Производная. Взаимосвязь свойств функций и графиков

Производная.
Взаимосвязь свойств функций и графиков производных.
Цель:
Образовательная – обобщение и систематизация знаний по теме «Производная», показать
учащимся различные взаимосвязи между графиками функций и свойствами производных,
графиками производных функций и свойствами функции; научить ориентироваться в разнообразии
заданий, связанных с этой взаимосвязью.
Развивающая – способствовать развитию познавательного интереса учащихся, умения выделять
главное, сравнивать, анализировать.
Воспитательная – содействовать воспитанию чувства ответственности за результат и качество
выполняемой работы, умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу
товарища.
Оборудование и материалы для урока:
компьютер, экран (интерактивная доска), листы с заданиями для
учащихся, оценочные листы.
Ход урока.
I.
Организационный момент: - 1 мин
Мы изучали тему «Исследование функций с помощью производной»: находили критические
точки, производную, определяли свойства и строили график функции. Сегодня мы с вами
проведем обобщение темы «Производная», которая двумя заданиями В8 и В11 представлена в
КИМах единого экзамена, вопросы представленные в этих задания очень разнообразны:
исследование функции с помощью производной как через график производной функции
определить свойства самой функции.
Наша задача - научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками
функций и их производных.
II.
Повторение, актуализация знаний и устный счет. - 10 мин.
Откройте тетради. Запишите число и тему «Производная. Взаимосвязь свойств функций и
графиков производных».
1.Вычислите производные данных функций:
у = х3- 27 х;
у = 2cosx + 4x + 4;
y =17x2-e7х;
у = 7х3 - 51nх;
у = 2cosx - sin3x + 4,
y = 5tgx-4x + 9.
А теперь давайте рассмотрим график некоторой функции у = f(х), будем считать, что она
определена на всей числовой прямой.
? Вспомним, какие свойства функции связаны с её производной?
(возрастание, убывание, экстремумы функции).
? Напомните мне необходимое условие существования точек экстремума
если точка х0 является точкой экстремума, то
производная в этой точке равна нулю или не существует.
? А как мы определяем характер точек экстремума, точек максимума и минимума
если в точке х0 функция непрерывна и при переходе через
х0 производная меняет знак с + на – (- на +), то х0 – точка
максимума(минимума) функции.
? А как через производную мы определяем, что функция
1.возрастает на промежутках;
если f ‘(x)>0 в каждой точке интервала, то функция
возрастает на этом интервале.
2.точки экстремума функции;
3.убывает на промежутках.
если f ‘(x)<0 в каждой точке интервала, то функция
убывает на этом интервале.
(Выводы записать в тетрадь
f ‘(x)>0, то f (x)
если f ‘(x)=0, то это точки экстремума
если f ‘(x)<0 то f (x) )
 Итак, давайте ещё раз кратко повторим эти свойства: Быстро и четко отвечаем на вопрос
--если производная больше 0,то…..
функция возрастает
--если производная меньше 0,то…..
функция убывает
--если производная равна нулю или не существует в некоторых точках …
то в этих точках возможны точки экстремума
--если производная меняет знак при переходе через точку с + на -, то…
то это точка максимума
-- если производная меняет знак при переходе через точку с - на +, …
то это точка минимума.
 Можно поставить и обратную связь. Закончите мою мысль:
--Если функция возрастает на промежутке, то производная…..
больше 0
--Если функция убывает на промежутке, то производная ……..
меньше 0
--Если функция имеет точку максимума , то ……
в этой точке производная равна нулю или не существует и производная
меняет знак с + на -.
--Если функция имеет точку минимума, то.
в этой точке производная равна нулю или не существует и производная
меняет знак с – на +.
--А если график функции имеет точку перегиба ,то
в этой точке производная равна нулю или не существует, но
производная не поменяла свой знак.
Мы установили цепочку связей:
имея график функции мы можем определить свойства производной функции;
имея график производной функции можем определить свойства самой
функции.
Начертите схему зависимости функции и производной в тетрадь. (рядом с предыдущим выводом)
F/(х)
+
перегиба
+
мах
-
мин
+
F(х)
Математический диктант - 15 мин.
Возьмите оценочный лист. Отвечаем на вопросы. Без исправлений.
