Лабораторная работа № 111

3
Лабораторная работа № 111
РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
I. Цель и содержание работы
Целью работы является изучение законов равноускоренного движения при помощи машины Атвуда.
Содержание работы состоит в определении зависимости пути,
пройденного телом при равноускоренном движении, от времени.
II. Краткая теория работы
В настоящей работе определяется зависимость пути от времени
для равноускоренного движения при помощи машины Атвуда.
Машина Атвуда (рис. 1) состоит из легкого блока в виде сплошного диска, способного вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, расположенной в верхней части вертикальной стойки. На
правой стороне стойки нанесена шкала с сантиметровыми отметками.
Через блок перекинута легкая капроновая нить, на концах которой
закреплены грузики в виде цилиндров разной массы m1 и m2 .
В левой верхней части стойки установлено электромагнитное
пусковое устройство, позволяющее фиксировать положение грузиков,
зажимая нить между двумя дисками, один из которых связан с электромагнитом. При освобождении нити грузики приходят в движение,
одновременно включается электронный секундомер.
Пройдя путь S , правый цилиндрик попадает своим нижним основанием на горизонтальную неподвижную платформу и замыкает
контакты, останавливающие секундомер.
Величина пути S , пройденного телом с начальной нулевой скоростью за время t , определяется (из кинематики) уравнением:
at 2
.
(1)
S
2
4
Рис 1. Машина Атвуда.
1 – блок, 2 – грузики, 3 – нить, 4 – электромагнит, 5 – неподвижная
платформа с контактным устройством, 6 – стойка со шкалой, 7 – подставка.
5
Однако ряд причин случайного характера (например, неточность
начального расположения правого грузика на заданном расстоянии S
от неподвижной платформы, инерционность пускового устройства и
срабатывания контактов, застойные явления в подшипниках оси блока и т.п.) усложняют эту зависимость.
Введем параметр  – случайную величину, характеризующую
неопределенность моментов начала и конца движения. Тогда,
2
at   
St ,   
.
(2)
2
Преобразовав это выражение, получим:
a2
at 2
.
(3)
S t ,   
 at  
2
2
Усредняя эту зависимость по случайным значениям параметра  ,
находим:
a 2
at 2
.
(4)
St ,   
 at  
2
2
Если распределение случайной величины  симметрично относительно значения  (то есть положительные и отрицательные значения
 равновероятны), то   0 ,  2  0 , следовательно, введя обозначения
a
a 2
B  и S0 
, можно записать:
2
2
St   S0  Bt 2 .
(5)
Этот закон содержит два параметра: S0 – начальное смещение и
B – величину, равную половине ускорения. Эти параметры определяются по измеренным значениям пройденного пути Si и сериям
значений промежутков времени t i , j методом наименьших квадратов
(см. Приложение 1).
III. Приборы и принадлежности, необходимые для выполнения
работы
1. Машина Атвуда. Описание дано выше.
2. Электронный секундомер.
3. Блок питания электромагнита.
4. Пусковое устройство, управляющее электромагнитом и секундомером.
6
IV. Порядок выполнения работы
Внимание: Положение контактного устройства внизу на стойке
машины Атвуда должно все время оставаться неподвижным!
1. Включить блок питания, подающий напряжение на электромагнит.
2. Включить электронный секундомер, нажав кнопку "сеть".
3. Придерживая правый грузик рукой, переместить нить с грузиками
так, чтобы нижнее основание правого грузика оказалось на отметке
0 см по шкале, нанесенной на стойку машины Атвуда.
4. Левой рукой перевести тумблер пускового устройства в "начальное
положение", зажав нить между полюсами электромагнита.
5. Нажать клавишу "сброс" на секундомере. При этом на его табло
высвечиваются нули.
6. Перевести тумблер пускового устройства в положение "пуск", после чего грузики начнут двигаться (электромагнит "отпустит" нить), а
на табло мелькать цифры – отсчет времени.
7. После попадания нижнего основания правого грузика на неподвижную платформу контактного устройства, закрепленную на отметке 80 см по шкале стойки машины Атвуда, секундомер остановится.
8. В таблицу 1 для значения пути S1  0,80 м занести значение промежутка времени t 1,1 в секундах.
Таблица 1
Пройденное ПРОМЕЖУТКИ ВРЕМЕНИ Среднее
№
расстояние
значение
п/п
t1 , с t 2 , с t 3 , с t 4 , с t 5 , с
Si , м
ti , с
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,80
0,75
0,70
0,65
0,60
0,55
0,50
0,45
0,40
0,35
7
Затем провести измерения еще четыре раза, повторяя пункты 3 –
7 и вписывая в таблицу 1 значения t 1, 2 , t 1,3 , t 1,4 , t 1,5 .
9. После этого изменить положение правого грузика: установить его
нижнее основание на отметке 5 см по шкале стойки машины Атвуда.
Выполнить пункты 4 – 7. В таблицу 1 записать значение промежутка
времени t 2 ,1 , соответствующее прохождению пути S2  0,75 м. аналогично получить значения t 2,2 , t 2,3 , t 2,4 , t 2,5 , записывая их в соответствующую строку таблицы 1.
После этого перейти к серии измерений при новом положении
грузика: на отметке 10 см и т.д.
Последнюю серию измерений провести с грузиком, своим нижним основанием помещенным на отметку 45 см.
После выполнения измерений выключить секундомер и блок питания.
V. Обработка результатов измерений
В каждой серии измерений промежутков времени найти среднее значение t i с двумя цифрами после запятой. Данные записать в
таблицу 1.
Для нахождения параметров S0 и B методом наименьших квадратов следует внести в таблицу 2 следующие данные, предварительно
рассчитав недостающие:
Si , t i , t i 2 , t i 4 , Si t i 2
(Здесь i – номер серии измерения.)
Подсчитать суммы по всем сериям измерений указанных данных ( i изменяется от 1 до 10):
10
10
10
 S , t , t
10
2
i
i 1
i
i 1
i 1
4
i
и
S t
2
i i
i 1
и также внести в таблицу 2.
Решить систему уравнений 6 относительно параметров S0 и B :
10
10

