Методический блок по работе над серией задач по теме: «ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ

Методический блок по работе над серией
задач по теме: «ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ» в курсе алгебры 7 класса.
Кожевникова В.И., учитель математики
высшей категории МОУ «Средняя
общеобразовательная школа №8 им.
А.С.Пушкина», г.Черемхово
Иркутской области
2006 – 2007 уч.год
Каким должно быть
учение и
преподавание,
чтобы можно было
говорить о
развитии именно
творческих
способностей
учащихся?
А.Я.Пономарев в своих исследованиях
показал, что основной составляющей
творческого мышления является «логический механизм» и «интуитивный опыт».
Следовательно основной задачей в
обучении можно считать задачу формирования и умения мыслить по
аналогии, умений обобщать, умения
анализировать, наблюдать и делать
выводы. И в этой ситуации одним
из основных средств достижения
цели является упражнение.
•носитель действий ( с точки зрения содержания)
• одна из форм проявления методов обучения
• средство целенаправленного формирования ЗУНов (как средство обучения)
• один из способов организации и управления учебно-познавательным процессом
(в деятельностном плане)
О составлении упражнения по аналогии, обобщенного упражнения,
упражнения с использованием данных, говорил П.М.Эрдниев: «Умозаключение по аналогии является непременной составляющей творческого
мышления, так как этим путем мысль человека выходит за рамки известного, пролагая путь к неизвестному». Действительно, решение готовой
задачи, даже очень сложной по уровню, менее ценно в личностном плане,
нежели составление и решение своей задачи. Л.С.Рубинштейн в своих
исследованиях отмечает, что деятельность, построенная по схеме: анализ
через синтез, способствует развитию творческого мышления.
Решить задачу, составив уравнение; по полученному числовому
тождеству составить новое уравнение; составить и решить новую задачу,
то , очевидно, такая учебная деятельность направлена на развитие и
приобретение навыков творческой и исследовательской деятельности…
Рассматривая упражнение как многоаспектное явление в обучении, можно
говорить, что именно работа над упражнением развивает определенные
свойства и качества личности школьника; умение обобщать, мыслить
аналогиями, умение наблюдать, анализировать.
«Знание усваивается более полно тогда, когда видишь процесс
его зарождения»
«Предоставьте учащимся возможность участвовать в составлении
задачи, которую им придется решать. Если ученики внесли свой вклад
в постановку задачи, то они будут гораздо активнее работать над её
решением, тем самым будет развиваться желательный склад ума.»
Математическое открытие. Д.Пойя
Составление задач по аналогии с решенной
Э т а п ы р а б о т ы.
1. Решается задача.
2. Предлагается составить подобную задачу, выполняя пошаговые действия
* составить тождество; наметить размер фигуры, допустить изменение её
сторон
* преобразовать в уравнение
* сформулировать условие задачи
3. Работа в парах ( составление задачи для соседа→ решение задачи→
оформление листа- кто составил, кто решал, текст задачи, решение)
М О Д У Л Ь 1. Обучение составлению задач по алгоритму.
Р е ш а е м з а д а ч и:
Каждую сторону квадрата увеличили на 2 м, отчего площадь
квадрата увеличилась на 20 кв.м. Чему была равна сторона
квадрата вначале?
1.
2
( х + 2 )2 – х2 = 20
х
2
S2 > S1 на 20 кв.см
2
2.
х
Каждую сторону квадрата уменьшили на
2 м, отчего площадь квадрата уменьшилась
на 20 кв.м. Чему была равна сторона квадрата вначале?
2
S1 > S2 на 20 кв.см
Х2 – ( х – 2 )2 = 20
Как же мне составить для вас новую похожую задачу?
1. Запишем тождество:
х2 – ( х – а )2 = в
Придадим х и а какие - либо значения, чтобы вычислить значение в.
Пусть х =30, а = 3, тогда в = 302 – ( 30 – 3 )2 = 900 – 719 = 181
2. Запишем уравнение:
х2 – ( х – 3 )2 = 181
3. Сформулируем задачу.
