
Экзамен
(36)
36
Зачет
36
Экзамен
(36)
5. Содержание дисциплины
5.1. Тематический план
Раздел дисциплины
Раздел 1.Арифметическое
векторное пространство – базовое
содержание
Раздел 2. Матрицы, определители,
системы линейных уравнений –
базовое содержание
Раздел 3. Основные
алгебраические структуры –
базовое содержание
Раздел 4. Многочлены от
одной переменной – базовое
содержание
Раздел 5. Группы. Кольца –
Количество часов
Практи Самосто
Лекции ческие ятельная
занятия работа
Итого по
разделам
дисциплин
ы
12
12
18
42
24
24
36
84
10
10
30
50
8
8
24
40
12
12
24
48
5
общая теория
Раздел 6. Типы колец базовое содержание
Экзамен
Итого:
6
72
6
72
12
24
144
72
360
5.2. Содержание разделов дисциплины
Раздел 1.Арифметическое векторное пространство.
Определители второго и третьего порядков, правила их вычисления.
Методы решения систем двух и трех линейных уравнений. Правило Крамера.
Основные числовые множества. Понятие числового поля.
Арифметические векторы, сложение векторов и умножение вектора на число.
Арифметическое векторное пространство. Линейно зависимая и линейно
независимая системы векторов, их свойства..
Подпространство векторного пространства. Базис и ранг системы
векторов. Координаты вектора в данном базисе, их свойства. Скалярное
произведение векторов, длина вектора, ортогональные векторы.
Раздел 2. Матрицы, определители, системы линейных уравнений.
Понятие о прямоугольной матрице данного порядка. Транспонирование
матрицы. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц; алгоритм
вычисления ранга матрицы.
Квадратные матрицы, их виды. Обратимые матрицы, их свойства.
Нахождение обратной матрицы с использованием элементарных
преобразований.
Понятие о системе линейных уравнений, её решении. Совместные,
несовместные, определённые и неопределённые системы линейных
уравнений. Критерии совместности систем. Критерий определенности
совместной системы.
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений. Однородная
система линейных уравнений, нахождение её фундаментальной системы
решений.
Подстановка порядка n, нахождение её знака. Понятие об определителе
порядка n. Определитель треугольной матрицы.
Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения
элементов матрицы. Разложение определителя по строке. Вычисление
обратной матрицы с помощью определителей.
Раздел 3. Основные алгебраические структуры.
Понятие и свойства алгебраической бинарной операции, заданной на
множестве. Нейтральный и симметричный элементы, их единственность.
Алгебраические структуры с одной бинарной операцией.
Группы и их свойства. Полная линейная группа. Группа классов
вычетов по натуральному модулю. Подгруппа. Критерий подгруппы.
Дистрибутивность одной алгебраической операции относительно
6
другой. Кольца и их свойства. Кольцо классов вычетов по натуральному
модулю.
Мультипликативная группа кольца. Делители нуля в кольце. Область
целостности. Подкольцо.
Поля и их свойства. Поле комплексных чисел. Поле классов вычетов по
простому модулю. Подполе. Критерий подполя.
Раздел 4. Многочлены от одной переменной.
Построение кольца многочленов от одной переменной. Деление
многочлена на линейный двучлен. Теорема Безу.
Схема Горнера и её приложения. Евклидово деление многочленов,
нахождение НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида.
Взаимно простые многочлены. Неприводимые над полем многочлены.
Неприводимость многочленов над полем комплексных чисел.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
Отделение корней целочисленных многочленов.
Раздел 5. Группы. Кольца.
Группа, подгруппа, их свойства, примеры. Эквивалентности на группе,
порождённые подгруппой. Классы смежности, левое и правое разложения
группы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
Нормальный делитель группы, критерий нормального делителя.
Факторгруппы, гомоморфизмы, изоморфизмы групп.
Образ и ядро гомоморфизма групп. Критерий изоморфизма групп.
