Метод следов

Метод следов
Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани
многогранника. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие
одновременно в секущей плоскости и плоскости  рассматриваемой грани. Если след построен,
то отрезок (на рисунке – PQ), по которому он пересекается с плоскостью , дает сторону
сечения, лежащую в этой плоскости. Но еще важнее то, что каждая точка его пересечения со
стороной грани или ее продолжением лежит и в плоскости другой грани; например, точка P на
рисунке 1 лежит в боковой грани ABS пирамиды, точка U – в плоскости грани BCS и т.д. (В
плоскостях каких граней лежат точки R и V?)
Рис. 1
Поскольку эти точки, как и весь след, лежат также и в плоскости сечения, мы получаем по
крайней мере одну точку сечения в каждой из граней, смежных с . Используя другие
известные из условия или предшествующего построения точки сечения, лежащие в этих гранях,
строим след в новой грани и т.д. (см. демонстрацию «Как построить сечение куба.1»).
Этих соображений достаточно для построения сечения пирамиды или призмы по двум точкам в
плоскости основания и одной на боковой поверхности. Более подробно последовательность
построения показана на живом чертеже. В случае призм можно дополнительно использовать и
то, что стороны сечения, лежащие в основаниях, параллельны (т.к. плоскости оснований
параллельны). Первая группа задач на сечения, озаглавленная «Построение сечений по следу и
точке», поможет отработать этот прием.
Не всегда данные задачи позволяют сразу провести след в плоскости основания пирамиды или
призмы. В этом случае построение следа, точнее, любых двух его точек, становится первым
шагом решения. Основной элемент этого построения – нахождение точки, в которой прямая
пересекает плоскость.
Рассмотрим пример (рис. 2), в котором требуется построить линию пересечения плоскости,
проходящей через точки K, L, M, заданные на боковой поверхности призмы, с ее основанием.
Сначала строим проекции K', L', M' данных точек на плоскость основания (в данном случае
взяты параллельные проекции вдоль боковых ребер призмы). Любые две из точек K, L, M лежат
в одной плоскости со своими проекциями (почему?). Значит, прямая, соединяющая эти точки,
пересекается – в пространстве! – с прямой, соединяющей их проекции (либо названные прямые
параллельны). На рисунке 2 построены точки P и Q пересечения прямых KL и K'L', LM и L'M'.
Очевидно, что эти точки и есть точки пересечения прямых KL и LM с плоскостью основания
призмы, а прямая PQ – след плоскости сечения KLM на плоскости основания.
Рис. 2
Рис. 3
Легко понять, что если одна из прямых KL и LM окажется параллельной своей проекции, то и
след будет параллелен этой прямой (докажите!). Подумайте также, могут ли обе
рассматриваемые прямые оказаться параллельными своим проекциям, и что в таком случае
(если он возможен) можно сказать о следе.
Практически так же решаются аналогичные задачи для пирамид, только вместо параллельной
проекции надо рассмотреть центральную (с центром в вершине пирамиды). Сравните
построения на рисунках 2 и 3.
Задачи на построение следов, т. е., по сути дела, пересечений плоскостей, образуют второй
раздел нашего небольшого «задачника на построение сечений».
Теперь можно сформулировать алгоритм построения сечений призм и пирамид по трем точкам
(методом следов):
Шаг 1. Строим проекции K', L', M' данных точек K, L, M на плоскость основания
(параллельно боковым ребрам в случае призм и из вершины пирамиды как из центра
проекции в случае пирамид); эту плоскость называют основной. Если какие-то из
данных точек принадлежат основной плоскости, их проекции, конечно, строить не
надо.
 Шаг 2. Пересекая прямые (KL, LM, MK), соединяющие данные точки, с их проекциями,
находим точки пересечения этих прямых с основной плоскостью. Проходящая через
них прямая есть след сечения на основании. Чтобы ее провести, достаточно найти хотя
бы две ее точки.
 Шаг 3. Находим точки пересечения следа со сторонами основания или их
продолжениями. Используя эти точки и те из данных точек, которые лежат на боковой
поверхности многогранника, последовательно находим вершины сечения на боковых
ребрах (как показано в примере), а в случае призмы – и на сторонах второго основания.

В последнем случае все заданные точки могут попасть на основания (как на рис. 4);
тогда след на одном из оснований (прямая LM на рисунке) строится непосредственно, а
на другом проводится параллельно первому. В результате получаем точки (U и V) на
боковых гранях и дальше действуем, как выше.
Рис. 4
Заметим, что если задача поставлена «правильно» (математики говорят «корректно»), то мы
всегда сумеем выполнить первый шаг описанного алгоритма – найти нужные проекции данных
точек K, L, M на некоторую (основную) плоскость. В частности, эти точки можно задавать на
определенных гранях или ребрах многогранника или, например, на прямой, соединяющей две
заданные точки на гранях. При выполнении второго шага алгоритма две из трех прямых KL,
LM, MK пересекут свои проекции и тем самым определят след во всех случаях, кроме одного –
когда плоскость сечения параллельна основанию призмы или пирамиды. Но в этом случае
можно просто воспользоваться тем, что, по теореме о пересечении двух параллельных
плоскостей третьей, стороны сечения будут параллельны соответствующим сторонам
основания.
В третьем разделе нашей подборки задач, «Сечения куба», представлены задачи на построение
сечений куба, в основном, по трем точкам, в которых описанный алгоритм надо пройти от
начала до конца. В частности, рассматривается задача, в которой одна из точек задана на
продолжении ребра, а также две задачи, где кроме точек, лежащих в плоскости сечения, заданы
прямые, которым она параллельна. В последнем случае применяется такое соображение: если
плоскость проходит через точку P параллельно прямой l и P', l' – проекции P и l на основную
плоскость, то точку следа можно построить как пересечение прямых, проведенных через P и P'
параллельно l и l' соответственно (обоснуйте!).
Наконец, в четвертом разделе, «Разные задачи», приведены, во-первых, стандартные задачи
(без решений), которые можно использовать для контроля: их условия допускают перемещение
данных точек по граням и ребрам – составление разных, но аналогичных вариантов; во-вторых,
задачи с дополнительными вопросами и повышенной трудности.
Построение сечений по следу и точке. Задачи
Чертежи к условиям предлагаемых шести простейших задач на сечения даны ниже. Отметим
некоторые особенности этих задач и чертежей к ним. Кроме основного задания, в них ставится
дополнительный вопрос о выборе определенного ракурса изображения; его цель – помочь
научиться управлять изображением с помощью «рычагов», помещенных на чертежи, и
выработать навыки пространственного воображения. С этой же целью, в задачах 5 и 6, где
прямая лежит в плоскости основания призмы, но не пересекает его, есть возможность показать
«основную плоскость» (плоскость основания) в традиционном условном виде параллелограмма
(с изменяемыми размерами), который вращается вместе со всей конструкцией. «Живая
геометрия» позволяет рисовать и отрезки, и лучи, и неограниченные с обеих сторон прямые; в
построениях удобнее пользоваться прямыми (отрезки при изменении данных или ракурса могут
перестать пересекаться), однако прямые сильно загромождают чертеж и на итоговой картинке
их лучше заменять отрезками. Прямые, данные в условиях, также представлены отрезками;
если отрезок «не дотягивается» до пересечения с нужной прямой, его можно растянуть за
концы. Ко всем заданиям прилагается специальный набор инструментов ЖГ, облегчающих
проведение прямых в разных ситуациях.
Задачи расположены по убыванию легкости.
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Сечения куба
Задачи
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
Задание 9
Задание 8