Мультимедийная ция транспортных задач

Кафедра: ПТ
МУЛЬТИМЕДИЙНАЯ
ПРЕЗЕНТАЦИЯ
Тема: Решение транспортной задачи
Дисциплина: Оптимизация транспортных задач
Для студентов специальности:
5В090100 «Организация перевозок, движения и
эксплуатация транспорта»
5В071300 «Транспорт, транспортная техника и
технологии»
Автор: профессор д.т.н.
Тогизбаева Б.Б.
1. Введение;
2. Понятие о транспортной задаче;
3.
Решение
транспортной
потенциалов в матричной форме;
4. Заключение.
задачи
методом
1 Ведение
Большую часть своих усилий человек тратит на поиск
наилучшего т.е. оптимального решения поставленной
задачи. Как, располагая определенными ресурсами,
добиваться наиболее высокого жизненного уровня,
наивысшей производительности труда, наименьших потерь,
максимальной прибыли, минимальной затраты времени –
так ставятся вопросы, над которыми приходится думать
каждому члену общества.
Математикам удалось разработать методы решения задач
на наибольшее и наименьшее значение, или, как их еще
называют, задач на оптимизацию (от латинского оптимум –
наилучший).
Ряд задач такого типа решается с помощью
специальных методов линейного программирования.
Выбор методов математического программирования для решения оптимизационных задач
определяется видом целевой функции f, видом
ограничений, определяющих область M, и
специальными ограничениями на управляемые
переменные
(например,
требованием
их
целочисленности). Решение задачи получения
уравнения обычно называется оптимальным
решением или оптимальным планом.
2 Понятие о транспортной задаче
Транспортная задача — частный случай общей
задачи
линейного
программирования.
Классическая транспортная задача линейного
программирования – это задача о наиболее
экономичном плане перевозок однородных или
взаимозаменяемых грузов из пунктов производства
(со станций отправления) в пункты потребления
(на станции назначения).
Другими словами, это задача об оптимальном
прикреплении потребителей к поставщикам. Но ее
можно применять и для разработки породового
плана передачи порожних вагонов и др.
3 Решение транспортной задачи
методом
потенциалов в матричной форме
Общая
черта
матричных
способов
решения
транспортной задачи — необходимость составления
матрицы стоимостей (кратчайших расстояний, времени,
расходов и др.), а это дело довольно трудоемкое. Но, как
правило, однажды составленная матрица служит для
большого числа решений длительное время. Поэтому
затраты на ее составление оправдываются. Один из
наиболее простых и широко распространенных способов
решения транспортной задачи — метод потенциалов.
Потенциалами называются условные числа иi и vj,
приписанные определенным образом к каждой строке i и к
каждому столбцу j матрицы.
Решение сводится к отысканию таких значений
потенциалов, при которых выполняется следующее условие
оптимальности: для каждой клетки сумма (разность)
потенциалов строки и столбца должна быть меньше или
равна стоимости перевозок, причем для занятых клеток —
точно равна стоимости перевозок, т. е.
ui  v j  cij  xij  0

ui  v j  cij  xij  0
Если
определены
значения
потенциалов,
удовлетворяющие этому условию, то найден оптимальный
план, обеспечивающий минимизацию целевой функции.
Экономический смысл потенциалов заключается в том, что
их разность для любой назначенной перевозки точно
отображает реальные затраты на транспортировку.
Поэтому отправителям и получателям грузов можно
присвоить такие значения потенциалов, при которых любая
другая перевозка (не входящая в оптимальный план) не
будет более выгодной (затраты на транспортировку), чем
перевозки оптимального плана. Для максимизации целевой
функции
необходимо:
либо
изменить
условие
оптимальности для свободных элементов матрицы ui + vj ≤
cij, либо изменить знак на обратный у всех значений
стоимости. Рассмотрим решение задачи.
1. Построение начального плана, в данном случае он
построен методом наименьшей стоимости (табл.1). Общая
его стоимость с0 = 680.
2. Вычисление потенциалов. Потенциалы строк
записывают слева от матрицы, а столбцов - вверху (место
нумерации).
Одному из столбцов (или строк) присвоим произвольное
значение потенциала, например
0. Чтобы среди
потенциалов было меньше отрицательных чисел, нуль
присваивают столбцу или строке с возможно меньшими
значениями стоимости в занятых клетках, например
первому столбцу.