Один вопрос - 1 мин.
Задания на интерактивной доске.
1.Функция задана графиком .Укажите область определения этой функции.
2.Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции.
3.На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0.
Найдите значение производной в точке х0.
4.На рисунке изображен график функции у =f(x).Укажите в какой точке значение
производной отрицательно.
5.На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на промежутке [-5;5]. Укажите
точку, в которой производная равна 0.
6.Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b] На рисунке изображен ее график. В
ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна
оси Ох.
7.На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0.
Найдите значение производной в точке х0.
8.Функция у = f(x) определена на промежутке (- 4; 3). На рисунке изображен график ее
производной. Найдите точку , в которой функция у = f(x) принимает наибольшее значение.
9.На рисунке изображен график производной функции у =f /(x), заданной на промежутке (5; 5). Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков
убывания.
10.На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на промежутке [-4;5]. Укажите
промежуток, которому принадлежат все нули функции.
Проверка - вернуться в начало диктанта и проверить ответами ученика который остался без пары.
А теперь поменяйтесь с соседом по парте листочками.
Дать критерии оценок.
1 задание -1 бал.
• «5»-9-10б;
• «4»-7-8б;
• «3»-5-6б;
• «2»-4б.
IV. Закрепление. - 17 мин.
Мы с вами еще раз повторили взаимосвязи f(x)
f/(x)
/
f (x)
f(x)
График f(x)
графикf/(x)
А теперь подведем итог. Работа идет одновременно – весь класс выполняет работу с тестом, а
сильный ребенок у доски строит график функции у = 2+5х3 – 3х5;
1.Тест - карточка ( разнообразные задания на все прототипы заданий базы данных). Приложение
2. Построение графика функции
1. у = 2+5х3 – 3х5;
2.На интерактивной доске с помощью программы «Графики» построить график
функции и график производной.
3.Показать взаимосвязь графиков функций. Исследовать функции.
VI Итог урока - 1 мин.
Сегодня на уроке мы установили различные взаимосвязи и рассмотрели разнообразные
задания, связанные с графиками функций и графиками производных и их свойствами. Эти задания
хороши тем, что на их выполнение можно потратить очень мало времени, т.к. они не требуют
решений и вычислений: посмотрел на график – оценил – записал ответ. А на Едином
Государственном Экзамене это очень важно быстро и правильно отвечать на вопросы.
VI. Домашняя работа- 1 мин..
Дома проверьте, как вы разобрались в взаимосвязях графиков функций и производных. Вам
необходимо построить графики производных по графикам функций (задания на карточках) и
ответить на вопросы теста II варианта. Приложение.
Литература:
1.Колмогоров А.Н. учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11
класс» - М.: Просвещение, 2009.
2. .Мордкович А.Г.задачник «Алгебра и начала анализа 10 -11 класс » М:Мнемозина,2009.
Самоанализ урока.
Урок является одним из уроков обобщения и систематизации знаний по теме«Производная.
Взаимосвязь свойств функции и графиков производных».
Мною были поставлены цели:
показать учащимся различные взаимосвязи между графиками функций и свойствами
производных, графиками производных функций и свойствами функции; научить ориентироваться в
разнообразии заданий, связанных с этой взаимосвязью;
способствовать развитию познавательного интереса учащихся, умения выделять главное,
сравнивать, анализировать;
содействовать воспитанию чувства ответственности за результат и качество выполняемой
работы, умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу товарища.
При планировании урока учитывала, что класс в целом имеет средние познавательные
способности и что на ЕГЭ очень важно уметь быстро сосредоточиться, суметь выделить главное и
быстро ориентироваться в разнообразии заданий, были выбраны задания посильные как для
слабого ученика так и для хорошо успевающего.
Дифференцировался объем и содержание заданий и степень помощи, оказанной учителем.
Повторении свойств функций с использованием презентаций с элементами анимации,
выделением различным цветом графиков функций даёт возможность очень наглядно показать
учащимся сущность каждого свойства функции; яркое выделение объектов графиков даёт
возможность более доступного перехода от свойств производной к свойствам функции,
способствует большему объёму выполненных заданий, познавательной активности учащихся,
делает предмет более доступным, поэтому дети не были перегружены.
Считаю, что удалось реализовать все цели урока