Линейные уравнения и неравенства с модулями. 1 2. 3.

Линейные уравнения и неравенства с модулями.
1 .Найти все значения параметра а, при которых уравнение
2 x  3  2 x  2  x  4  x  2a
Имеет ровно два корня.
2. Решить неравенство: 1  x * 1  x  x  1
3. Решить уравнение: |5𝑥 − |𝑥| − 2| = 1
2
x  2  3 1  3
4.
5. |𝑥 + 1| + |𝑥 + 2| + |𝑥 + 3| ≤ 3𝑥 + 6
6. |1 + ||1 − |𝑥 + 1|| − 1|| < 2
7. x  1  x  2  3x  6  5
8. x  3  2  x  5
x3  2 x 5
Графы.
1. В парке 9 озер. Каждое озеро соединено с другими не менее, чем 3
каналами. Какое наибольшее и наименьшее количество каналов
может быть в парке?
2. В шахматном турнире по круговой системе участвуют 8
школьников. Известно, что Мадина и Павел сыграли по 7 партий,
Султан — 5, Костя и Жанар — по 4, Галя и Ваня — по 2. С кем
сыграл восьмой участник, Ербол, если Костя и Жанар сыграли
между собой?
3. Из наборного полотна взяли две карточки с цифрой 1 и три карточки
с цифрой 5. Сколько различных пятизначных чисел можно
составить из этих карточек?
4. Каждую секунду в результате деления бактерия размножается на
две. Если в сосуд поместить одну бактерию, то он наполнится ими
за 60 секунд. За какое время наполнится весь сосуд, если в неё
поместить 2 бактерии.
Решение задач на проценты, смеси, растворы, сплавы
Задача №1
Смешивают 300г 90%-ного раствора соли 900г 30%-ного раствора той же
соли. Определить содержание соли в полученном растворе.
Задача №2
Какой раствор получится при смешивании 300 граммов 50%-ного раствора
соли и раствора, в котором 120 граммов соли составляют 60%?
А теперь, проверим ваше решение.
Задача №3
Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в
отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно металла взять
от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро
находились бы в отношении 5: 11?
Задача №4
В бидон налили 3л молока трехпроцентной жирности и 6л молока 6%-ной
жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?
Задача № 5.
Сколько граммов 20% раствора соляной кислоты необходимо взять, чтобы
приготовить 40% раствор, если 90%-го раствора соляной кислоты взяли 20
граммов?
Задача № 6.
Сплавили два слитка серебра: 75г 600-й пробы и 150г 864 пробы. Определите
пробу сплава.
Задача № 7.
У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10
гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих
двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих
двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен?
Задача № 8.
Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили
600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?
Задача № 9.
Познакомившись на уроках математики со способами выражения
концентрации растворов, Алина для себя решила, что станет фармацевтом.
Для домашней аптечки 3%-й раствор перекиси водорода она взялась
приготовить сама. Сполоснув, флакончик из-под спирта дистиллированной
водой и бросив в него четыре таблетки гидроперита (каждая по 0,75 г), она
отмерила 97 мл все той же воды, влила во флакон и плотно закрутила
крышечку. Как вы полагаете, получилось ли у Алины медицинское
средство?
Задача № 10.
Подоив корову, хозяйка налила в горшок 2 л молока с жирностью 4,6%.
Выспавшийся за целый день котенок прыгнул на стол и слизал 200 г
отстоявшихся сливок с жирностью 15%. Подсчитайте, много ли жира
осталось в горшке? Сколько граммов жира съел котенок?
Решение задач на проценты. Задачи на сложные проценты
Задача № 1.
На бирже ценных бумаг акции одной фирмы продавались по цене 400000
тенге. После непредвиденных осложнений фирма вынуждена была дважды
понизить цену на свои акции на один и тотже процент. В результате акции
начали продавать по цене 282240 тенге. Найдите процент уценки.
Задача № 2.
Новый компьютер был куплен за 120000 тенге. Каждый год его амортизация
составляет 25%. Сколько будет стоить компьютер через 2 года?
Задача № 3.
Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов
необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его
первоначального уровня?
Задача № 4.
Торговая база закупила партию альбомов и поставила их в магазин по
оптовой цене, которая на 30% больше закупочной. Магазин установил
розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце
сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько тенге
больше заплатил покупатель в сравнение с закупочной ценой, если на
распродаже он приобрел альбом за 70,2 тенге?
Задача № 5.
Сегодня вы принимаете участие в опросе. Вам необходимо решить задачу и
под списком участников урока нажать соответствующую кнопку: A, B, C.
Фирма дала следующее объявление в газету:
Офисная мебель более 40 модификаций
Цена за 1 предмет:
стулья - 12000 тенге
шкафы – 92000 тенге
столы – 35000 тенге
стеллажи – 6000 тенге
При покупке более 10 предметов скидка 10%.
Вычисли сумму, в которую обойдется покупка в этой фирме комплекта
мебели из 6 стульев, 6 столов, 3 шкафов и 2 стеллажей.
Задача № 6.
Цену товара снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15% и,
наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На, сколько,
процентов снизили первоначальную цену?
Задача № 7.
Если положить на депозит «Молодежный» в Альянс банк некоторую сумму
денег, то ежегодно она увеличивается на 12% от имеющейся на вкладе
суммы. Вкладчик собирается положить на этот депозит деньги на два года и
не пополнять, не снимать с депозита. Сколько денег надо положить
вкладчику на депозит, чтобы через два года вложенная сумма увеличилась на
1272 евро?
