КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ УМК ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 5

СТАРТОВАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИКЕ В 5 КЛАССЕ
Содержание курса математики
в 5 классе
Основное содержание курса математики 5
класса составляет введение новых видов чисел
(обыкновенные, а, возможно, и позиционные
дроби), развитие на этой основе освоенных
способов решения текстовых задач, расширение
геометрического материала. Новое содержание
выстраивается, главным образом,
на основе
способов действия, освоенных в начальной
школе (измерения, моделирование), которые
служат и для постановки новых задач, и для их
решения.
Задачи стартовой работы
 проверка готовности учащихся к изучению курса
математики в основной школе (оценка освоения
ключевых понятий начальной школы) ;
 установление вместе с учащимися границы их знаний с
целью определения основных задач в изучении
предмета, стоящих перед ними в новом учебном году
(перспектива).
Типология заданий стартовой работы
1. Задания на материале начальной школы – базовые
задания, на ключевые понятия, необходимые для
продолжения обучения. Результат их выполнения является
основанием для корректировки учителем своей рабочей
программы.
2. Задания на «разрыв», назначение которых показать
перспективы дальнейшего изучения математики. Такие
задания строятся за счет кажущегося, на первый взгляд,
незначительным видоизменения заданий первого типа.
Содержание стартовой работы по математике
Выбери любые 8 заданий из 10 и реши их. Если не сможешь
решить какое-либо задание, то опиши, что именно вызвало у
тебя затруднение, в специально отведенном для этого месте
(комментарии ученика).
Примечание. Требование выбора можно рассматривать как своеобразный
способ проверки умения учащегося действовать по инструкции.
Отказ от решения большинством учащихся класса одних и тех же заданий
позволяет предположить, что в данном классе имеются проблемы с
изучением соответствующего материала.
Выявлена статистически значимая корреляция между выбором заданий и их
решаемостью. В то же время доля содержательных комментариев среди их
общего числа относительно низкая.
Задание 1
Измерь площади А, В единицей (меркой) Е. Результат измерения
покажи точно или приближенно на числовой прямой.
Е
0
1
В
А
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
Комментарий. Измерение А – базовое умение. Ответ: А = 3Е. На числовой
прямой должно быть отмечено 3.
Измерение В – ситуация «разрыва»: результат измерения – нецелое число.
В идеале на числовой прямой должна быть отмечена точка между 2 и 3
(ближе к 3).
Задание 2
Для того чтобы узнать, делится ли одно число на другое, не всегда
необходимо выполнять деление этих чисел.
Например, известно, что если сумма цифр некоторого числа делится на 3, то
и само число делится на 3; если же сумма цифр не делится на 3, то и само
число не делится на 3. Это свойство получило название «признак делимости
на 3». Существуют и другие признаки делимости.
Какую цифру нужно подставить вместо звездочки, чтобы число 3124*501
делилось на 3 и было как можно больше?
Комментарий. Задание рассчитано на использование незнакомой информации,
содержащейся в тексте (умение действовать по инструкции) и, по существу,
показывает учащимся перспективу дальнейшего изучения математики в 5 классе
(одной из тем 5 класса являются признаки делимости). Ответ: 8.
Типичные ошибки: 1) 2 или 5 – не удерживается условие «число… было как
можно больше»; 2) 9 – не удерживается условие «число… делилось на 3» или не
понят признак делимости; 3) 31248501 – ответ не соответствует поставленному
вопросу.
Задание 3
Из квадратов, кругов и треугольников составляют ряд по определенному
правилу. На рисунке показано начало этого ряда.
Нарисуй 3 фигуры этого ряда, начиная с 50-й.
Комментарий. Задание не связано непосредственно с программным
материалом, но и не требует для решения каких-то дополнительных знаний.
Задания такого типа, связанные с поиском и анализом закономерностей,
играют существенную роль в формировании абстрактного мышления.
Ответ:
Типичные ошибки:
1) Продолжение нарисованного фрагмента вместо фигур, начиная с 50-й;
2) Нарисованы 3 фигуры, начиная с 51.