2
10S0  B  t i   Si
i 1
i 1
 10
10
10
S t 2  B t 4  S t 2


i
i
i i
 0 
i 1
i 1
i 1
используя числа, взятые из последней строчки таблицы 2.
(6)
8
(Вывод уравнений 6 см. Приложение 1. Сравни с формулами 10)
Таблица 2
Si
i
ti
t i2
t i4
Si t i 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10

i 1
S0 
B
a
м
м/ c2
м/ c2
Определив значения S0 и B , необходимо на миллиметровой бумаге построить график зависимости пути от времени St   S0  Bt 2 в
виде толстой сплошной линии. Затем на этом же графике отметить
значения t i и Si в виде отдельных точек.
ПРИЛОЖЕНИЕ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Пусть в результате эксперимента мы получили ряд измерений
величины y : y1 , y 2 , ..., y n , соответствующих значениям аргумента t 1 ,
t 2 , …, t n , которые могут быть представлены на графике в виде точек
(рис2). Нам необходимо установить эмпирическую зависимость между y и t .
Очевидно, если соединить последовательно эти точки, то получим ломаную линию, не имеющую ничего общего с искомой зависимостью y  f t  . Это следует хотя бы из того, что форма этой лома-
9
ной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измере-
ний.
Рис 2
Измеренные значения y i будут в общем случае смещены относительно искомой кривой как в сторону больших, так и в сторону
меньших значений, вследствие статистического разброса (рис 3)
Рис. 3
Задача состоит в том, чтобы по данным экспериментальным
точкам найти гладкую кривую (или прямую), которая проходила бы
как можно ближе к графику “истинной” функциональной зависимости y  f t  .
Теория вероятностей показывает, что наилучшим приближением
будет такая кривая (или прямая) линия, для которой сумма квадратов
10
расстояний по вертикали от экспериментальных точек до этой кривой
будет минимальной.
Этот метод нахождения эмпирической зависимости получил
название метода наименьших квадратов. Сущность этого метода состоит в следующем.
Предположим, что искомая зависимость выражается функцией
y  f t , A1 , A2 , ..., Am  , где A1 , A2 , ..., Am – параметры. Значения этих
параметров определяются так, чтобы точки y i располагались по обе
стороны этой кривой как можно ближе к последней, то есть, чтобы
сумма квадратов отклонений измеренных значений y i от функции
y  f t  была наименьшей. (Это соответствует предположению, что
разброс точек относительно кривой y  f t  подчиняется закону нормального распределения.)
Мерой этого разброса является дисперсия 2 или ее приближен2
ное выражение Sn  – средний квадрат отклонений:
1 n
Sn    y i  y t i 2 .
n i 1
Этот средний квадрат отклонений и должен принять минимальное значение. Как известно, функция f  A принимает минимальное
значение при A  Amin , если ее первая производная равна нулю. а вторая производная положительна при значении A  Amin . Для функции
многих переменных эти условия заменяются требованием, чтобы
частные производные, то есть производные по параметру Ai удовлетворяли вышеупомянутым условиям (при этом остальные параметры
Ak k  i  при вычислении производных считаются постоянными).
Таким образом, из условий минимума мы получаем систему
уравнений для определения наилучших значений параметров.
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов на примере отыскания эмпирической зависимости пути, проходимого грузиками на машине Атвуда, от времени.
Полагая, что “истинная” зависимость пути от времени имеет вид
St   S0  Bt 2 .
2
можно рассмотреть случайные отклонения:
S i  Si  St i  ,
(7)
11
где Si – измеренные положения правого грузика в моменты времени
ti .
Запишем квадратичную форму
2
1 n
(8)
F   Si  S0  Bt i2 
n i 1
и потребуем, чтобы эта квадратичная форма, описывающая сумму
квадратов отклонений точек Si от искомой кривой, была минимальной:
F S0 , B   min .
Тогда из равенства нулю частных производных от F по параметрам S0 и B получим два уравнения
n
 F
2
 S  2  Si  S0  Bt i   0
 0
i 1
(9)

