Показательная функция

Показательная функция
Показательной функцией называется функция вида у=ах, где а –
постоянная, a>0, a≠1.
Свойства показательной функции
1. Областью определения показательной функции является множество R
всех действительных чисел.
2. Множеством значений показательной функции является интервал
(0; +∞).
3. Показательная функция наименьшего и наибольшего значений не
имеет.
4. График показательной функции пересекается с осью ординат (Оу) в
точке (0; 1) и не пересекается с осью абсцисс (Ох).
5. Показательная функция не имеет нулей.
6. Показательная функция принимает положительные значения на всей
области определения; все точка ее графика лежат выше оси Ох в I и II
координатных четвертях.
7. Показательная функция не является ни четной, ни нечетной.
8. При а>1 показательная функция возрастает на всей области
определения, при 0<a<1 функция убывает на всей области определения.
9. Показательная функция не является периодической.
При a>1:
1. область определения – множество
всех действительных чисел;
2. множество значений – множество
всех положительных чисел;
3. функция возрастающая;
4. при х=0 значение функции равно 1;
5. если x>0, то ax>1;
6. если х<0, то 0<ax<1.
При 0<a<1:
1. область определения – множество
всех действительных чисел;
2. множество значений – множество
всех положительных чисел;
3. функция убывающая;
4. при х=0 значение функции равно 1;
5. если x>0, то 0<ax<1;
6. если х<0, то ax>1.
Существует основание показательной функции 2<a<3 такое, что
касательная, проведенная в точке (0; 1), образует с осью Ох угол 45о.
Это число было открыто еще в XVII веке Джоном Непером и названо
неперовым числом. Оно приближенно равно 2,7182818284. С XVIII века
неперово число стали обозначать буквой е в честь Леонарда Эйлера. В 1766
году Ламбертом (с помощью Эйлера) было доказано, что число е, как и число π
иррационально.
е – это число, при котором угловой коэффициент касательной к графику
функции у=ех в точке х=0 равен 1.
Функцию у=ех часто обозначают у=expх и называют экспонентой.
Известно много формул для приближенного вычисления числа е. Самыми
1
1
1
1
распространенными являются формулы 𝑒𝑛 = (1 + )𝑛 , 𝑒𝑛 = 1 + + +
+
1
⋯+
, которые при натуральных n
1∙2∙…∙𝑛
приближенных значений е с любой точностью.
𝑛
дают
1
1∙2
1∙2∙3
последовательности
Примеры решения задач
Пример 1. Изобразить схематично график функции у=2х.
Решение. Так как 2>1, то функция возрастающая. Если х=0, то у=20=1.
Пример 2. Изобразить схематически график функции у= -32х.
Решение. Так как 2>1, то функция у=2х возрастающая. График у= -32х
симметричен относительно оси Ох графику функции у=32х.
Пример 3. Изобразить схематически график функции у=3|x -1|.
1
Решение. Пусть х -1≥0 (x>1), тогда у=3|x -1|=3х -1=3х3 -1= 3х.
3
1
1
3
3
Пусть х -1≤0 (x1), тогда у=3|x -1|=3–(х-1)=31-х=3( )х. Здесь <1.
Соединив эти графики, получим график функции у=3|x -1|.