Кольца, подкольца, простейшие свойства, примеры. Определение
идеала кольца, примеры и простейшие свойства идеалов кольца. Главные
идеалы.
Факторкольца. Кольцо вычетов целых чисел по натуральному
модулю. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Образ и ядро
гомоморфизма, критерий изоморфизма.
Делимость элементов кольца, делимость и главные идеалы. Делители
нуля кольца, целостные кольца; характеристика кольца.
Раздел 6. Типы колец.
НОД и НОК элементов целостного кольца. Простые и составные
элементы целостного кольца. Факториальные кольца. Каноническая запись
элемента факториального кольца. Способы нахождения НОД и НОК
элементов факториального кольца.
Кольца главных идеалов. НОД и НОК элементов в кольце главных
идеалов. Факториальность кольца главных идеалов.
Евклидовы кольца, примеры и свойства. Евклидово деление, его
свойства. Евклидово кольцо как кольцо главных идеалов. Алгоритм Евклида.
5.3. Разделы дисциплины и связь с формируемыми компетенциями
Наименование компетенций
№ разделов дисциплины, участвующих в
формировании компетенций
7
1
ОК-1
ПК-5
+
+
2
+
+
3
+
+
4
+
+
5
+
+
6
+
+
6. Образовательные технологии
6.1. Темы занятий в активной и интерактивной формах
1.Арифметическое векторное пространство. Линейно зависимая и
линейно независимая системы векторов, их свойства. – 2 ч.
2.Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Однородная
система линейных уравнений, нахождение её фундаментальной системы
решений. – 2 ч.
3.Дистрибутивность одной алгебраической операции относительно
другой. Кольца и их свойства. Кольцо классов вычетов по натуральному
модулю.- 2 ч.
4.Построение кольца многочленов от одной переменной. Деление
многочлена на линейный двучлен. Теорема Безу.- 2 ч.
5.Примеры групп; эквивалентности на группе и классы смежности;
теорема Лагранжа; факторгруппы. – 3 ч.
6.Примеры колец, числовые кольца; факторкольца; кольцо вычетов
целых чисел по натуральному модулю. – 3 ч.
7.НОД и НОК элементов в факториальном кольце; Кольцо целых чисел
как кольцо главных идеалов и евклидово кольцо; алгоритм Евклида. – 3 ч.
7.
Учебно-методическое
и
информационное
обеспечение
дисциплины
7.1. Основная литература:
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 18 изд. Стереотип. –
0,85
СПб.: Издательство «Лань», 2011 (2004,1968, 1971, 1975).
рекомендовано
7.2. Дополнительная литература:
1. Винберг Э. Б. Курс алгебры.- М.: Издательство «Факториал
Пресс», 2002. – 544 с.
2.
Алгебраические структуры с одной и двумя бинарными
операциями/ Н.М. Агафонова,
Т.А. Береговая,
В.А. Глуздов,
В.И. Грачева. –Н.Новгород: НГПУ, 2005. – 98 с.
гриф УМО
7.3. Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:
www.biblioclub.ru ЭБС «Университетская библиотека онлайн»
8
www.elibrary.ru
Научная электронная библиотека
www.ebiblioteka.ru Универсальные базы данных изданий
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Учебные аудитории университета с мультимедийным оборудованием.
9. Контроль и оценка результатов освоения дисциплины (модуля)
Контроль и оценка результатов освоения дисциплины осуществляется
преподавателем в процессе проведения практических занятий, контрольных
работ, тестирования, выполнения обучающимися индивидуальных заданий.
Формируемые компетенции и используемые оценочные средства
Наименование
компетенции
Показатель оценки
сформированности
компетенции
№ разделов дисциплины,
участвующих в формировании
компетенций
1
2
3
4
5
6
ОК-1- владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, к
восприятию информации, к постановке цели и выбору путей её достижения
Выполнение типовых Выпол Выпо Выпол Вы Выпол
Знает:
Базовые
заданий
в нение
лнен нение пол нение
понятия
и аудиторных
и типовы ие
типов нен типов
классы
домашних работах;
х
типов ых
ие
ых
основных
Выполнение
задани ых
задани тип задани
задач теории проверочных работ, в й
в задан й
в овы й
в
арифметическ том
числе
и аудито ий в аудито х
аудито
их векторных тестовых.