Сторону квадрата уменьшили на 3 см.
Найти сторону квадрата, если площадь
нового квадрата на 181 кв.см меньше
площади исходного квадрата.
4. Составим задачу для своего соседа.
ТОЖДЕСТВО→УРАВНЕНИЕ→ЗАДАЧА
Следуй указаниям: * выбери тождество;
* придай числовые значения х и а и вычисли значение в
* запиши уравнение, заменив а и в числами
* запиши текст задачи
М О Д У Л Ь 2. .Усложнение задач с изменением первого этапа.
Составим задачу №1 по уравнению:
( х – 3 ) ( х + 7 ) – х2 = 105
•Что может означать выражение х2 ?
• Что может означать выражение х-3 и х+7 ?
• Что означает произведение х-3 на х+7 ?
3
Х-3
х
7
Х+7
Задача №2. Одну сторону квадрата уменьшили на 3 см, а другую – увеличили
на 7 см. Определить сторону квадрата, если его площадь меньше на 105 кв.см,
чем площадь получившегося прямоугольника.
Составьте задачу по уравнению:
х2 – (х – 7) (х + 3) =53
Используя алгоритм: тождество → уравнение → задача, составьте задачу
для соседа.
Составим задачу №3 по уравнению:
(х + 2) (х + 8) – х (х + 6) = 56
*Попробуйте догадаться, о каких фигурах пойдет речь в
этой задаче. Ответ обоснуйте.
•Если второй прямоугольник имеет меньшие размеры, то
он может поместиться внутри первого. Тогда задача может
приобрести сюжет.
1м
1м
х
Х+6
Х+2
Длина бассейна прямоугольной
формы на 6м больше его
ширины. Ширина дорожки вокруг
бассейна равна 1м, а площадь
дорожки равна 56 кв.м.
Определите размеры бассейна.
Х+8
Используя алгоритм: тождество → уравнение → задача, составьте задачу
для соседа.
М О Д У Л Ь 3. Задачи в общем виде с параметрами
Составить задачу по тождеству, записать уравнение и сформулировать её.
* Как изменили сторону квадрата в каждом случае?
1.
х2 - (х – а )2 = S1 – S2
Каждую сторону уменьшили на число а
2 ( х + а )2 – х2 = S2 – S1
Каждую сторону увеличили на число а
3. (х + а )( х + в ) – х2 = S2 – S1
Обе стороны увеличили на числа а и в
4. x ( х + а ) – х2 = S2 – S1
Одну сторону увеличили на число а
5. ( х – а ) ( х + в ) – х2 = S2 – S1
Одну сторону уменьшили на число а, а
другую увеличили на число в, где а < в
6. x2 – (x – a ) ( x + в ) = S1 – S2
Одну сторону уменьшили на число а, а
другую увеличили на число в, где а > в
7. x2 – (x – a ) (x – в ) = S1 – S2
Обе стороны уменьшили на числа а и в
Задача для мозгового штурма
* Дать геометрическую иллюстрацию тождеству:
х (х + а) – (х - 2в) (х + а – 2в) = S1- S2
* Составить уравнение по тождеству.
* Сформулировать задачу.
в
в
в
х-2в
Х
Пусть х = 20, а = 10, в = 1,5
Тогда
S1- S2 = 20(20+10)-(20-3)(20+10-30)=
= 141
Получим уравнение:
х ( х + 10 ) - ( х – 3 ) ( х + 7 ) = 141
х+а-2в
в
х+а
Задача. Ширина дорожки вокруг
бассейна прямоугольной формы
равна 1,5 м. Длина внешнего размера бассейна на 10 м больше его
ширины. Определить размеры
бассейна.
Методические рекомендации по использованию модулей.
М О Д У Л Ь 1. Обучение составлению задач по алгоритму.
