Волновая функция

Волновая функция
Математический формализм, с помощью которого устраняется
парадокс, ставит в соответствие каждой частице амплитуду
вероятности (x,y,z,t), которая представляет собой функцию
координат и времени. Вероятность обнаружить частицу в
произвольный момент времени t в любой точке х, у, z
пропорциональна |(х,у,z,t)|2, т.е. интенсивности. Квадрат модуля
используют потому, что , вообще говоря, комплексная функция.
Формально она обладает свойствами классических волн, и
поэтому ее часто называют волновой функцией.
Если событие может произойти несколькими взаимно
исключающими способами (как, скажем, при прохождении частицы
через одну из щелей А или В), то амплитуда вероятности этого
события представляет собой сумму амплитуд вероятностей каждого
из способов:
 = 1 + 2 (принцип суперпозиции).
Это утверждение совпадает с правилом сложения амплитуд волн в
оптике. В рассмотренном выше примере 1 описывает волну,
проходящую через щель А, а 2 – через щель В. На экране обе
волновые функции перекрываются и дают классическую
интерференционную картину от двух щелей, причем направление на
n-й максимум определяется выражением sinn = n/d.
Этот формализм составляет основу квантовой механики.
Интересно выяснить, какой механизм прячется за этим законом?
Никому никакого механизма отыскать не удалось. Нет
представлений о более фундаментальной механике, из которой
можно вывести эти результаты.
Рис. 35. Прохождение
электронов через две щели
пучка
Пусть в точке Р (рис. 36) находится счетчик Гейгера. Амплитуда
волны, прошедшей через щель А и достигшей точки Р, в условных
единицах равна А = 2, а в случае щели В мы имеем В = 6. Если
открыта только щель А, то в точке Р ежесекундно регистрируется
100 электронов.
Найдем:
а) Сколько электронов регистрируется ежесекундно, если открыта
только щель В.
б) Если открыты обе щели и происходит конструктивная
интерференция, то определим число ежесекундно регистрируемых
электронов.
в) То же, но в случае деструктивной интерференции.
Отношение интенсивностей волн  2В /  2=
36/4 = 9. Следовательно,
А
через щель В проходит ежесекундно в 9 раз больше частиц, чем
через щель А, т.е. 900 электронов.
В случае «б» полная амплитуда волны  = А + В, или  = 8.
Поскольку 2 = 16  2А , то в точке Р будет регистрироваться 1600
электронов в секунду.
В случае «в» А и B должны иметь противоположные знаки, чтобы
ослаблять друг друга. Следовательно,  = 2 – 6 = –4. Теперь 2 = 16,
2

т.е. в 4 раза больше .А Это соответствует регистрации
400
.
.
электронов в секунду.
Рассмотрим распределение интенсивности в интерференционном
опыте с двумя щелями, если щель В пропускает в 4 раза больше
электронов, чем щель А.
2
2
 В  2.АПолная интенсивность в
В этом случае  В  4 А или
максимуме пропорциональна (А + В)2 или Iмакс = ( А  2 A )2  9 2A
Интенсивность в минимуме равна I мин  ( А  2 А )2   2А
Следовательно, отношение Iмакс/Iмин = 9. Распределение
интенсивности описывается выражением I = IА[5 + 4cos k(rВ – rА)],
где rА и rВ – расстояния от экрана до щелей А и В соответственно.
Изложенный формализм порождает ряд вопросов, требующих
дальнейшей физической интерпретации. Допустим, что мы
выпускаем
по
одному
электрону.
Согласно
волновым
представлениям, каждому электрону сопоставляется цуг волн, или
волновой пакет, расщепляющийся поровну между двумя щелями.
Однако поместив за щелью А счетчик Гейгера, камеру Вильсона или
иной детектор частиц, мы увидим, что через щель никогда не
проходит половины электрона. В этом сущность атомизма, который
совместим с гипотезой о том, что интенсивность волны за щелью А
характеризует вероятность найти электрон (целиком!) в этом месте.
Если детектор поместить за щелью А, то интерференционная
картина сгладится и получится классический результат. Наличие
детектора изменяет результат, превращая интерференционную
картину (рис. 35) в классическую (рис. 34). Многие физики,
включая Эйнштейна, пытались придумать такой опыт, в результате
которого можно было бы, не нарушая интерференционной картины,
установить, через какую именно щель прошла данная частица;
однако все эти попытки потерпели неудачу.
Но что же все-таки представляют собой «волны», отвечающие
электронам? На этот вопрос следует ответить так же, как в случае
фотонов. Электромагнитные волны свободно распространяются в
пустом пространстве. В отличие от механических волн в этом
случае не существует среды, совершающей колебательное
движение.
Волновая функция  не является непосредственно наблюдаемой
величиной, и в этом смысле ничто не совершает колебательного
движения. Проблемы квантовой механики решаются с
математической точки зрения аналогично задаче о волнах в
жидкости или другим классическим волновым проблемам.
Классические волны и волны, отвечающие частицам, подчиняются
математическим уравнениям одного и того же типа. Но в
классическом
случае
амплитуда
волны
непосредственно
наблюдаема, а  нет.
В 1926 г. М. Борн так сформулировал вероятностный смысл
волновой функции в квантовой механике:
Квадрат модуля волновой функции (x,y,z,t) определяет
плотность вероятности W того, что в момент времени t  0
частица может быть обнаружена в точке пространства M =
M(x,y,z) с координатами x, y и z:
dP
2
w
dV

