Несобственный интеграл второго рода

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
2 семестр
Лекция 8
Несобственные интегралы на бесконечном
промежутке.
Несобственные интегралы от неограниченных
функций.
Признаки сходимости.
11 апреля 2014 года
Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Тищенко Мария Маратовна
1
Несобственные интегралы
Прежде чем переходить к понятию несобственного
интеграла, необходимо вспомнить определение интеграла
по Риману.
Интеграл по Риману
b
 f ( x)dx
a
(или собственный интеграл) предполагает, что
1. a, b - конечные числа,
2. f(x) – ограничена на [a;b] (необходимое условие
интегрируемости),
то есть область задачи ограничена отрезком [a;b] по оси
Ox и отрезком [m;M] по оси Oy, где m=Inf f(x), M=Sup f(x),
x∊[a;b].
2
Несобственные интегралы
b
 f ( x)dx
a
Пример определенного интеграла
1,2
M
1
0,8
y
0,6
0,4
0,2
a
-1,5
m
0
-1
-0,5
0
b
0,5
1
1,5
2
2,5
x
3
Несобственные интегралы
Если нарушается условие ограниченности по оси Ox, мы получаем
несобственный интеграл первого рода, он будет записываться
следующим образом


f ( x )dx
a
Если нарушается условие ограниченности по оси Oy , мы получаем
несобственный интеграл второго рода, он будет записан в виде
b
 f ( x)dx
a
но функция f(x) не ограничена в окрестности левого или правого
конца [a,b].
4
b
 f ( x)dx
Несобственные интегралы
a
§ 1. Несобственные интегралы первого рода
Определение № 1. Несобственным интегралом первого
рода называется интеграл вида


f ( x)dx (1)
a
где функция f(x) интегрируема (а, значит, и ограничена) на
каждом отрезке [a;b].
Несобственный интеграл первого рода называется
сходящимся, если существует конечное число I, называемое
пределом этого интеграла, равное
b
I  lim
b 
 f ( x)dx.
a
5
b
 f ( x)dx
Несобственные интегралы
a
Несобственный интеграл первого рода
a
 f ( x)dx.

называется сходящимся, если существует конечное число
I, называемое пределом этого интеграла, равное пределу
a
I  lim
c 
 f ( x)dx.
c
6
Несобственные интегралы
b
 f ( x)dx
a
Пример несобственного интеграла 1 рода
2,5
2
1,5
f(x)
F(x)
1
0,5
0
-2
0
2
f ( x) 
4
6
1
1  x2
7
Примеры
Пример 1. Сходится ли интеграл? Если сходится, то
найти значение интеграла.

1
1 1  x 2 dx
Решение. Найдем первообразную для подынтегральной
функции
1
 1  x 2 dx  arctgx  c
Теперь найдем предел интеграла с переменным верхним
пределом


1
dx
B

lim
(
arctgx

c
)
 lim  arctgB  c  
1
B 
x 2  1 B
( arctg ( 1)  c ) 


3
 ( ) 
2
4
4
Ответ: Интеграл сходится к числу 3π/4.
8
Примеры
Пример 2. Сходится ли интеграл? Если сходится, то найти
значение интеграла.

1

x 2
2
2
dx
Решение. Найдем первообразную для подынтегральной
функции

1
x2  2
dx  ln( x  x 2  2)  c
9
Примеры
Теперь найдем предел интеграла с переменным верхним
пределом


2
1
x 2
2



dx  lim ln( B  B 2  2)  c  ln(2  2 2  2)  c 
B 

 lim ln( B  B 2  2)  ln(2  6)  
B 
Ответ: Интеграл расходится, так как не существует
конечного предела ( функция lnB неограниченно
возрастает при B, стремящемся к плюс бесконечности).
10
Примеры
Пример 3. Сходится ли интеграл?