Задание 4
Саша ниже Коли на 5 см. Рост Пети отличается от роста Коли на 8 см.
Известно, что Петя выше Саши. На сколько сантиметров?
Комментарий. В тексте задания имеется кажущаяся недоопределенность:
не указано конкретно, Петя выше или ниже Саши. Кроме того, не указан
рост ни одного из мальчиков, что не позволяет найти рост Коли, что не
позволяет найти рост Пети и Саши. Наиболее естественным способом
действия в данной ситуации является построение модели, например, с
помощью числовой прямой или схематического чертежа.
Ответ: Петя выше Саши на 13 см.
Типичная ошибка: Отказ от решения по причине недостаточности данных.
Задание 5
Петя и Сережа измеряли площадь и периметр квадрата со стороной 3м.
У Пети получилось, что площадь квадрата равна 9 м2, а периметр равен
12 м, из чего он сделал вывод, что периметр этого квадрата больше его
площади.
Сережа возразил Пете: «Я перевел метры в дециметры. Длина стороны
квадрата равна 30 дм. Его площадь равна 900 дм2, а периметр 120 дм.
Значит, площадь больше периметра».
А как считаешь ты? Изложи свою точку зрения так, чтобы убедить и
Петю, и Сережу в своей правоте.
Комментарий. Задание рассчитано на проверку сформированности
контрольно оценочных действий на предметном материале)понимания, что
сравнивать можно только величины одного рода, и умения аргументировать
свою точку зрения. Ответ: Неправы оба мальчика. Сравнивать площадь
фигуры и периметр нельзя, т.к. это величины разных родов.
Типичные ошибки: 1) Утверждается, что оба мальчика правы (притом, что их
выводы взаимно исключающие!). 2) Прав Петя, т.к. его расчеты проще.
Задание 6
Расстояние между поселками А и В 10 км. Саша и Миша выехали на
велосипедах из А в В одновременно. Саша ехал со скоростью 20 км/ч.
Миша каждый километр проезжал за 4 мин.
Кто из мальчиков приехал в В раньше и на сколько минут раньше?
Комментарий. Проверяется умение решать задачи на равномерное движение,
в том числе, требующие перевода единиц (часы – минуты). Особенностью
задачи является то, что для Миши задана не скорость движения, а обратная
величина – время, затрачиваемое на единицу пути.
Ответ: Миша приехал раньше на 10 минут.
Типичные ошибки: 1) Неправильное приведение времени к одной
размерности. 2) Попытки (не всегда удачные) найти скорость Миши, т.е.
действовать формально.
Задание 6’
Реши на выбор одну из задач. Объясни свой выбор.
1) 100 учебников математики для пятого класса стóят 4600 руб. Сколько
нужно потратить на покупку учебников математики для 5 "Ы" класса,
если в нём 23 ученика?
2) В киоске было 100 книг общей стоимостью 4600 руб. Для библиотеки
купили 23 книги. Сколько потратили на покупку?
Комментарий. Проверяется умение различать текст, позволяющий решить
задачу, и похожий текст, в действительности не содержащий оснований,
требуемых для корректного решения; умение решать задачи на равномерные
процессы (прямую пропорциональную зависимость).
Ответ: 1058 руб. Должна быть выбрана и решена только первая задача.
Обоснование: во второй задаче книги могут иметь разную цену.
Типичные ошибки:
1) Выбор 2-й задачи т.к. она «короче», «проще», «в первой задаче имеются
ненужные данные»;
2) Утверждение, что задачи одинаковые.
Задание 7
Длина прямоугольника 6 см, а его ширина на 2 см меньше. Какова длина
стороны
квадрата,
имеющего
периметр,
равный
периметру
прямоугольника? Начерти этот квадрат.
Комментарий. Задание проверяет владение базовыми геометрическими
понятиями и умение решать текстовые задачи на основе геометрического
материала.
