Зависимость упругих модулей микронеоднородной среды от

С.В. Щербатых, аспирант
Новосибирская государственная архитектурно-художественная академия
(Россия, 630099, Новосибирск, Красный проспект, 38,
тел. (383)2224497, E-mail: [email protected])
Е.Б. Сибиряков, к.ф.-м.н.
Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН
(Россия, 630090, Новосибирск, пр-т Академика Коптюга, 3,
тел. (383)3333908, E-mail: [email protected])
Зависимость упругих модулей микронеоднородной среды от удельной
поверхности порового пространства
Аннотация
Работа посвящена использованию метода граничных интегральных уравнений для
вычисления эффективных упругих модулей кавернозных (т.е. с положительной кривизной
порового пространства) микронеоднородных сред. Впервые метод потенциала был
применён для решения трёхмерных упругих задач в многосвязных областях. Показано,
что в кавернозных средах отношение Vs/Vp растёт с ростом удельной поверхности
порового пространства.
Введение
Проблема вычисления эффективных упругих модулей в контрастных
микронеоднородных средах является достаточно старой, и, вместе с тем, далёкой от
своего разрешения. Причина этого – в чрезвычайно больших перепадах физикомеханических свойств материала скелета и флюида. Это обстоятельство не позволяет
использовать какие-либо эффективные характеристики таких сред, которые бы
игнорировали структуру порового пространства. Для решения проблемы необходимо
интегрирование уравнений равновесия при непосредственном задании граничных условий
на сложной поверхности раздела скелет-флюид. Непосредственное применение сеточных
методов для решения этой проблемы связано с известными трудностями. Естественно, что
граничные интегральные уравнения, которые сводят проблему к двумерной, должны
сыграть важную роль в продвижении этой проблемы. Однако, сингулярность этих
уравнений создаёт также серьёзные трудности для построения численных решений и их
интерпретации. Необходимо преодолеть эти недостатки метода граничных интегральных
уравнений для того, чтобы получить достаточно надёжный метод решения краевых задач,
и на этой основе провести вычисления средних упругих модулей, а, стало быть, скоростей
продольных и поперечных волн в пористых средах, содержащих флюиды.
Метод граничных интегральных уравнений предназначен для того, чтобы сводить
трёхмерную задачу к решению двухмерных интегральных уравнений. Его суть состоит в
том, что перемещения в любой точке объёма (в том числе на поверхности) ищутся в виде
свёртки тензора Грина для пространства с некоторым потенциалом [1]:
1
U i ( x) 
ik ( x, y )Fk ( y ) dS y
(1),
2 
где по значку k ведётся суммирование, точка х заключается в объёме, и может стремиться
сколь угодно близко к поверхности изнутри (или извне), точка у бежит по поверхности, в
ней же берётся элемент поверхности. При этом

 1
1
r r
(2),
ik ( x, y) 
 (  3 ) ik 
 (   )
2 (  2 ) 
xi xk
 r ( x, y)
где r – расстояние между фиксированной точкой и точкой, бегущей по поверхности, δ ik –
символ Кронекера, λ и μ – упругие константы Ламе. Если точка х стремится к поверхности
изнутри, то в ней можно вычислить нагрузки:

P x (ik )( x, y )  2  ik   n0 divx (ik )   (n0  rot x (ik )) =
n0

1  
r r   1
 1
 1  
   cos(n0 xk )
 cos(n0 xi )
(3),
   ik  3(   )


  2   
xi xk  n0 r
xi r
xk r  

где n0 – единичная нормаль в точке х. В результате, если на поверхности заданы нагрузки,
то для нахождения потенциала в трёхмерном случае (с помощью которого можно будет
найти перемещения в любой точке объёма), получится двухмерное сингулярное
интегральное уравнение (т.е. уравнение, которое содержит неинтегрируемую
особенность). Интеграл в этом случае нужно понимать в смысле главного значения (из-за
последнего члена в (3)). Численное решение подобного рода уравнений достаточно
затруднительно и представляет отдельную проблему. По этой причине метод граничных
интегральных уравнений использовался только для решения двухмерных задач и только
для односвязных сред, хотя преимущества этого метода для решения краевых задач
теории упругости понятны достаточно давно [2].
В [3] было предложено в качестве тензора Грина использовать модифицированный
тензор фундаментальных решений третьего рода, который фактически является
фундаментальным решением для упругого полупространства, ориентированным
соответствующим образом. Кратко его можно записать в виде:
ri  x1ni 
1   ik ri rk 
1
 