2
dx
x2  x  2
Если сходится, то найти значение интеграла.
Решение. Найдем первообразную для подынтегральной
функции
dx
(( x  2)  ( x  1))dx 1

 x2  x  2  3( x  2)( x  1)  3 (ln | x  1|  ln | x  2 |)  c
Теперь найдем предел интеграла с переменным верхним
пределом
11
Примеры


2



dx
1 | x  1|
 lim B  ln
c  
2
3 | x2|

x  x2
2 

 1 | B  1|
 1 | 2  1|
 lim B   ln
 c   ln
c 
3 | B2|  3 |22|
1
1 2
 (ln1  ln )  ln 2
3
4 3
Так как конечный предел существует, интеграл
сходится к числу
2
ln 2
3
12
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла 1 рода
Для сходимости несобственного интеграла


f ( x )dx
a
необходимо и достаточно, чтобы
  0 b  b( )  a : b  b, b  b 
b
 f ( x)dx  
b
Доказательство:
По определению несобственный интеграл (1) сходится тогда
и только тогда, когда существует конечный предел функции
R
при
F ( R)   f ( x )dx
a
R  
По критерию Коши существования конечного предела
функции необходимо и достаточно, чтобы
13
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
Иллюстрация к критерию Коши
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2
-1
0
1
b 2 b‫י‬
3 b‫יי‬
4
5
6
14
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
  0 b  b( )  a : b  b, b  b  F (b)  F (b)  
Подставим выражение для F( R ) и получим
  0 b  b( )  a : b  b, b  b 
b
 f ( x)dx  
b
Таким образом сходимость несобственного интеграла будет
тогда и только тогда, когда существует конечный предел
функции F( R ), что и дает условие Коши.
Как Вам кажется, из сходимости несобственного интеграла
1 рода следует ли, что подынтегральная функция
ограничена?
15
Несобственные интегралы
Замечание.
Рассмотрим b > a. Наряду с интегралом

 f ( x)dx,
a
можно рассматривать интеграл


f ( x )dx
b
Из сходимости одного интеграла вытекает сходимость другого
интеграла и имеет место следующее равенство.

b

f ( x )dx   f ( x )dx 
a
a


f ( x )dx
b
Расходимость одного из указанных интегралов влечет
расходимость другого.
16
Теорема 2
Признаки абсолютной сходимости для
несобственных интегралов 1 рода
Теорема 2. Общий признак сравнения для
несобственных интегралов 1 рода.
Пусть на полупрямой a < x <+∞ заданы две функции,
удовлетворяющие условию:
0  f ( x)  g ( x)
Тогда из сходимости интеграла
.
вытекает сходимость интеграла

 g ( x)dx
a


f ( x )dx
a
17
Теорема 2
и, наоборот, из расходимости интеграла


f ( x )dx
a
следует расходимость интеграла

 g ( x)dx
a
Доказательство: 1) Пусть интеграл

 g ( x)dx
a
сходится, тогда по критерию Коши
  0 b  b( )  a : b  b, b  b 
b
 g ( x)dx  
b
18
Теорема 2
Тогда из заданного в условии неравенства следует, что
b
b
b
b
 f ( x)dx   g ( x )dx
и для функции f(x) можно записать, что
  0 b  b( )  a : b  b, b  b 
b
 f ( x)dx  
b
То есть по критерию Коши интеграл

сходится.

f ( x )dx
a
19
Теорема 2
2) Пусть интеграл


f ( x )dx
a
расходится, тогда по критерию Коши
  0 b  a : b  b, b  b :
b
 f ( x)dx  
b
Тогда из заданного в условии неравенства следует, что
b
b
b
b
 f ( x )dx   g ( x )dx
и для функции g(x) можно записать, что
20
Теорема 2
b
  0 b  a : b  b, b  b :  g ( x)dx  
b
То есть по критерию Коши интеграл