Ответ: 5 см, начерчен квадрат со стороной 5 см.
Типичные ошибки:
1) Перепутывание понятий периметра и площади (периметр прямоугольника
вычисляется как произведение сторон).
2) Вместо периметра находится сумма длины и ширины;
3) Условие «ширина на 2 см меньше» заменяется на «ширина равна 2 см»;
4) Решение не доводится до конца – ответ не на поставленный вопрос:
периметр равен 20 см.
Задание 8
В 5 классе 25 учащихся. Из них 17 человек изучают английский язык, а 16
человек – французский язык. Сколько человек изучают оба языка?
Комментарий. Задание требует моделирования ситуации, например, с
помощью схематического отрезочного чертежа или кругов Эйлера.
Ответ: 8 человек.
Типичные ошибки:
1) Произвольное манипулирование заданными числами, не приводящее к
ответу.
2) Непонимание условия: «Как могут 17 человек изучать английский язык и
17 – французский, если в классе всего 25 человек?»
Задание 9
Можно ли:
1) 125 карандашей разложить поровну в 5 коробок?
2) 125 карандашей разложить в 10 коробок?
3) 125 карандашей разложить поровну в 9 коробок?
4) 125 л воды разлить поровну в 9 вёдер, если вместимость каждого ведра
15 л?
Комментарий. Задание связано с одной из важных тем пятого класса –
"Признаки делимости", хотя вполне может быть выполнено с помощью
средств, доступных учащимся уже на данном этапе. Ведь для ответа на
вопрос, делится ли одно число на другое, можно просто попытаться
выполнить деление непосредственно. (К заданию целесообразно вернуться
при изучении признаков делимости.) Кроме того, в задании имеется
провокация
(«ловушка»): отрицательный ответ на вопрос 3 многие
автоматически переносят на вопрос 4.
Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) да.
Задание 10
Какой самый большой результат может получиться, если в сумме двух
трехзначных чисел А5В + ВС3 буквы заменить цифрами?
(Разные буквы заменяются разными цифрами.)
Комментарий. Задание проверяет умение использовать разрядный состав
числа для поиска чисел, удовлетворяющих заданным требованиям.
Ответ: 1832.
Типичные ошибки:
1) 1831 – учащийся правильно находит C = 7 (что достаточно просто), но из
двух вариантов (А = 9, В = 8) и (А = 8, В = 9) рассматривает только первый;
2) 1952 – игнорируется условие «разные буквы заменяются разными
числами»;
3) Решение не доводится до конца – находятся слагаемые, а не сумма.
Основные виды заданий
Виды заданий
Типичные ошибки
№ заданий
1. Работа по инструкции
Нарушения требований,
содержащихся в инструкции.
2
2. Умение видеть ошибки у
других
Недостаточное владение предметным
материалом, что не позволяет
обосновать собственную позицию.
5
3. Включение известного
способа действия в новую
ситуацию
Попытки обязательно получить ответ
вместо видения границы
применимости способа.
1
4. Задания, не связанные
напрямую с базовым
материалом НШ (мышление)
Неумение выявлять закономерности,
использовать известные способы
действия для их анализа.
3
5. Задания, требующие
анализа и моделирования, в
том числе, графического
Невладение средствами
моделирования, вместо этого 
произвольное манипулирование
данными.
4, 6,
7, 8
Основные виды заданий
Виды заданий
Типичные ошибки
№ заданий
6. Задания нового типа, но
допускающие возможность
решения ранее изученным
способом
Отказ от решения без попытки применить
известный способ.
9
7. «Ловушки»
Неумение анализировать ситуацию,
попытка действия по аналогии, хотя для
этого нет оснований. Неумение различать
ситуации с реальной и кажущейся
недостаточностью данных.
4, 6’, 9
8. Задания, требующие
удержания нескольких ,
возможно, кажущихся
противоречивыми, условий
Игнорирование части условий.
10
9. Задания, требующие
опробования вариантов.
Отсутствует сравнение вариантов по
требуемому критерию.
10