рных и аудит рных
зад рных и
пространств,
домаш орны и
ани домаш
матриц,
них
х
и домаш й в них
определителе
работа дома них
ауд работа
й,
систем
х;
шних работа ито х;
линейных
Выпол работ х;
рны Выпол
уравнений,
нение
ах;
Выпол х и нение
основных
провер Выпо нение дом провер
алгебраическ
очных лнен провер ашн очных
их структур,
работ, ие
очных их работ,
теории
в том прове работ, раб в том
многочленов
числе и рочн в том ота числе
от
одной
тестов ых
числе х;
и
переменной,
ых.
работ и
Вы тестов
классических
,
в тестов пол ых.
9
теорий групп
и колец.
Умеет:
Применять
классические
алгебраическ
ие методы в
решении
основных
типов задач, в
том числе и
задач,
отражающих
вопросы
школьного
курса
математики.
Владеет:
Методами
доказательств
теорем,
решения
задач,
математическ
ой
версией
анализа
и
синтеза
оценки
изучаемых
алгебраическ
их фактов.
ПК-5 способность использовать возможности
формирования универсальных видов учебной
качества учебно - воспитательного процесса;
Выполнение
Выпол
Знает:
Структуру
индивидуальных
нение
содержания
заданий
с индиви
изучаемого
элементами
дуальн
материала
творческого
ых
(элементы,
исследования,
задани
связи,
включающих
й
с
ограничения).
материал
элемен
школьного курса тами
Умеет:
Работать
с математики.
творчес
математическим
кого
том
ых.
числе
и
тесто
вых.
нен
ие
про
вер
очн
ых
раб
от,
в
том
чис
ле и
тест
овы
х.
образовательной среды для
деятельности и обеспечения
Выпо
лнен
ие
инди
видуа
льны
х
задан
ий с
элеме
нтам
Выпол
нение
индив
идуаль
ных
задани
й
с
элеме
нтами
творче
ского
Вып
олн
ение
инд
иви
дуал
ьны
х
зада
ний
с
Выпол
нение
индив
идуал
ьных
задани
й
с
элеме
нтами
творче
ского
10
и текстами по
алгебре,
включать
в
математически –
алгебраический
контекст задачи
и
проблемы
контекста
школьной
математики.
Владеет:
Инструментами
приложения
теории
и
результатов
изучаемого
алгебраического
контекста
к
объектам
школьных
математических
текстов.
исслед
ования,
включа
ющих
матери
ал
школьн
ого
курса
матема
тики.
и
творч
еског
о
иссле
дован
ия,
вклю
чающ
их
матер
иал
школ
ьного
курса
мате
матик
и.
исслед
ования
,
включ
ающи
х
матер
иал
школь
ного
курса
матем
атики.
эле
мен
там
и
твор
ческ
ого
иссл
едов
ани
я,
вкл
юча
ющ
их
мате
риа
л
шко
льн
ого
курс
а
мате
мат
ики.
исслед
овани
я,
включ
ающи
х
матер
иал
школь
ного
курса
матем
атики.
Контрольные вопросы к экзамену (семестр 1)
1.Определители второго и третьего порядков, правила их вычисления.
Методы решения систем двух и трех линейных уравнений. Правило Крамера.
2.Основные числовые множества. Понятие числового поля. Арифметические
векторы, сложение векторов и умножение вектора на число.
3.Арифметическое векторное пространство. Линейно зависимая и линейно
независимая системы векторов, их свойства.
6.Понятие о прямоугольной матрице данного порядка. Транспонирование
матрицы.
7.Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.
8.Алгоритм вычисления ранга матрицы.