 g ( x)dx
a
расходится.
21
Теорема 2
Общий признак сравнения
7
6
G(x)
5
F(x)
y
4
3
2
g(x)
1
f(x)
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
x
22
Теорема 2
Указанную теорему можно доказать другим способом, более
наглядным. Если
0  f ( x )  g ( x ), x  [a, )
то рассмотрим их интегралы с переменным
пределом
x
x
F ( x )   f (t )dt , G( x )   g (t )dt
a
верхним
a
Эти интегралы являются положительными монотонно
неубывающими функциями. Для неубывающих функций верна
теорема:
 lim F ( x)  R  F ( x)  ограничена
x 
23
Теорема 2
Если ограничена большая функция G(x), то ограничена
и меньшая F(x) , и значит из сходимости интеграла для g(x)
следует сходимость для f(x).
И, наоборот, из неограниченного возрастания меньшей
функции F(x) следует неограниченное возрастание
большей функции G(x), и значит из расходимости интеграла
для f(x) следует расходимость для g(x) .
Теорема доказана.
24
Примеры
Пример 4. При каких значениях параметра p несобственный
интеграл первого рода


a
1
dx, a  0
p
x
сходится?
Решение. Рассмотрим два случая.
1) p=1. В этом случае первообразная подынтегральной
функции
1
 x p dx  ln | x | c
При стремлении верхнего предела к бесконечности
25
Примеры
b
I  lim
b a
1
dx  lim(ln b  ln a )  lim(ln b)  ln a
p
x
b
b
предел равен бесконечности, то есть интеграл расходится.
2. p≠1. В этом случае первообразная подынтегральной
функции
1
x  p 1
1
p
dx

x
dx


c

c
p 1
 xp

( p  1)
(1  p) x
При стремлении верхнего предела к бесконечности предел
b
1
1
1
1
1
I  lim  p dx  lim (

)

lim
(
)

p 1
p 1
b x
b (1  p)b p 1
b  (1  p)b p 1
(
1

p
)
a
(
1

p
)
a
a
при p < 1 равен бесконечности, то есть интеграл расходится.
26
Примеры
Предел отношения
lim
b  
1
b p 1
равен нулю, если знаменатель возводим в положительную степень
(то есть p – 1 > 0, или p > 1 ), и равен бесконечности, если
возводим в отрицательную степень (то есть p – 1 < 0 , или p < 1 ).
Ответ. Если p > 1, то несобственный интеграл первого рода


a
1
dx, a  0
p
x
сходится. Если p ≤ 1, то несобственный интеграл первого рода
расходится.
27
Теорема 3
Теорема 3 (частный признак сравнения
для несобственных интегралов 1 рода.)
Пусть на полупрямой 0 < a < x <+∞ функция f(x)
удовлетворяет условию
c
| f ( x ) |
где c, p – постоянные,
p > 1,
xp
тогда интеграл


сходится абсолютно.
f ( x )dx
a
28
Теорема 3
Если существуют постоянные с > 0, p ≤ 1, такие что на
полупрямой 0 < a < x <+∞ функция f(x) удовлетворяет
условию
c
f ( x)  p
x
то интеграл


f ( x )dx
a
расходится.
29
Теорема 3
Доказательство следует из общего признака сравнения и
примера 4, необходимо положить
c
g ( x)  p
x
Следствие теоремы 3. Если функция f(x)
f ( x)
эквивалентна
c
при x  
p
x
то при p > 1, интеграл


f ( x )dx
a
сходится, а при p ≤ 1,
интеграл расходится.
30
Примеры
Пример № 2359. Сходится ли интеграл?