M ik =


n
sign
x
ln(
r

x
)

(4),




i
1
1
2  r
r 3  2(   ) rk 
r  x1 
где ri и rk – проекции радиус-вектора на произвольные декартовы оси, ni – проекция
вектора единичной внешней нормали n, x1 – скалярное произведение радиус-вектора r на
=
n, производная

ni
берётся при условии, что
 0 . В соответствии с (4) вычисляются
rk
rk
декартовы компоненты тензора нагрузок Pik:
Pik  3
rr
 
i k  1 
 n0 ,gradg3  n  e 1 ,i    n0 ,gradg 2  n  e 2 ,i   

2


r n0  r     rk 
3rr  r ,n 
 
 ik5 0 
r
   rk


 n n,n  n
r,n,n0  r  n  


i
0
0
i
i


2
 r  x1
r  r  x1  


(5),
где  r ,n,n0   смешанное произведение трёх векторов, а  r  n   векторное
произведение.
В гранулированной среде [3] оказалось возможным вычислить упругие модули,
используя метод граничных интегральных уравнений для односвязной среды.
Представляется интересным выяснить возможности применения тензоров (4) и (5) для
многосвязных сред.
Использование метода граничных интегральных уравнений для
многосвязных сред
Главным геометрическим отличием кавернозных сред от зернистых является
положительная кривизна порового пространства. То есть для вычисления упругих
модулей аналогично способу, описанному в [3], необходимо решать упругую задачу для
многосвязной области, состоящей из шара с наполненными флюидом полостями внутри.
При этом использовать тензора (5) для нахождения вектора-потенциала на всех
поверхностях при заданном векторе нагрузок на поверхности внешнего шара:
pi  x   Fi  x  
1
Pik  x, y  Fk  y  dS y
2 
(6),
при этом на внешней поверхности направление нормали определяется аналогично [3], а на
внутренних поверхностях (в которых заключён флюид), нормаль считается направленной
от тела, имеющего упругие модули λ и μ (Рис.1).
n
n
Рис.1. Ориентация вектора нормали в многосвязной среде. Во внутренней полости
заключён флюид.
При этом вектор нагрузок во внутренних полостях сменит знак. Найдя вектор потенциала,
нужно вычислить вектор перемещений:
1
U i ( x) 
M ik ( x, y )Fk ( y )dS y
(7).
2 
Далее, зная вектор перемещений на каждой из поверхностей, можно вычислить
средние деформации в объёме с помощью теоремы о градиентах:
 grad dV   ndS ,
V
S
соответственно, можно вычислить все средние значения по объёму от производных,
например:

V x dV  S nx dS
(8).
После этого, зная нагрузки на поверхности, можно вычислить средние в объёме
напряжения. Зная напряжения и деформации, можно найти упругие модули.
Во всех задачах, рассмотренных ниже, вектор потенциала вычислялся, в отличие от
[3] не методом последовательных приближений, а путём сведения интегральных
уравнений к линейной системе. Следует отметить, что использование кубатурной
формулы Симпсона (с вычислением интегрируемой особенности аналитически) для
вычисления (6) даёт более точный результат по сравнению с формулами более низкого
порядка точности. Далее, упругие константы Ламе материала скелета λ=μ=1.
Представляется разумным вычислить упругие модули для сред, обладающих
одинаковой пористостью, но с разной удельной поверхностью порового пространства.
Для этого поровое пространство моделировалось одной, шестью, девятью сферическими
полостями, а также эллипсоидом вращения. Радиус шара был равен 1. В первом, втором и
третьем случаях пористость была одинаковой и равной 0.125, к поверхности шара
прикладывался вектор нагрузок, равный δi3cosθ. Удельная поверхность соответственно –
6, 6 3 6 и 6 3 12 . В четвёртом случае полуоси эллипсоида вращения были равны 0.2 и 0.8,
соответственно пористость – 0.032, удельная поверхность ≈ 12, а на внешней поверхности
нагрузки были равны δi1sinθcosφ.
В первом случае поверхность шара разбивалась по углам θ и φ на 41×41 площадок,
а полость радиуса 0.5 на 21×21 соответственно. На Рис.2, 3 представлены соответственно
z- и х - компоненты вектора потенциала на поверхности шара.
3
0
2pi
-3
pi
pi
pi/2
0
0
Рис.2. z- компонента вектора потенциала на поверхности шара (первый случай).
0.8
0.4
0
-0.4
-0.8
pi
2pi
pi/2
pi
0
0
Рис.3. х- компонента вектора потенциала на поверхности шара (первый случай).
В результате вычислений получаются следующие значения эффективных упругих
модулей среды: μ= 0.57, λ+2μ= 1.39; Vs/Vp= 0.64.
Во втором случае (шесть сферических полостей радиуса 0.275, находящихся в
центрах граней куба со стороной 1, расположенного в центре шара) внешняя поверхность
разбивалась по углам на 41×41 частей, а поверхность полостей – на 13×13 частей.
Значения эффективных упругих модулей получились равными μ= 0.65;λ+2μ= 1.91; Vs/Vp=
0.58.
В третьем случае 8 сферических полостей радиуса 0.24 находились в вершинах
куба со стороной 1, а девятая – в центре шара. Все сферы разбивались по углам на 17×17
частей. Значения эффективных упругих эффективных упругих параметров среды – μ= 0.5;
λ+2μ= 0.92; Vs/Vp=0.74 (что соответствует отрицательному коэффициенту Пуассона).
Эффективные упругие модули для четвёртого случая – μ= 0.85;λ+2μ= 2.09; Vs/Vp=
0.64.
В пятом случае рассматривалась задача о напряжённом состоянии тела кубической
формы со стороной 1, внутри которого находится полость в виде объёмной спирали,
заданной уравнениями:

 x  R  cos( )  r  cos(  )
0    0

 y  R  sin(  )  r  sin(  ) ,
0    2

h
z




0

где R – радиус спирали, r – радиус трубки,  0 – угол закручивания спирали, h – высота
спирали. На границе внутренней полости задавалась нулевая нагрузка, а на внешней
поверхности задавались перемещения, соответствующие одноосному деформированному
U z  k  z

состоянию:  U x  0 .
 U 0
 y
Параметры спирали изменялись так, что пористость оставалась неизменной. Главное
отличие от предыдущих случаев заключалось в том, что для вычисления эффективных
упругих модулей решалась задача смешенного типа, т.е. на гранях куба задавались
перемещения, а на поверхности полости – нагрузки. На Рис. 6 представлена нормальная
компонента вектора потенциала.
FN
Pleft
Рис.6. z-компонента вектора потенциала на верхней грани куба
Результаты вычисления эффективных упругих модулей представлены в табл.1.
Видно, что при равной пористости рост удельной поверхности порового пространства
приводит к росту отношения Vs/Vp.
№
пористость
Vпор/Vобщ
1
2
3
0.052
0.052
0.052
удельная
поверхность
Sпор/Vпор
35.2
45.5
47.1
эффективное
значение
первого
коэффициента
Ламэ λэфф
эффективное
значение
второго
коэффициента
Ламэ μэфф
0.68
0.53
0.48
0.93
0.87
0.93
отношение
скоростей
поперечных
и
продольных
упругих волн
Vs/Vp
0.61
0.62
0.63
Выводы
Впервые метод потенциала применён для решения трёхмерных упругих задач в
многосвязных областях.
В тоже время можно утверждать, что упомянутое выше отношение существенно
зависит от удельной поверхности порового пространства, а не только от пористости, а
именно, растёт с ростом удельной поверхности порового пространства. В частности,
увеличение удельной поверхности порового пространства примерно в 2.3 раза (при равной
пористости) приводит к увеличению отношения Vs/Vp c 0.64 до 0.74. Тем самым вопрос о
существовании отрицательных коэффициентов Пуассона получает удовлетворительную
физико-механическую трактовку.
Представляется интересным в будущем исследовать вопрос о зависимости
эффективных упругих модулей от средней и гауссовой кривизны порового пространства.
Список литературы.
1. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М., Физматгиз, 1963, 472с.
2. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М., Наука, 1981,
688с.
3. Сибиряков Е.Б., Деев Е.В. Использование метода граничных интегральных уравнений
для определения упругих модулей гранулированных геологических сред. Физическая
мезомеханика, 2008, т.11, №1, с. 85-93.