2. Найти производную функции

Тема: «Вычисление производной»
Хадиуллина Фирдавса Рахимшиновна
Учитель математики первой квалификационной категории
МОУ «Гимназия №1» ЕМР
Цель урока: закрепление формул производных основных функций и правил
дифференцирования, формирование умений нахождения производных
функций, развитие умения преодоления трудностей при решениях задач,
воспитание ответственного отношения к учебному труду.
План урока:
1. Повторение теоретического материала.
2. Решение примеров.
3. Примеры для самостоятельного решения.
4. Тесты для самостоятельного решения.
1.1. Производная функции ƒ(x) в точке 𝑥0 определяется как число, к которому
стремится отношение
∆ƒ(𝑥)
∆𝑥
=
ƒ(𝑥0 +∆𝑥)−ƒ(𝑥0 )
∆𝑥
при ∆𝑥, стремящемся к нулю.
Таблица производных
Производные элементарных функций
ƒ(𝑥)
ƒ΄(𝑥)
С
0
кх + 𝑏
k
𝑥𝑛
𝑛𝑥 𝑛−1
√𝑥
1
2 √𝑥
𝑒𝑥
𝑒𝑥
𝑎𝑥
𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎
ln x
1
𝑥
1
𝑥𝑙𝑛𝑎
log 𝑎 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
− 𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑡𝑞 𝑥
1
𝑐𝑜𝑠²𝑥
1
−
𝑠𝑖𝑛²𝑥
𝑐𝑡𝑞 𝑥
1
1.2. Производную функций вида 𝑓(𝑥) =
𝑛
, 𝑓(𝑥) = √𝑥 и 𝑓(𝑥) =
𝑥𝑛
1
𝑛
√𝑥
можно
вычислить, применяя производную (𝑥 𝑛 )΄ = 𝑛𝑥 𝑛−1 .
1
𝑛
(𝑥 𝑛 ) ΄ = (𝑥 −𝑛 )΄ = −𝑛𝑥 −𝑛−1 = − 𝑥 𝑛+1 ;
𝑛
1
( √𝑥 )΄ = (𝑥 𝑛 ) ΄ =
1
−1
1
𝑛
1
𝑥 𝑛−1 =
1
−1
1
𝑛
( 𝑛 𝑥) ΄ = (𝑥 𝑛 )΄ = − 𝑛 𝑥 𝑛 −1 =
√
𝑥
1−𝑛
𝑛
1
𝑛
𝑥
=
1
𝑥
𝑛
−(𝑛+1)
𝑛
−(𝑛−1)
𝑛
= −
=
1
𝑛
𝑛 √𝑥 𝑛−1
1
𝑛
𝑛 √𝑥 𝑛+1
;
.
В частности :
ƒ(x)
1
𝑥
1
𝑥²
3
√𝑥
ƒ΄(x)
1
𝑥²
2
−
𝑥³
1
−
3
3 √𝑥²
1
√𝑥
1
3
√𝑥
−
−
1
2√𝑥 3
1
3
3√𝑥 4
1.3. Вычисление производной называется дифференцированием функции.
Основные правила дифференцирования
Пусть с – константа, а u(x) и v(x) имеют производную в некоторой точке 𝑥0 .
Тогда функции 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥), 𝑐 ∙ 𝑢(𝑥), 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥),
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
(где 𝑣(𝑥) ≠ 0) также
имеют производные в этой точке, причем
1) (𝑢 ± 𝑣)΄ = 𝑢΄ ± 𝑣΄;
2)( 𝑢 ∙ 𝑣)΄ = 𝑢΄𝑣 + 𝑢𝑣΄, в частности, (𝑐𝑢)΄ = 𝑐 ∙ 𝑢΄;
𝑢
3) ( ) ΄ =
𝑣
𝑢΄𝑣−𝑢𝑣΄
𝑣²
Если
4)
с
𝑐𝑣΄
𝑣
𝑣²
, в частности, = −
функция
g
;
дифференцируема
в
точке
𝑥0 ,
а
функция
ƒ
дифференцируема в точке 𝑔(𝑥0 ), то функция ƒ(𝑔(𝑥)) также дифференцируема
в точке 𝑥0 , причем (ƒ(𝑔(𝑥0 )))΄ = ƒ΄(𝑔(𝑥0 )) ∙ 𝑔΄(𝑥0 ).