x
1
1
3
x 1
2
dx
31
Примеры
Решение. № 2359. Подынтегральная функция
f ( x) 
1
x 3 x2  1
неограниченно возрастает в окрестности точки 0, но эта
точка не входит в промежуток интегрирования.
Единственная особая точка, в окрестности которой
надо проводить исследование – это бесконечность.
32
Примеры
В окрестности бесконечности
f ( x) 
1
x 3 x2  1
1
1
 5 3 при x  
2
3
xx
x
Степень 5/3 больше 1, несобственный интеграл 1 рода
сходится по признаку сравнения со степенной функцией.
Ответ: интеграл сходится.
33
Несобственные интегралы второго рода
§ 2. Несобственные интегралы второго рода
В отличие от интеграла первого рода несобственные
интегралы второго рода
b
 f ( x)dx
a
работают с ограниченной областью по x , и
неограниченной функцией, то есть функция f(x) не
ограничена в окрестности левого или правого конца
отрезка [a,b].
34
Несобственные интегралы второго рода
Определение № 2. Несобственным интегралом
второго рода называется интеграл вида
b
 f ( x)dx
a
где функция f(x) не ограничена в окрестности правого
конца [a, b], то есть
M ,   0 c  (b   , b) : | f (c) | M
но функция f(x) интегрируема ( а значит и ограничена)
на каждом отрезке вида
[a, b   ]
35
Несобственные интегралы второго рода
Несобственный интеграл 2ого рода
10
9
8
7
y
6
5
4
3
f(x)
2
F(x)
1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
x
x
2
f ( x) 
, F ( x )   f (t )dt
2 x
0
36
Несобственные интегралы второго рода
Несобственный интеграл второго рода для
функции f(x), неограниченной в окрестности правого
конца отрезка [a, b]
b
 f ( x)dx
a
называется сходящимся, если существует конечное
число I,
b
I  lim  f ( x )dx
 0 a
называемое пределом этого интеграла. В случае
сходимости интеграла будем использовать обозначение
b
b
 f ( x)dx  lim


a
f ( x )dx
0 a
37
Несобственные интегралы второго рода
Аналогично, несобственный интеграл второго рода для
функции f(x), неограниченной в окрестности левого конца
отрезка [a, b]
b
 f ( x)dx
a
называется сходящимся, если существует конечное число I,
b
I  lim  f ( x )dx
 0 a 
называемое пределом этого интеграла. В случае сходимости
интеграла будем использовать обозначение
b
b
a
0 a 
f ( x )dx
 f ( x)dx  lim



38
Несобственные интегралы второго рода
Для несобственного интеграла второго рода с функцией
неограниченной в окрестности правого конца отрезка
рассмотрим функцию
F ( ) 
b

f ( x )dx
a
которая определена на полусегменте
  (0, b  a ]
39
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
Для сходимости несобственного интеграла второго рода
необходимо и достаточно, чтобы
  0    ( )  0 : 1 ,  2 , 0   2  1   
b 2

b
f ( x )dx  
1
Доказательство:
По определению несобственный интеграл (2) сходится тогда
и только тогда, когда существует конечный предел функции
F ( ) 
при
b

f ( x )dx
a
  0
40
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
По критерию Коши существования конечного предела
функции необходимо и достаточно, чтобы
 lim F ( ) 
 0
  0    ( )  0 : 1,  2 , 0   2  1    F (1 )  F ( 2 )  
По определению функции F(x)
F (1 )  F ( 2 ) 
b 2

b
f ( x )dx
1
Критерий Коши доказан.
41
Несобственные интегралы второго рода
Пример 5. Исследовать сходимость интеграла. Найти
предел, если он существует.
1

1
1
1 x
2
dx
42
Несобственные интегралы второго рода
Решение. Подынтегральная функция
1
f ( x) 
1  x2
не ограничена в окрестности как правого, так и левого
конца. Разобьем промежуток интегрирования на два,
например, точкой 0.
Рассмотрим два предела
1