0
1
3
5
2
3
4
5
2
+1
20
12
+2
30
10
10
8
6
1
20
20
9
10
11
13
15
+1
40
20
20
30
15
15
5
25
Таблица 1
Начальный план
Используя условие оптимальности (1), вычислим по
занятым элементам все остальные потенциалы. Поскольку
для клетки 1.1 должно соблюдаться условие u1 + v1 = c11, а
v1 = 0 и c11 = 2, потенциал первой строки u1 = c11 – v1 = 2 – 0
= 2.
Теперь легко определить потенциал второго столбца: v21
= c12 – u1 = 3 – 2 = 1. Аналогично находим остальные
потенциалы:
u3 = c32 – v2 = 11 – 1 = 10; v3 = c33 – u3 = 13 – 10 = 3;
v4 = c34 – u3 = 15 – 10 = 5; u2 = c24 – v4 = 6 – 5 = 1
3. Проверка по условию оптимальности. Все свободные
элементы матрицы необходимо проверить по условию
оптимальности. Если оно выполнено для каждого элемента,
то план оптимален. В противном случае в соответствующем
элементе проставляют величину нарушения этого условия
со знаком плюс.
Для клетки 1.3 u1 + v3 = 2 + 5 = 5. Условие не выполнено
(5>4), величину нарушения +1 заносим в клетку. Такие
клетки называются потенциальными. Если поместить
единицу перевозки в такую клетку, общая стоимость
снизится на величину этого повышения. Аналогично для
клетки 1.4 u1 + v4 = 2 + 5 = 7. Она также потенциальная
(7>5) и в нее проставляем величину нарушения +2. Для
клетки 2.1 условие выполнено: u2 + v1 = 1 + 0 = 1, 1<2.
Проверив все остальные свободные элементы матрицы,
получим ещё одну потенциальную клетку 3.1 с величиной
нарушения +1.
4. Цикл пересчета. Выбираем потенциальную клетку с
наибольшей величиной нарушения и назначаем в нее новую
перевозку. Это элемент 1.4 с нарушением +2.
Чтобы определить величину вводимой перевозки, строят
замкнутый контур, от выбранной клетки прямолинейными
ходами с поворотами в занятых клетках. Контур (1.4 - 3.4 3.2 - 1.2 - 1.4) может быть прямоугольным, как в данном
случае, или более сложной конфигурации. Затем
определяют минимальную величину перевозки в четных
вершинах контура, считая первой вершину в выбранной
клетке. Это и есть величина вводимой перевозки, она равна
5 (клетка 3.4). На эту величину необходимо увеличить все
перевозки в нечетных вершинах и уменьшить в четных.
Получен новый улучшенный план (табл. 2), в котором
вместо перевозки 3.4 появилась перевозка 1.4, а величина
перевозок 1.2 и 3.2 изменилась. Число перевозок в плане
осталось без изменения т + п — 1.
Снижение общей их стоимости равно произведению
величины вводимой перевозки на величину нарушения.
Таким образом, общая стоимость перевозок нового плана
С1= 680 — 2 • 5 = 670.
0
1
3
5
2
3
4
5
+1
2
20
12
5
10
5
8
6
3
20
9
10
11
13
20
30
20
15
+1
25
30
15
15
40
25
Таблица 2
Результат первой
итерации
Если в четных вершинах окажется две (или более)
одинаковых минимальных перевозки, то из плана
исключают только одну из них, а вместо другой оставляют
условную нулевую перевозку и оперируют с нею в
дальнейшем как с положительным числом (случай
вырождения). Пункты 2 - 4 решения составляют одну
итерацию (улучшение). Они повторяются до тех пор, пока
не будет найден оптимальный план, т. е. план, в котором нет
потенциальных элементов.
Вторая итерация. Опять присваиваем первому столбцу
потенциал v1 = 0, вычисляем новую систему потенциалов и
устанавливаем потенциальные клетки матрицы. В двух
таких клетках 1.3 и 3.1 одинаковая величина нарушения
условия оптимальности +1. Новую перевозку
можно
назначить как в ту, так и в другую клетку.
Назначим ее в клетку 3.1 новым циклом пересчета
получаем план (табл. 3) с общей стоимостью c2 = 670 - 20 =
650.
1
3
5
5
2
3
4
5
+1
0
5
25
12
10
8
6
1
20
9
11
13
5
20
15
8
20
30
15
Таблица 3
Результат второй
итерации
40
Снова определяем потенциалы. В данном случае удобно
приравнять нулю потенциал первой строки и1. Проверяем
свободные клетки по условию оптимальности (7.18).
Потенциальная клетка 1.3 с нарушением +1. В результате
третьей итерации получаем новый план (табл. 4) с общей
стоимостью с3 = 650 - 15.1 = 635. Поскольку теперь во всех
незанятых клетках условие оптимальности выполняется
(нет потенциальных клеток), найденный план оптимален.