Задача № 8.
Если положить на вклад «Альянс-депозит» некоторую сумму денег, то
ежегодно она увеличивается на одно и то же число процентов от имеющейся
на вкладе суммы. Вкладчик положил на этот вклад 30000 тенге и три года
подряд не пополнял свой вклад и не снимал с него деньги. За три года сумма
увеличилась на 9930 тенге. На сколько процентов ежегодно увеличивается
сумма денег, положенная на вклад «Альянс-депозит»?
Задачи на цифровую запись числа
1.
2.
3.
4.
5.
Найдите все двузначные числа 𝑎𝑏, зная, что 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 = 77
Найдите все двузначные числа 𝑎𝑏, зная, что 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 = 121
Найдите множество трёхзначных чисел, у которых 𝑎 − 𝑏 = 5, 𝑐 = 2
Найдите множество трёхзначных чисел, у которых 𝑎 + 𝑏 = 4, 𝑐 = 7
Какое двузначное число от перестановки цифр увеличивается в 4,5
раза?
6. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая
цифра с пятой. а третья цифра с шестой. Докажите, что это число
кратно 7, 11, 13.
7. Число десятков в двузначном числе на 2 больше числа единиц. Когда в
числе переставили цифры и сложили с данным числом, то получилось
110. Найдите это число.
8. Найти двузначное число, если известно, что при делении этого числа
на сумму его цифр в частном получится 4 и в остатке 3; если же из
искомого числа вычесть удвоенную сумму его цифр, то получится 25.
9. Если двузначное число разделить на некоторое натуральное число, то в
частном получится 3, а в остатке 8. Если в делимом поменять местами
цифры, а делитель оставить прежним, то в частном получится 2, а в
остатке 5. Найдите первоначальное двузначное число.
10.Сумма цифр двузначного числа равна 14. Если к этому числу
прибавить 46, то получится число, произведение цифр которого равно
6. Найдите это число.
Задачи на построение
1. Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну
точку. Постройте точку, равноудаленную от этих прямых. Сколько
решений имеет задача?
2. Построить треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и
высоте.
3. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к
одной из них.
4. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.
5. . Дана прямая а, точка М и отрезок АВ. Постройте окружность радиуса
АВ, которая касалась бы прямой а и проходила бы через точку М.
6. Постройте окружность, касающуюся данной прямой m и касающуюся
данной окружности в данной точке А внешним образом.
7. Объясните, как построить треугольник по стороне, проведенной к ней
медиане и радиусу описанной окружности
9-10 класс
Теорема о корнях многочлена с целыми коэффициентами. Теорема
Безу и её следствия
1. Делится ли многочлен
f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2).
2. Найти корни многочлена f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55.
3. Найти остаток от деления многочлена
P(x) = 32х4-64х3 + 8х2 + 36х + 4 на Q(x) = 2х-1.
4. С помощью схемы Горнера выполнить деление P(x) на Q(x).
а) P(x) = х3 + 3х2-18х-40; Q(x) = х + 2;
б) (x) = х4 + 2х3-3х2 + 5х-2; Q(x) = 2х-3.
5. 3. Найти корни многочлена Р(х) и разложить на множители:
а) Р(х) = х4-3х3-14х2-20х-24
б) Р(х) = х3-19х-30
в) Р(х) = 2х3-3х2-11х + 15
г) Р(х) = 2х4-х3-9х2 + 13х-5
6. Решить уравнение:
а) х3-4х2 + х + 6 = 0
б) х4-2х3 + 5х2-8х + 4 = 0
7. Найти сумму и произведение корней многочлена Р(х)
а) Р(х) = х5-2х4-4х3 + 4х2-5х + 6
б) Р(х) = 3х3-17х2 + 13х-2
8. Представить многочлен Р(х) в виде многочлена Р(х - а), если
Р(х) = х4-4х3 + 7х2-12х + 12; а = -2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Геометрическое решение алгебраических задач
Расстояние между городами А и В равно 900 км. Два поезда
одновременно отправляются, один из А в В, другой из В в А. Они
встречаются в пункте С. Первый поезд прибывает в город В через 4
часа, а второй в А через 16 часов после встречи. Определите
расстояние АС.
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 20 км, выехал
велосипедист, а через 15 мин вслед за ним со скоростью 15 км/ч
отправился другой велосипедист, который догнав первого, повернул
назад и возвратился в А за 45 мин до прибытия первого велосипедиста
в В. Найдите скорость первого велосипедиста.
Доказать, что если а+в+с=к, то √2а + 1 +√2в + 1+√2с + 1≤√6к + 9.
Доказать , что неравенство то √а + 1 +√2а − 3+√50 − 3а ≤ 12
выполняется при всех значениях а , при которых определена его
левая часть.
Докажите истинность неравенства:
авс2 +вса2+сав2 ≤ а4 +в4 +с4 .
Два авомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из А в В
и из В в А.После встречи, одному приходится еще быть в пути 2 часа,
9
а другому часа.Определите их скорости, если расстояние АВ=210
8
км
Доказать, что если а+в+с=1, то √2а + 1 + √2в + 1 + √2с + 1 √15.
8. Доказать, что1+ав≤ √1 + а2 ∙ √1 + в2 .