Если при x = 𝑥0 существует производная некоторой функции ƒ(x), то в точке
графика этой функции с абсциссой 𝑥0 можно провести касательную к нему,
причем её угловой коэффициент равен значению производной в точке 𝑥0 .
𝑘 = 𝑡𝑔𝛼 = ƒ΄(𝑥0 ).
Уравнение касательной к графику функции ƒ(𝑥) в точке (𝑥0 ; ƒ(𝑥0 )):
𝑦 = 𝑓(𝑥0 ) + ƒ΄(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ).8
2. Примеры для закрепления
Пример 1. Найти производную функции
5
ƒ(𝑥) = 5𝑥 4 − 7𝑥 3 − 2√𝑥 + .
𝑥
ƒ΄(𝑥) = 4 ∙ 5𝑥 3 − 3 ∙ 7𝑥 2 − 2 ∙
Решение:
−
1
√𝑥
−
5
𝑥²
1
2√𝑥
1
+ 5 ∙ (− 2) = 20𝑥 3 − 21𝑥 2 −
𝑥
.
Пример 2. Найти производную функции 𝑓(𝑥) = (−5𝑥 + 11)³.
Решение.
ƒ΄(𝑥) = 3 ∙ (−5𝑥 + 11)2 ∙ (−5𝑥 + 11)΄ = 3 ∙ (−5𝑥 + 11)2 ∙ (−5) =
= −15(−5𝑥 + 11)².
Пример 3. Найти производную функции ƒ(𝑥) = √2 − 3𝑥³.
Решение.
ƒ΄(𝑥) =
1
2√2−3𝑥³
∙ (2 − 3𝑥³)΄ = −
9𝑥²
2√2−3𝑥³
.
Пример 4. Найти производную функции ƒ(𝑥) = 𝑥² 𝑙𝑔2𝑥.
Решение.
ƒ΄(𝑥) = (𝑥 2 )΄ 𝑙𝑔2𝑥 + 𝑥 2 (𝑙𝑔2𝑥)΄ = 2𝑥 𝑙𝑔2𝑥 + 𝑥 2
(2𝑥)΄
𝑥
= 2𝑥 𝑙𝑔2𝑥 +
=
2𝑥𝑙𝑛10
𝑙𝑛10
=2𝑥 𝑙𝑔2𝑥 + 𝑥 𝑙𝑔𝑒 = 𝑥(2 𝑙𝑔2𝑥 + 𝑙𝑔𝑒) = 𝑥(𝑙𝑔4𝑥² + 𝑙𝑔𝑒) = 𝑥 𝑙𝑔4𝑒𝑥²
Пример 5. Найти производную функции ƒ(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥.
Решение.
ƒ(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 =
ƒ΄(𝑥) = (
1
2
𝑠𝑖𝑛6𝑥)΄ =
1
2
1
2
2 𝑠 𝑐𝑜𝑠3𝑥 =
1
2
𝑠𝑖𝑛6𝑥;
𝑐𝑜𝑠6𝑥 ∙ 6 = 3𝑐𝑜𝑠6𝑥.
Пример 6. Найти значение производной функции 𝑦 = 4𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥 в точке
𝑥0 = 𝜋.
Решение.
𝑦΄(𝑥) = 4 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥;
𝑦΄( 𝜋) = 4 + 3𝑐𝑜𝑠 𝜋 = 4 + 3 ∙ (−1) = 1.
Пример 7. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции
𝑦 = 3𝑙𝑛𝑥 + 5,2 в точке с абсциссой 𝑥0 = 6.
Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с
абсциссой 𝑥0 равен значению производной функции в точке 𝑥0 .
3
𝑦΄(𝑥) = ; 𝑦΄(6) = 0,5.
𝑥
Пример 8. Материальная точка движется по прямой так, что её координата в
момент времени t равна 𝑥(𝑡) = 𝑡² + 𝑒 2−𝑡 . Найти скорость точки в момент
времени 𝑡 = 2.
Решение. Скорость
координаты x(t).
материальной точки v(t) является производной её
𝑣(𝑡) = 𝑥΄(𝑡) = 2𝑡 + 𝑒 2−𝑡 ∙ (−1) = 2𝑡 − 𝑒 2−𝑡 ;
𝑣(2) = 2 ∙ 2 − 𝑒 0 = 4 – 1 = 3.