1
0
1
1 x
2
dx  lim
 0

1
1
1
1 x
2
dx  lim
 0

0
1
1 x
2
dx
43
Несобственные интегралы второго рода
0
lim
 0

1
1
1
1 x
2
dx  lim
 0

0
1
1 x
2
dx 
0
1
 lim arcsin x 1   lim arcsin x 0  
  0 

 0 


2


2

Оба предела существуют и конечны, интеграл сходится .
44
Примеры
Пример 6. При каких значениях параметра p
несобственный интеграл второго рода
b
1
a (b  x) p dx
сходится?
45
Примеры
Решение. Рассмотрим два случая.
b
1
a (b  x) p dx
1) p=1. В этом случае первообразная подынтегральной
функции
1
 (b  x) dx   ln | b  x | c
При стремлении верхнего предела к b
46
Примеры
b
I  lim 
 0 a
1
dx  lim(  ln   ln(b  a ))   lim(ln  )  ln(b  a )
p
(b  x )
 0
 0
предел равен бесконечности, то есть интеграл расходится.
2. p≠1. В этом случае первообразная подынтегральной
функции
1
1
dx

c
p 1
 (b  x ) p
(1  p)(b  x )
b
I  lim 
 0 a
1
1
1
dx

(


)
lim
p
p 1
p 1
(b  x )
(1  p)
(1  p)(b  a )
 0
47
Примеры
  lim(
 0
1
1
)

(1  p) p 1
(1  p)(b  a ) p 1
Предел при p > 1 равен бесконечности, то есть интеграл
расходится.
Предел отношения
1
lim
p 1
 0 
равен бесконечности, если малую величину α в
знаменателе возводим в положительную степень (то есть p
– 1 > 0, или p > 1 ), и равен нулю, если возводим в
отрицательную степень (то есть p – 1 < 0 , или p < 1 ).
48
Примеры
Ответ. Если p < 1, то несобственный интеграл второго рода
b
1
a (b  x) p dx
сходится. Если p ≥ 1, то несобственный интеграл второго
рода расходится.
49
Несобственные интегралы второго рода
Теорема 4. (частный признак сравнения для
несобственных интегралов 2 рода.)
Пусть на интервале a < x <b функция f(x) удовлетворяет
условию
| f ( x) |
c
при x  ( a, b), c  0
p
| x b|
где c, p – постоянные,
p < 1, тогда интеграл
b
 f ( x)dx
a
сходится абсолютно.
50
Несобственные интегралы второго рода
Если существуют постоянные с > 0, p ≥1, такие что на
интервале a < x <b функция f(x) удовлетворяет условию
c
f ( x) 
при x  (a, b), c  0
p
| x b|
то несобственный интеграл 2-ого рода
b
 f ( x)dx
a
расходится.
51
Несобственные интегралы второго рода
Следствие теоремы 4. Если функция f(x)
f ( x)
эквивалентна
c
при x  b, c  0
p
| xb|
то интеграл для исходной функции и интеграл для
эквивалентной функции сходятся и расходятся
одновременно.
А именно, несобственный интеграл второго рода
b
 f ( x)dx
a
сходится при
p<1,
расходится при
p 1
52
Несобственные интегралы второго рода
Доказательство.
Вспомним определение эквивалентных функций. Две
функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при
f ( x)
g ( x) при x  b
если найдется такая новая функция h(x) , что
f ( x)  g ( x)h( x), lim h( x)  1 при x  b
Запишем определение, что предел функции h(x) равен 1:
  0   0 : x  (b   , b) | h( x)  1| 
1    h( x )  1  
53
Примеры
  0,5; 0,5  h( x)  1,5
0,5
c
c

f
(
x
)

