МАТЕМАТИКА Вступительный экзамен на гуманитарных специальностях

МАТЕМАТИКА
Вступительный экзамен
на гуманитарных специальностях
в Смоленском государственном университете
Специальности:
менеджмент, социология, управление персоналом,
финансы и кредит,
государственное и муниципальное управление,
социальная педагогика, география, психология,
педагогика и психология, экология,
дизайн архитектурной среды,
педагогика и методика дошкольного образования,
педагогика и методика начального образования
Вступительный экзамен проводится в письменной форме. На экзамен отводится 150 минут. Он содержит 20 заданий, не требующих
громоздких вычислений и обоснований. Каждое задание оценивается
в привычной пятибалльной шкале, причем 5 баллов выставляется за
математически безупречное решение, изложенное грамотным русским языком; 4 балла заслуживает решение с правильным ответом и
обоснованием, которое однако, недостаточно четко; 3 балла ставится
за решение с правильным ответом, но с неубедительным обоснованием; оценка 2 выставляется за в целом правильное решение, но с неправильным ответом за счет описки или арифметической ошибки. В
остальных случаях за данную задачу выставляется 0.
В брошюре приводится программа экзамена, содержится демонстрационный вариант и его решение с комментариями.
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
2
1. Сестра старше брата на 7 лет, а через год будет старше его в 2
раза. Сколько лет брату?
1
2. Найти среднее арифметическое чисел 2, 3 и 0,4.
3
3. Имеются 4 стержня, длины которых равны 30 см, 40 см, 30 см,
50 см. Можно ли из них сложить параллелограмм?
4. Если x  0 , то sin x  0 . Как читается обратное утверждение?
Верно ли оно?
5. На координатной плоскости заданы точки А (1; 2), В (2;7), С (6; 7).
Найти площадь треугольника АВС.
6. Изобразить график непрерывной функции, зная, что:
а) область определения функции есть промежуток [-3; 4];
б) значения функции составляют промежуток [-3; 3];
в) функция убывает на промежутке [-3; 1], возрастает на промежутке [1; 4];
г) значения функции отрицательны только в точках промежутка
(-1; 2).
7. Построить график функции y  x 2  2 x  3.
x
8. Построить график функции y  x  .
x
2
9. Вычислить: log 2
 log 6 2  log 6 3.
2
10. Найти множество значений функции y  x 2 1, если 1 x  2 .
1
11. Решить уравнение: log x  3.
8
12. Найти f (2 x) , если f ( x)  2 x 2  3 ( x  1) .
13. Что больше: sin120 или cos 150 ?
sin x  1
 0.
14. Решить неравенство: 2
x 4
15. При каких значениях a уравнение x 2  5 x  6  a имеет три
решения?
16. Брокерская фирма приобрела два пакета акций, а затем их
продала на общую сумму 768000 руб., получив при этом 28% прибыли. За какую сумму фирма приобрела каждый из пакетов акций, если
при продаже первого пакета прибыль составила 40%, а при продаже
второго – 20%?
3
17. Какие двузначные числа при перестановке цифр увеличиваются на 63?
18. Высоты треугольника образуют геометрическую прогрессию.
Доказать, что таким же свойством обладают и его стороны.
19. Точки M и N расположены на ребрах треS
угольной пирамиды (рис. 1) Скопируйте рисунок,
M
отметьте и обозначьте точки, в которых прямая MN
N
пересекает прямые, содержащие другие ребра пираB миды. Ответ обосновать.
A
20. Сколько металлических кубиков с ребром
C
2 см хватит для отливки из них шара диаметром
Рис.1
4 см?
4. ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, КОММЕНТАРИИ1
1. Пусть брату x лет. Тогда сестре ( x  7) лет. Через год им будет
соответственно x  1 и x  8 лет. Получаем уравнение: x  8  2( x  1) .
Значит, x  6 .
2. Ответ: 86 или ≈ 1,9
45
3. У параллелограмма стороны попарно равны. Значит, из четырех стержней должны быть 2 пары равных, что не так. Ответ отрицательный.
4. При решении этой задачи встречались и неправильные ответы,
но главным недостатком было излишнее многословие и даже теоретизирование. Вот наиболее типичное решение:
"Обратное утверждение неверно, так как если x  180o , то
sin x  0 , если x  360 o , то sin x  0 ".
В этом решении есть лишняя аргументация: про 360o писать уже
не следовало.
Встречались и такие "решения": "Если sin x  0 , то x  0 . Это
утверждение верно, так как x  0 в точках n , n  Z ".
Все эти задачи предлагались на вступительных экзаменах в предыдущие годы. В комментариях анализируются типичные ошибки абитуриентов.
1
4
А вот безупречное решение: "Если sin x  0 , то x  0 . Утверждение неверно, например, sin   0 ".
5. Почти все абитуриенты показали y
D B
C
знания координатной плоскости и сделали
7
правильный чертеж. Дальше возникли серьезные психологические трудности. Стало
страшно назвать высотой треугольника не
принадлежащий этому треугольнику отрезок АD (см. рисунок 2).
A
2
Подавляющее большинство получало
искомый треугольник "вырезанием" из
прямоугольного треугольника АDС прямоx
0 1 2
6
угольного треугольника АDВ. Очень мноРис. 2
гие искали (но лишь единицы нашли!)
площадь треугольника по формуле Герона, что привело к очень громоздким вычислениям и многочисленным ошибкам. Демонстрировалась и излишняя учёность, когда длина отрезка ВС определялась по
формуле расстояния между двумя точками плоскости.
Но всё же были абитуриенты, увидевшие совсем простое решение.
Приведём его.
Так как у точек В и С одинаковые ординаты, то прямая ВС параллельна оси абсцисс. Значит, BC  6  2  4 . Построим точку D с координатами (1; 7). Прямая АD параллельна оси ординат. Значит,
AD  7  2  5 и AD  BC . Значит, АD – высота треугольника АВС. В
таком случае его площадь
1
y
S  BC  AD  10 (кв. единиц).
2
3
6. Решение этой задачи не требует
никаких пояснений. Достаточно привести рисунок. Приводим один из возможных (рис. 3). Конечно же, график
-1
4 x
1 2
не обязан состоять из прямолинейных -3
отрезков, но такой график легче изобразить аккуратно, что улучшит впечатление от экзаменационной работы.
-4
Рис. 3
5
y
1
0
-1
1
-1
Рис. 4
y
3
x
7. Парабола с вершиной (1; - 4).
8. Рис.4.
9. 0,5.
10. Построим график функции
y  x 2  1 (рис. 5). Обведём часть
графика, "нависающую" над отрезком [-1; 2] оси абсцисс, и спроектируем эту часть графика на ось ординат. Получим отрезок [-1; 3]. Это и
есть ответ к задаче.
11. Из определения логарифма
вытекает, что
1 1 1
x 3  , 3  , x  2 .
8 x
8
12. f ( 2x )  2( 2x ) 2  3(( 2x )  1) 
 8x 2  6x  3.
13. Углы в 120о и 150о принадx
-1
1 2
лежат второй четверти, где синус по-1
ложителен, а косинус отрицателен.
Рис. 5
Отсюда и следует ответ.
Замечание. Почти все абитуриенты получали ответ, найдя указанные значения тригонометрических
функций. Это существенно усложнило задачу и порой приводило к
ошибкам, которые демонстрировались как бы по собственному желанию.
14. Так как знаменатель данной дроби всегда положителен, а
sin x не бывает больше 1, то имеем:
sin x 1