Если следовать учебнику под редакцией С.А.Теляковского, то данный модуль
можно включить после изучения пункта «Сложение и вычитание многочленов»,
когда необходимо создать серьезную мотивацию на необходимость овладения
навыками преобразования многочленов. Учащимся, да и самому учителю,
надоедает скучная и однообразная работа по преобразованию многочленов,
ученики не видят смысла заниматься этим, так как стоит вопрос: «А зачем?
Где они вообще нужны? Нужны ли?»
В данном модуле сначала решается две похожих задачи с обязательной
геометрической иллюстрацией, предваряющей составление уравнения. На
этом этапе учащиеся ещё не могут решить получившиеся уравнения, но в
этом и состоит интрига мотивации на будущее, а именно: «Уравнение,
содержащее многочлены, получается при решении задач, хочется завершить
её решение, но мы не можем это сделать, так как не умеем выполнять
преобразование многочленов. Остаётся – набраться терпения и научиться
выполнять все необходимые преобразования». Разве это не мотивация?!
А сколько воспитательных моментов, плюс развитие волевой сферы!
На втором этапе в данном модуле нужно сделать серьезный акцент на пошаговое выполнение алгоритма: тождество→уравнение→задача. Мотивация
учащихся достаточно высока от того, что они выступают в роли авторов
учебников, которые придумывают «замысловатые» задачи, а на самом деле,
не такие уж они и «замысловатые».
Сначала следует хороший показ составления задачи учителем. Затем это
может проделать у доски достаточно подготовленный сильный ученик. После
чего организуется работа в парах. Пары должны быть неоднородные, более
сильный ученик, составив задачу, может отложить ее в сторону и поучить
более слабого ученика составлению задачи. Пусть они вместе составят
задачу ученику из другой пары. По окончанию работы оформляются листы,
где указывается кто составил задачу и кому она предназначена для решения.
Учитель собирает листы и хранит их до того момента, когда учащиеся овладеют необходимыми навыками, чтобы решить получающиеся уравнения и
завершить решение задачи.
М О Д У Л Ь 2. .Усложнение задач с изменением первого этапа.
Данный модуль включается в ходе изучения темы «Произведение многочленов» с той же целью: создание мотивации на необходимость овладения навыками преобразования многочленов. Чтобы работа с модулем
стала продуктивной необходимо провести припоминание предыдущего
модуля, что несложно сделать с помощью слайдов №5 и №6.
В этом модуле учащиеся с помощью учителя проводят анализ уравнения
и через осознанное понимание каждой части уравнения формулируют
задачу. Таких задач предлагается две. Далее строится работа в парах
по прежнему алгоритму: тождество→уравнение→задача. Завершается
работа оформлением листов, которые хранятся у учителя.
В задаче №3 необходимо провести подробный анализ уравнения, что
позволит выйти на сюжетную задачу. При этом мотивация ещё более
повышается. И снова работа в парах по прежнему алгоритму :
тождество→уравнение→задача. Завершается работа оформлением
листов. Те же плюсы воспитания и развития, что и в модуле 1.
М О Д У Л Ь 3. Задачи в общем виде с параметрами
Это наиболее сложный модуль и он должен начаться с припоминания
предыдущей работы, что несложно выполнить с помощью слайдов
№7 - №10.
Работу с тождествами можно организовать в небольших неоднородных
группах. Учащиеся должны провести глубокий анализ своего
тождества и ответить на поставленный вопрос: как изменили сторону
квадрата? После прослушивания ответов они работают по алгоритму
тождество→уравнение→задача. Достаточно составить в каждой группе
по одной задаче. Оформление листов завершает данный этап в модуле.
Завершает работу над модулем задача для мозгового штурма. В зависимости
от состава класса, над этой задачей можно организовать работу не со всеми
учащимися, а с наиболее подготовленными. Другим же учащимся в это время
предлагается работа по составлению задач по любому из тождеств №1 -№7.
Желающим предлагается в качестве домашнего задания составить подобную
задачу для своего одноклассника.