Упражнения
1. Является ли показательной функция:
1) у=3х
2) у=х2
3) у=( -3)x
4) у=√3𝑥
5) у=x
6) у=(x-2)5
7) у=πx
8) у=5-x
9) у=√𝑥
10) у=x0,1
2. Укажите область значений функции:
1) 2х
2) 0,4х
3) 1х
4) 2x - 2
5) 3 - x
6) 0,65х
7) 3 - 0,4x
8) 3|x|
9) 0x
10) 1x+2
3. Укажите (при а>0) область определения выражения:
1) а3х
2) а√х
6) asinx
7) а√16−𝑥
1
3) а√х
2
8) а√tgх
4
4) acosx+1
5) а𝑥2−9
9) atgx
10) а√𝑥
2 −64
4. Является ли возрастающей (убывающей) функция:
1) у=4х
2) у=0,5х
3) у=0,2-x
6) у=22x
7) у=√3x
8) у=( ) -x
1
2
4) у=1,4-x
2
9) у=( )-x
3
5) у=67-x/2
3
10) у=( )x
2
5. Укажите координаты точек пересечения графиков:
1) у=7x и у=343
2) у=2х и у=8
3) у=( )x и у=9
3
5) у=2х и у= -3
6) у=2х+2 и у=4
7) у=3х и у=
9) у=3х и у=81
10) у=8 и у=(sin )х
1
1
1
4) у=( )х и у=
4
64
8) у=3 и у=2х+2
1
3
𝜋
6
6. При каком значении а график функции у=ах проходит через точку:
1) А(1; 2)
1
6) K( ; √2)
2
2) В(2; 8)
3) С(2; 16)
7) S(- 2; 8)
4) Р( - 2; 4)
5) T( - 3;
9) D(1; 1)
10) E( - 2; 4)
3) у=( )х
4) у=3,5х
5) у= -2,5х
8) у=17х-1
9) у=3-х
10) y= -2х
8) F(1; - 15)
1
7. Изобразите схематично график функции:
1) у=2х+1
2) у=4х
6) у=2|x|-1
7) у=( )х
1
4
3
4
8. Найдите по графику функции:
1) значение а;
2) область определения;
3) область значений;
4) промежутки возрастания (убывания);
5) координаты пересечения графика с осью ОУ;
6) значение в точках х1= -1 и х2=1;
7) запишите уравнение функции.
1)
2)
3)
)
27
5)
6)
4)
7)
8)
9)
10)
9. Найдите наибольшие и наименьшие значения функций:
1) y=2х, x[ - 1; 1]
2) y=2x+3x, x[ - 1; 0]
3) y=ехsinx, x[0; π]
4) y=4√𝑥 , x[0; 4]
5) y=3 - х, x[0; 2]
6) y=ех, x[0; 2]
7) y=5|х|, x[ - 1; 1]
8) y=x+ex, x[ - 1; 1]
9) y=2cosх, x[0; π]
10) y=2sinх, x[ - π; π]
10. Изобразите схематично график функции:
1) у=|2x|
2) у=|3x -1|
3) у=|3-x|
4) у=3|x|+x
5) у= -|4|x||
6) у=|2x-1-1|
7) у=4|x|
8) у=5-|x|
9) у= -0,2|x|
10) у=3|x|-x
Дополнительные задания
1. Постройте график функции:
1) y= - 5ех
2) y=ехsinx
3) y=e|x|
4) y=e3x
5) y=2ex
6) y=хе - х
7) y=e – xcosx
8) y=esinx
9) y=3e - x
10) y=e - x
2. Найдите производную функции:
х
1) y=2ex
2) y=ехsinx
3) y=e - x
4) y=e – xcosx
5) y=
6) y=ех+е - х
7) y=х2e - x
8) y=ех+2х
9) y=5х+1
10) y=3e - x
ех
Вариант 1
1. Какой из графиков является графиком функции у=2х?
1
2
3
2. Какой из графиков является графиком функции у= - 0,5х?
1
2
3. Определите по графику значение
функции в точке х=3.
4. Определите по графику значение
аргумента в точке у= - 20.
5. Определите по графику промежутки
возрастания и убывания функции.
6. Определите по графику значение а.
7. Определите по графику нули
функции.
8. Постройте график функции у=2х+1.
9. Постройте график функции у=25 - 5х.
10. Для предложенного графика запишите функцию:
3
Вариант 2
1. Какой из графиков является графиком функции у=3х?
1
2
3
2. Какой из графиков является графиком функции у=5+2х?
1
2
3. Определите по графику значение
функции в точке х= - 4.
4. Определите по графику значение
аргумента в точке у=25.
5. Определите по графику промежутки
возрастания и убывания функции.
6. Определите по графику значение а.
7. Определите по графику нули
функции.
8. Постройте график функции у=3х - 2.
9. Постройте график функции у=3х - 9.
10. Для предложенного графика запишите функцию:
3