n

F

 2  Si  S0  Bt i2   t i2  0
 B
i 1
Эти уравнения можно переписать в виде
n
n
nS0  B  t   Si
2
i
i 1
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
S0  t i2  B  t i4   Si t i2
Решение этой системы позволяет найти значения S0 и B 
(10)
a
,а
2
затем определить ускорение a .
(В уравнениях (7 – 10) индекс i соответствует усредненному
значению данного параметра соответствующей серии измерений в
таблицах 1 и 2.)
VI. Контрольные вопросы
1. Какие величины характеризуют прямолинейное движение?
2. Какое движение называется равномерным, ускоренным?
3. В чем состоит принцип метода наименьших квадратов?
4. Начертите график зависимости пути от времени для равноускоренного движения без начальной скорости, с начальной скоростью; график пути для равнозамедленного движения.
12
5. Объясните смысл и происхождение слагаемого S0 и величины B в
законе пути, полученном в результате работы.
6. С какой целью мы применяем метод наименьших квадратов?
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. -М.: Наука, 1982.
2. Лебедев В.В. Руководство по обработке результатов наблюдений
при выполнении лабораторных работ. -М. МИНГ, 1987.
13
Лабораторная работа № 112
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
I. Цель и содержание работы
Целью работы является ознакомление с понятием центра масс
системы материальных точек и с его важнейшими свойствами. Содержание работы состоит в определении перемещения и ускорения
центра масс незамкнутой системы из двух материальных точек при
помощи машины Атвуда.
II. Краткая теория работы
Центром масс (центром инерции) системы, состоящей из n материальных точек, называется точка c , положение которой относительно произвольной системы отсчета xyz (рис. 1) определяется радиус-вектором
n

m
r
i i
 
i 1
,
(1)
rc 
M
n
M   mi
i 1
(2)

или координатами x c , y c , zc , где mi , ri , x i , y i , zi – масса, радиус-вектор и координаты частицы ( i  1, 2, 3…, n ), M – масса всей системы.
Скорость и ускорение центра масс определяются соотношениями
n
n


  mi v i  pi
 dr
(3)
v c  c  i 1
 i 1
dt
M
M
n

m
a


i i
 d 2 rc d v 
i 1
,
(4)
ac  2 

dt
dt
M
14
  
где v i , pi , ai – соответственно скорость, импульс и ускорение i -й частицы.
Рис. 1
Согласно законам динамики, центр масс системы материальных
точек движется так, как двигалась бы материальная точка, обладающая массой всей системы, если бы к ней были приложены все внешние силы, действующие на различные точки системы. Этот закон
движения центра масс может быть записан
как