0

sin
x

1

0

sin
x

1

x

 2n ( n – целое).
2
2
x 4
15. Многие пытались решить задачу, "раскрывая модуль", но эта
затея оказалась бесперспективной. И всё же кое-кто нашёл красивое и
краткое решение задачи. Это – графическое решение!
Построим параболу y  x 2  5 x  6 . Отобразив симметрично относительно оси абсцисс ее часть, находящуюся ниже этой оси, получим (см. рисунок 6) график функции y  x 2  5 x  6 . Решениями
0
данного уравнения будут абсциссы точек пересечения построенного графика и прямой y  a . Три решения будут лишь в случае,
6
изображенном на рисунке. Для
y
отыскания
соответствующего
значения a достаточно любым
y=a
способом найти ординату вершины параболы.
0
2
3
x
Ответ: a  1 / 4 .
16. При решении этой задачи
Рис. 6
допускались ошибки, демонстрирующие непонимание "задач на проценты". Допускались ошибки
и из-за нерационального решения системы уравнений. Однако почти
половина абитуриентов справилась с этой задачей. Приведём краткое
решение.
Пусть x и y – первоначальная стоимость пакетов акций в тысячах
рублей. Исходя из условия, получаем систему уравнений:
1,28  ( x  y )  768

1,4  x  1,2  y  768.
Ответ: 240 и 360 тыс.руб.
17. Пусть х – число десятков, y – число единиц этого числа. Тогда
имеем уравнение:
10 x  y  63  10 y  x  9 x  9 y  63  x  y  7.
Так как х может принимать только целые значения от 1 до 9, то
1  y  7  9  8  y  9,
а значит, y = 8 или y = 9. Ответ: 18 и 29.
18. Пусть высоты h1 , h2 , h3 образуют геометрическую прогрессию.
Тогда существует такое число q , что h2  qh1 , h3  qh2 . Из формулы для
1
площади треугольника S  ah следует, что a1h1  a2 h2  a3h3 , где a1 , a 2 ,
2
a3 – соответствующие стороны треугольника. В таком случае получаем: a1h1  a2 qh1 , a2 h2  a3 qh2 , т.е. a1  qa2 , a 2  qa3 .
S
Значит, числа a3 , a 2 , a1 образуют геометрическую
M
N
прогрессию, что и требовалось доказать.
19. Из прямых, содержащих другие рёбра пиB
рамиды, прямая MN пересекает только прямую A
AC. Точка пересечения D построена на чертеже
D
C
(рис. 7).
Обоснование. Пересекающиеся прямые леРис. 7
жат в одной плоскости. Если бы прямая AB лежала в одной плоскости с прямой MN, то это была бы плоскость грани
7
ACS, так как три точки A, M, N определяют единственную плоскость.
Но AB не лежит в этой плоскости. Значит, прямые AB и MN не пересекаются.
Точно так же убеждаемся, что MN не пересекается ни с BС, ни с BS.
Прямые MN и AC лежат в одной плоскости (плоскость грани
ASC), а потому они пересекаются (они могли бы быть и параллельны,
но из условия видно, что это не так). Для построения точки пересечения достаточно продолжать отрезки MN и AC.
Многие абитуриенты указывали в ответе и точку пересечения
прямых MN и BS. Но такая точка есть только на плоском чертеже (на
проекции). В пространственной конструкции ее нет.
Развеселила экзаменационную комиссию работа абитуриентки
П., которая пишет: "Я считаю, что прямая MN не будет пересекать
другие рёбра пирамиды, так как это прямая, а не луч света, и проходит она в плоскости SAC, а следовательно, на другую грань или ребро
попасть не может". Прямую как раз весьма удобно отождествлять в
интуитивных рассуждениях с лучом света! Не хватило пространственного воображения.
32
20. Так как объём шара
см3, а объём кубика 8 см3, то требуется
3
найти такое натуральное число n, что выполняется двойное неравенство:
32
8(n 1) 
 8n .
3
После упрощения получаем: 3(n 1)  4 3n .
Перебирая n, замечаем, что вроде бы подходит n  5 . Это действительно так, поскольку 3    3,2 , а потому 34  4  43,2  35 .
Ответ: 5.
8