1
3
4
5
2
3
4
5
0
30
15
10
12
10
8
5
6
1
20
20
9
11
13
8
15
40
20
20
Таблица 4
Оптимальный
план
В некоторых случаях может быть два или более
оптимальных плана с одинаковой общей стоимостью.
Если у какого-либо свободного элемента сумма
потенциалов строго равна стоимости, то назначив туда
перевозку, циклом пересчета можно получить другой
оптимальный план с той же величиной общей стоимости
(альтернативное решение). Если по каким-либо причинам
некоторые перевозки невозможны, то их стоимости в
соответствующих клетках матрицы заменяются буквой М,
которая выражает число, заведомо большее любой суммы
потенциалов u1 + v1. В такие клетки перевозка никогда не
будет назначена.
Открытую модель транспортной задачи всегда можно
привести к замкнутой, введя фиктивную станцию либо
назначения (если ресурсы превышают потребности), либо
отправления (если потребности превышают ресурсы).
Размеры отправления или прибытия груза для нее
определяют по разнице общего объема ресурсов и общих
потребностей, а все стоимости перевозок принимают
равными нулю. Перевозка на фиктивную станцию
назначения означает количество груза, которое необходимо
отложить в запас на соответствующей станции отправления,
а перевозка с фиктивной станции отправления - количество
груза, которое следует недодать соответствующей станции
назначения.
Рассмотрим на конкретном примере решение задачи
методом потенциалов. На пяти станциях (т = 5) выгружают
крытые вагоны. Порожними их направляют для промывки
на четыре промывочные станции (п = 4). Размеры выгрузки
в вагонах за сутки: A1 = 65; A2 = 85; A3 = 110, A4 = 90, A5 =
100; всего 450.
Перерабатывающая способность станций промывки: В1 =
120; В2 = 80; B3 = 100; B4 =200; итого 500. Известны
расстояния сij (стоимость перевозки) от каждой станции
выгрузки до каждой промывочной станции. Требуется
определить оптимальный план передачи крытых порожних
вагонов с выгрузочных станций на пункты промывки с
минимальным суммарным пробегом.
m
n
Ai  450   B j  500 . Чтобы привести эту
Очевидно, что 
i 1
j 1
открытую модель к замкнутой, достаточно ввести в условие
задачи фиктивную станцию выгрузки с величиной А6 = 500
- 450 = 50 вагонов в сутки.
m
n
i 1
j 1
Тогда можно считать, что  Ai   B j  500 .
Решение начинается с построения начального плана, в
данном случае методом наименьшей стоимости.
Особенность его построения состоит в том, что
элементы фиктивной строки заполняются в
последнюю
очередь
(хотя
их
стоимость
минимальна - 0). Затем задача решается методом
потенциалов как замкнутая модель. Оптимальный
план передачи порожних вагонов обеспечивает
минимальный суммарный пробег порожних
вагонов - 2880 вагоно-км. Перевозки в последней
фиктивной
строке
выражают
запас
перерабатывающей способности (50 вагонов) на
некоторых станциях: первая промывочная - 10,
четвертая - 40. Любое отклонение от этого
оптимального плана увеличит пробег вагонов.
4 Заключение
Дисциплина «Оптимизация транспортных задач» ставит
целью изучение видов транспорта, освоение основ
экономических и математических методов и на их основе
построение имитационных моделей при исследовании и
оптимизации
процессов
в
промышленных
железнодорожных транспортных системах.
Задачи
дисциплины
следующие:
дать
общее
представление о видах транспорта, принципах их работы,
ознакомить с основными видами распределения сообщений,
дать понятие транспортного потока и его классификации.
1. Модели транспортной задачи;
2. Основные принципы решения транспортной задачи;
3. Условие оптимальности;
4. Матричный способ транспортной задачи;
5. Сетевой способ решения транспортной задачи;
6. Замкнутая модель транспортной задачи.
Список литературы
1. В.М. Акулиничев. Математические методы в
эксплуатации железных дорог. М.: Транспорт, 2008г.
2. А.Б. Каплана. Математическое моделирование
экономических
процессов
на
железнодорожном
транспорте. М.: Транспорт, 2004г.
3. А.А. Смехов. Математические модели процессов
грузовой работы. Транспорт, 2001г.
4. Н.Ф. Хохлов и др. Сборник задач по экономике
транспорта. Транспорт, 2007г.
5. В.А. Персианов, К.Ю. Скалов, И.С. Усков.
Моделирование транспортных систем. Транспорт, 1992г.