1,5
| x  b |k
| x  b |k
Из этого двойного неравенства следует, что интеграл
b
 f ( x)dx
a
сходится или расходится одновременно с интегралом
функции
b
c
a | x  b |k dx
54
Примеры
Заметим, что задачи на несобственные интегралы бывают
двух видов:
1) надо найти значение интеграла;
2) надо ответить на вопрос, сходится ли указанный интеграл.
Первая задача предполагает, что удалось найти
первообразную для функции и далее по определению, надо
найти предел. Если этот предел существует, то мы ответили
на вопрос о сходимости и нашли предел, если предел не
существует, то интеграл расходится.
55
Примеры
Вторая задача может быть решена так как описано выше ,
но очень часто первообразную найти не удается, но
ответить на вопрос о сходимости можно, используя
признаки сравнения или какие-то еще теоремы.
56
Вопросы
Верны ли следующие утверждения?
1.
Если сходится несобственный интеграл 1 рода, то
подынтегральная функция стремится к нулю.
2. Если подынтегральная функция стремится к нулю, то
несобственный интеграл 1 рода сходится.
3. Если 1) сходится несобственный интеграл 1 рода, и
2) существует конечный предел подынтегральной
функции, то подынтегральная функция стремится к
нулю.
Вопросы
4. Если 1) сходится несобственный интеграл 1 рода, и
2) подынтегральная функция монотонна,
то подынтегральная функция стремится к нулю.
Вопрос по несобственным интегралам 2 рода:
1. Если подынтегральная функция стремится к
бесконечности при x  b , то несобственный интеграл 2
рода расходится.
Примеры
Рассмотрим примеры.
Пример 7. Сходится ли интеграл? Если сходится, то найти
значение интеграла.

x
1
dx
1  x 5  x10
Решение. Найдем первообразную для подынтегральной
функции
dx
dx

 x 1  x5  x10  x  x 5 1  1 x 5  1 x10 
1
du
x5



2
5dx
( 5) 1  u  u
du  6
x
u
59
Примеры

du
( 5)
3
 (u  1 2 )
4
2

 ( 1 5 ) ln | u  1 2  1  u  u 2 |  c 
 ( 1 5 ) ln |1 x 5  1 2  1  1 x 5  1 x10 |  c
Теперь найдем предел интеграла с переменным верхним
пределом

x
1
dx
1 x  x
5
10

B
 1

5
5
10
 lim B   ( 5 ) ln |1 x  1 2  1  1 x  1 x |  c  
1 

60
Примеры
1
 1
5
5
10 
1
 lim B  ln(1 B  2  1  1 B  1 B )   ln(1  1 2  3) 
 5
 5

1 3
3 2 3
1
2
(ln  ln
)  ln(1 
)
5
2
2
5
3
Так как конечный предел существует, интеграл сходится к
числу
1
2
ln(1 
)
5
3
61
Примеры
Пример 8
. Сходится ли интеграл? Если сходится, то найти значение

интеграла.
 ax
e
 cos bx dx, a  0
0
Решение. Найдем первообразную для подынтегральной
функции. Будем вычислять интеграл при помощи
интегрирования по частям.
e  ax
e  ax
 ax
I   e cos bx dx 
cos bx  
b(  sin bx )dx 
a
a
e  ax
b  ax

cos bx   e sin bx dx 
a
a
62
Примеры

e  ax
b  e  ax
e  ax

cos bx  
sin bx  
b co s bxdx  
a
a  a
a

e  ax (  a cos bx  b sin bx ) b 2

 2I
2
a
a
Получили выражение для интеграла через него самого, то
есть получили уравнение для нахождения интеграла.
e  ax ( a cos bx  b sin bx ) b 2
I
 2I
2
a
a
b2
e  ax (  a cos bx  b sin bx )
(1  2 ) I 
a
a2
e  ax (b sin bx  a cos bx )
I
a 2  b2
63
Примеры
Таким образом, найдена первообразная
e
 ax
e  ax (b sin bx  a cos bx )
cos bx dx 
c
2
2
a b
Теперь найдем предел интеграла с переменным верхним
пределом
B
 ax


e
(
b
sin
bx

a
cos
bx
)
ax

0 e cos bx dx  limB 

a 2  b2
0 


64
Примеры
 e  aB (b sin bB  a cos bB )  e  a 0 (b sin 0  a cos 0)
 lim B 
) 

2
2
2
2
a b
a b


( a )
a
 2

a  b2 a 2  b2
Ответ примера № 7:
 ax
e
 cos bx dx 
a
a 2  b2
65
Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Лекция № 8 завершена.
Следующая лекция № 9 состоится
16 апреля 2014 года
и будет посвящена применению признаков
сходимости и понятиям абсолютной и условной
сходимости.
Спасибо за внимание!