Вероятность того, что для заданного квантового состояния частицы
в некоторый момент времени мы обнаружим частицу в
элементарном объеме dV, окружающем точку M, равна
dP = ||2 dV = * dV .
Вероятностный смысл волновой функции накладывает ограничения
на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти
стандартные условия часто называют условиями регулярности
волновой функции. Они включают в себя:
1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция
не может принимать бесконечных значений, таких, что
интегралы
2
P   * dV
или
P   dV

V

V
станут расходящимися. Таким образом, это условие требует, чтобы
волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В
частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат
модуля волновой функции должен стремиться к нулю на
бесконечности.
2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция
должна быть однозначной функцией координат и времени, так как
плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться
в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием
цилиндрической или сферической системы координат условие
однозначности приводит к периодичности волновых функций по
угловым переменным.
3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент
времени волновая функция должна быть непрерывной функцией
пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны
быть также частные производные волновой функции d/dx, d/dy,
d/dz.
Эти частные производные волновой функции лишь в редких
случаях задач с идеализированными силовыми полями могут
терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная
функция, описывающая силовое поле, в котором движется частица,
испытывает разрыв второго рода.
Принцип суперпозиции квантовых состояний  одно из важных
свойств квантовых состояний, которое формально является
следствием линейности уравнения Шредингера для волновой
функции, которое будет обсуждаться ниже. Из линейности этого
уравнения следует, что если частица может находиться в
квантовом состоянии, описываемом волновой функцией 1, а
также в другом квантовом состоянии, описываемом волновой
функцией 2, то эта частица может также находиться в
состоянии, описываемом волновой функцией
 = С1 1 + С2 2,
где C1 и C2 – в общем случае комплексные числа.
Можно говорить и о суперпозиции любого числа квантовых
состояний, которая описывается волновой функцией N
 = С1 1 + С2 2 + …+ СN N =  Cn n .
n 1
В таком состоянии квадрат модуля коэффициента Cn определяет
вероятность того, что при измерении, проведенном над системой с
волновой функцией , мы обнаружим ее в квантовом состоянии,
описываемом волновой функцией n. Для нормированных
N
волновых функций
2
C
n 1
n
 1.
Квантовомеханический принцип суперпозиции состояний не
имеет аналога в классической механике. В классической теории
свободная частица в данный момент времени движется либо в
одном направлении в пространстве, либо в другом направлении.
Квантовая частица, состояние которой описывается волновой
функцией, являющейся суперпозицией двух плоских волн де Бройля
i
i
i

px
 px   Et
x, t    C1 e   C 2 e   e 


одновременно движется и вправо вдоль оси x, и влево. С точки
зрения классической механики такой ответ абсурден. С позиций
квантовой механики это означает, что при проведении серии опытов
по обнаружению направления движения частицы, находящейся в
таком квантовом состоянии, с вероятностью P1 ~ C12 будет получен
ответ, что частица движется вправо вдоль оси x, а с вероятностью P2
~ C22, что частица движется влево.
Точно так же в состоянии, являющемся суперпозицией двух
плоских волн де Бройля, распространяющихся в направлениях
вдоль осей x и y, когда
i
i
i

px
 py   Et
x, y, t    C1 e   C 2 e   e 


нет однозначного ответа на вопрос «куда движется частица?». Ответ,
что частица движется и в направлении оси x, и в направлении оси y,
не означает, что она движется вдоль биссектрисы угла между осями
x и y. Такой ответ означает, что это движение, в котором следует
считать, что частица с некоторой вероятностью движется вдоль оси
x, а с некоторой вероятностью  вдоль оси y. Такой результат будет
получен в серии измерений направления движения частицы.
Столь необычный ответ квантовой механики казалось бы на
простой вопрос не является чисто теоретическим абстрактным
результатом. В современных информационных технологиях,
разрабатывающих квантовые компьютеры, возможно использование
логического элемента не только с двумя состояниями «0» и «1», но и
элементов, которые могут находиться в состояниях суперпозиции
нуля и единицы с некоторыми вероятностями. Такие элементы
существенно изменяют принцип
работы компьютера и позволяют создавать алгоритмы, значительно
повышающие быстродействие и эффективность переработки
информации.
Возможность состояний, в которых данная физическая величина не
имеет
определенного
значения
и
которые
получаются
суперпозицией состояний с определенным значением этой
величины, является характерной чертой квантовой механики,
принципиально отличающей ее от классической механики. Описать
такое «смешанное» состояние одной частицы на языке классической
механики невозможно.
В случае фотонов понятно, так как волна делится на две части,
которые интерферируют.
Но электрон неделим и локализован в одной точке при попадании
на фотопластинку. Значит, движение частицы подчиняется
вероятностным законам.
Интерференционная картина лишь характеризует
попадания электрона в определенную точку экрана.
вероятность
Единственный способ «объяснения» этого явления - создание
математического формализма, который естественно должен быть
непротиворечив и как бы объяснять прохождение электрона через
две щели.
В его основе - каждой частице поставлена в
соответствие некоторая комплексная функция .

 (r , t )   ( x, y, z, t ).
Поскольку формально она обладает свойствами классической
волны ее назвали волновой функцией -  (пси - функция)
в связи с тем, что нельзя указать через какую щель проходит
электрон, понятие траектории теряет смысл.
15