Пример 9. Найти абсциссу точки графика функции 𝑦 = 2√𝑥 + 5, касательная в
которой параллельна прямой 𝑦 = 2𝑥 – 1.
Решение. Угловой коэффициент данной прямой равен 2, значит, угловой
коэффициент касательной, параллельной этой прямой, также равен 2.
Поскольку угловой коэффициент касательной к графику функции равен
значению производной этой функции в точке касания, получаем
(2√𝑥 + 5)΄ = 2;
1
√𝑥
= 2 ; отсюда 𝑥 = 0,25.
3. Задания для самостоятельного решения
1. Найти производную функции ƒ(𝑥) = (7𝑥 + 4)5 .
2. Найти производную функции ƒ(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛5𝑥.
3. Найти значение производной функции 𝑦 = 6𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 в точке 𝑥0 = 0.
4. Найти значение производной функции 𝑦 =
2𝑥
1
4𝑥+3
в точке 𝑥0 = .
4
5. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции
𝜋
𝑦 = 2𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 в точке с абсциссой 𝑥0 = .
2
6. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции
𝑦 =
1
3
𝑥³ − 7𝑥 + 5 в точке с абсциссой 𝑥0 = 6 .
7. Материальная точка движется по прямой так, что её координата в момент
времени t равна 𝑥(𝑡) = 𝑡 4 − 𝑒 5−𝑡 . Найти ускорение точки в момент времени
𝑡 = 5.
8. Найти производную функции ƒ(𝑥) = √2𝑥³ − 3𝑥² + 5.
9. Найти производную функции ƒ(𝑥) =
𝑠𝑖𝑛𝑥
+ 1.
𝑐𝑜𝑠2𝑥
10. Найти производную функции ƒ(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑒 2𝑥
+ 𝑥.
11. Функция y  f ( x) определена на
y
промежутке (4;5) . На рисунке изображен
y = f (x)
график ее производной. Найдите число
касательных к графику функции y  f ( x) ,
0
которые наклонены под углом в 45 к
положительному направлению оси абсцисс.
12. Функция у = f (x) задана на отрезке [a; b].
На
рисунке
изображен
график
ее
производной у = f (x).
на
монотонность
3
1
o
Исследуйте
у = f (x).
2
1
x
6
y
y = f (x)
функцию
b
a
В ответе укажите количество промежутков,
на которых функция возрастает
0
x
4. Тест для самостоятельного выполнения
А1. Найти значение производной функции f(x)=(3 - x 2 )( x 2 + 6) в точке х0 =1
1) -1
2) 2
3) 14
4) -4
А2. Найти производную функции f(x) =
𝑐𝑡𝑞 𝑥
1+𝑐𝑡𝑞²𝑥
1) cos2x
2) - cos2x
3) 2 cos2x
4) 2 cosx
А3. Написать уравнение касательной к функции у = х - 2 𝑥 2 - 1 в точке х0 =1
1) у = -3х – 6 2) у = 3х – 4 3) у = -3х +1 4) у = -3х -1
А4. Через точку графика функции у = ех – х 2 с абсциссой х0 = 1 проведена
касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.
1) e – 2
2) – 1
3) e – 1
4) – 2
А5. Найдите производную функции y  ( x  3)cos x .
1) у  cos x  ( x  3)sin x
2)
у  ( x  3)sin x  cos x
3)
у  cos x  ( x  3)sin x
4)
у   sin x
А6. На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке
а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1.
1)
2)
y
y
y=g(x)
y=f(x)
0
3)
a
-1 1
1
a
1
-1 0 1
x
x
4)
y
y
y=h(x)
0
-1
1
1 a
x
-1 1 1
0 a
-1
y=p(x)
x
А7. Укажите абсциссу точки графика функции f ( x)  5  4 x  x 2 , в которой
угловой коэффициент касательной равен нулю.
1) 0
2) 2
3) – 2
4) 5
А8. Функция y  f ( x) определена на
промежутке (– 3; 7). На рисунке
изображен график ее производной.
Найдите точку x , в которой функция
0
y  f ( x) принимает наибольшее
у
у = f (x)
1
–3
7
1
х
0
значение.
1) 0
2) 2
3) – 1
4) 1