9.Квадратные матрицы, их виды. Обратимые матрицы, их свойства.
10.Нахождение обратной матрицы с использованием элементарных
преобразований.
11.Понятие о системе линейных уравнений, её решении. Совместные,
несовместные, определённые и неопределённые системы линейных
уравнений.
11
12.Критерии совместности систем. Критерий определенности совместной
системы.
15.Подстановка порядка n, нахождение её знака. Понятие об определителе
порядка n.
16.Определитель треугольной матрицы.
17.Свойства определителей.
18.Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложение
определителя по строке.
19. Вычисление обратной матрицы с помощью определителей.
Контрольные вопросы к экзамену (семестр 2)
1.Понятие и свойства алгебраической бинарной операции, заданной на
множестве. Нейтральный и симметричный элементы, их единственность.
2.Алгебраические структуры с одной бинарной операцией.
3.Группы и их свойства. Полная линейная группа.
4.Группа классов вычетов по натуральному модулю. Подгруппа. Критерий
подгруппы.
5.Дистрибутивность одной алгебраической операции относительно другой.
Кольца и их свойства.
6.Кольцо классов вычетов по натуральному модулю.
7.Мультипликативная группа кольца. Делители нуля в кольце. Область
целостности. Подкольцо.
8.Поля и их свойства. Поле комплексных чисел.
9.Поле классов вычетов по простому модулю. Подполе. Критерий подполя.
10.Построение кольца многочленов от одной переменной. Деление
многочлена на линейный двучлен. Теорема Безу.
11.Схема Горнера и её приложения.
12.Евклидово деление многочленов, нахождение НОД и НОК многочленов.
Алгоритм Евклида.
13.Взаимно простые многочлены. Неприводимые над полем многочлены.
14.Неприводимость многочленов над полем комплексных чисел.
15.Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
16.Отделение корней целочисленных многочленов.
Контрольные вопросы к экзамену (семестр3)
1.Группа, подгруппа, их свойства, примеры. Эквивалентности на группе,
порождённые подгруппой.
2.Классы смежности, левое и правое разложения группы по подгруппе.
Теорема Лагранжа.
3.Нормальный делитель группы, критерий нормального делителя.
Факторгруппы, гомоморфизмы, изоморфизмы групп.
4.Образ и ядро гомоморфизма групп. Критерий изоморфизма групп.
5.Кольца, подкольца, простейшие свойства, примеры.
6.Определение идеала кольца, примеры и простейшие свойства идеалов
12
кольца. Главные идеалы.
7.Факторкольца. Кольцо вычетов целых чисел по натуральному модулю.
8.Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Образ и ядро гомоморфизма,
критерий изоморфизма.
9.Делимость элементов кольца, делимость и главные идеалы.
10.Делители нуля кольца, целостные кольца; характеристика кольца.
11.НОД и НОК элементов целостного кольца. Простые и составные элементы
целостного кольца.
12.Факториальные кольца. Каноническая запись элемента факториального
кольца. Способы нахождения НОД и НОК элементов факториального кольца.
13.Кольца главных идеалов. НОД и НОК элементов в кольце главных
идеалов.
14.Факториальность кольца главных идеалов.
15.Евклидовы кольца, примеры и свойства. Евклидово деление, его свойства.
16.Евклидово кольцо как кольцо главных идеалов. Алгоритм Евклида.
Темы курсовых работ по дисциплине «Алгебра»
1. Основы теории Галуа;
2. Алгебры;
3. Основы тензорной алгебры. Внешняя алгебра;
4. Строение групп;
5. Элементы теории представлений групп;
6. Теория полей;
7. Идеалы в кольцах многочленов;
8. Groups, Subgroups, Normal subgroups;
9. Determinants;
10. Rings and Modules;
11. Field theory;
12. Квадратичные формы;
13. Простые и максимальные идеалы;
14. Операции над идеалами;
15. Результант и его применение к решению школьных задач;
16. Теорема Штурма;
17. Границы действительных корней многочлена.