(5)
M ac  F

где F – результирующая всех внешних сил, действующих на различные точки системы.
Цель настоящей работы – экспериментальная проверка закона
движения центра масс при помощи машины Атвуда (рис. 2). Машина
Атвуда состоит из вертикальной штанги (1), на верхнем конце которой имеется легкий алюминиевый блок (2), вращающийся с малым
трением. Через блок перекинута тонкая нить с прикрепленными грузами (3) одинаковой массы. Если на один из грузов положить небольшой перегрузок, то они придут в движение с постоянным ускорением.
Рассмотрим движение системы, состоящей из грузов массой m1 и
m2 блока радиусом R с моментом инерции J . На каждый груз будут
действовать две силы – сила тяжести и натяжение нити (рис. 3). В
15
этом случае, рассматривая грузы как систему из двух материальных
точек, запишем закон движения центра масс (силами трения пренебрегаем):
 
m1  m2 ac  m1  m2 g  T1  T2
или в проекции на ось x :
m1  m2 ac  m1  m2 g  T1  T2
(6)
Для нахождения сил натяжения T1 и T2 нужно использовать
уравнения движения каждого груза в отдельности и уравнение вращательного движения блока. В результате получим следующую систему уравнений для определения ускорения центра масс ac (предполагаем, что m2  m1 , а нить нерастяжима и невесома):
m1  m2 ac  m1  m2 g  T1  T2
 J   T  T R
2
1

m2 a  m2 g  T2

(7)
 m1a  m1 g  T1

a  R

1
2
 J  2 mбл R
где mбл ,  – масса и угловое ускорение блока соответственно;


a  a1  a2 – модуль вектора ускорения грузов; такую же величину
тангенциального ускорения имеют точки на ободе блока (нить не
скользит по поверхности блока).
Рис. 2
16
Решая систему (7), получаем следующие выражения для величины ускорения груза
m2  m1
(8)
a
g
1
m1  m2  máë
2
и ускорения центра масс
2
 m2  m1 
g
(9)
ac 

1
m1  m2 m  m  m
1
2
áë
2
Рис. 3
Из формул (8) и (9) можно определить связь между ac и a :
m  m1
ac  2
a.
m1  m2
Эту формулу можно также получить из (4).
Расчет по формулам (8) и (9) величин a и ac дает несколько завышенные значения, так как при выводе этих формул не учитывались
17
силы трения на оси блока и сопротивление воздуха при движении
грузов. Вносимая при этом систематическая относительная погрешность составляет около 10%.
Так как силы, действующие на грузы, постоянны, то как грузы,
так и центр их масс должны совершать равноускоренное движение.
Зависимость величин перемещений от времени при нулевой начальной скорости выражается следующим образом:
act 2
at 2
; x c 
(10)
x 
2
2
Центр масс рассматриваемой системы движется вдоль оси x в
сторону большего груза m 2 . Пунктирная линия O O  на рис. 3 – траектория центра масс.
Вследствие нерастяжимости нити перемещения грузов равны по
модулю и противоположны по направлению:




x1  x 2 ; x1  x 2  x .
Тогда, согласно (10), получим
m  m1
(11)
x c  2
x .
m1  m2
Чтобы определить ускорение центра масс, нужно построить график зависимости x c от t 2 , который, согласно (10), должен быть
a
прямой линией (рис. 4), с угловым коэффициентом c  tg  .
2
Тогда
x
ac  2 tg   2 2 c
(12)
t
Рис. 4
18
III. Приборы и принадлежности, необходимые для выполнения
работы
1. Машина Атвуда. Ее устройство показано на рис. 2. Масса блока
mбл  100,0  0,1 г. Блок вращается с малым трением вокруг горизонтальной оси, укрепленной в верхней части стойки. Стойка снабжена вертикальной шкалой с ценой деления 1 см. Через блок перекинута тонкая нить, на концах которой висят грузы с одинаковыми
массами m  50,0  0,1 г. Если на правый груз положить дополнительный груз (перегрузок), масса которого m  5,0  0,1 г, то система будет двигаться равноускоренно. Перегрузок имеет малую по
сравнению с грузом массу. В этом случае и ускорение системы будет невелико, что облегчает проводимые измерения.
2. Цифровой секундомер, соединенный с пусковым устройством. К
стойке прикреплена горизонтальная полочка П, в которой смонтировано устройство, выключающее секундомер.
3. Источник постоянного напряжения для питания электромагнита.
IV. Порядок выполнения работы
1. Включить в сеть секундомер и источник постоянного напряжения.
2. Тумблер на пусковом устройстве привести в положение
“пуск”. Установить груз с перегрузком напротив метки “0” на вертикальной шкале машины Атвуда. Перевести тумблер пускового
устройства в “начальное положение”. При этом включается электромагнит, удерживающий груз в выбранном положении.
3. Нажать кнопку “сброс” на секундомере.
4. Для приведения системы в движение тумблер на пусковом
устройстве переводится в положение “пуск”. При этом размыкается
цепь электромагнита и одновременно автоматически включается секундомер. Ударяясь о полочку П, груз выключает секундомер. По
шкале секундомера отсчитать время движения груза. Показания секундомера занести в таблицу. Расстояние между грузом с перегрузком и полочкой П определяет величину перемещения груза.
5. Измерение времени для каждого положения груза (см. таблицу) повторить 3 раза, следуя пунктам 2-4.
19
Таблица
Расстояние
№ между грузом Отсчет по шкале
Перемещение
2
2
п/п и полочкой П
секундомера
t , (с) t , (с ) центра масс
(см)
t i (c)
(см)
1
80
2
75
3
70
.
.
.
14
1
2
3
1
2
3
1
2
3
.
.
.
15
.
.
.
1
2
3
V. Обработка результатов измерений
1. Получить ориентировочное значение ac по формуле (9).
2. Построить график зависимости x c от t 2 , предварительно заполнив правую часть таблицы.
3. При помощи полученного графика определить значение ac
(см. (12)) и сравнить его с результатами расчета по формуле (9).
4. Оценить погрешности для одного измерения ac (данные для
расчета взять из 5-го пункта таблицы) по следующей схеме:
1. Исходная формула:
2  m2  m1  x
 m1  m2   t 2
(см. (10) и (11)), здесь x  x  0  x
ac 
20
2.
2
2
 a 
 a 
 a 
 a 
ac   c  x 2   c  t 2   c  m12   c  m22 ,
 x 
 t 
 m1 
 m2 
2
где
2
ac 2m2  m1 

x m1  m2 t 2
ac
4m2  m1 x

m1  m2 t 3
t
ac
4m2 x

m1
m1  m2 2 t 2
ac
4m1x

m2
m1  m2 2 t 2
3.
a
 ac  c
ac
VI. Контрольные вопросы
1. Дайте определение центра масс системы материальных точек.
2. Напишите формулы, определяющие координаты, скорость и ускорение центра масс в общем случае.
3. Напишите формулы, определяющие координаты, скорость и ускорение центра масс, применительно к системе двух грузов, рассматриваемой в данной работе.
4. Является ли данная система двух грузов замкнутой?
5. Как движется центр масс замкнутой системы?
6. Какова траектория центра масс в данной работе?
7. Часто с центром масс связывают систему отсчета (Ц-система). Будет ли Ц-система в данной работе инерциальной?
8. Определите силы натяжения T1 и T2 (рис. 3) для двух условий:
а) массой блока можно пренебречь,
б) массу блока, равномерно распределенную по диску, необходимо учитывать,
в) как изменится натяжение, если массу блока распределить
тонким слоем по его ободу?
21
9. Рассмотрите систему из двух материальных точек: груз массы m1
неподвижно закреплен, груз массы m2 свободно падает с некоторой
высоты. С каким ускорением движется их центр масс? Определите
ускорение грузов в Ц-системе.
10. Рассмотрите систему из трех материальных точек: двух грузов и
блока (рис. 3), считая, что масса блока сосредоточена в его геометрическом центре. Напишите формулы для координаты, скорости и
ускорения центра масс этой системы, сравните их с соответствующими формулами пункта 3.
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики, T. 1, 1982, §§3, 4, 9.
2. Стрелков С.П. Механика, 1975, §§55, 56.
22
Лабораторная работа № 121
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ
I. Цель и содержание работы
Целью работы является изучение явления возникновения трения
при качении одного тела по поверхности другого.
Содержание работы составляет определение коэффициента трения качения при качении шара по поверхности методом наклонного
маятника.
II. Краткая теория работы
Внешнее трение – механическое сопротивление, возникающее в
плоскости касания двух прижатых друг к другу тел, при их относительном перемещении. Сила сопротивления, направленная противоположно относительному перемещению данного тела, называется силой трения Fтр , действующей на это тело. Внешнее трение – диссипативный процесс, сопровождающийся выделением теплоты, электризацией тел, их разрушением.
Различают трение скольжения и качения. Каждый из этих видов
характеризуется соответствующим коэффициентом. Так, коэффициент трения скольжения равен отношению силы трения к силе реакции
опоры, направленной по нормали к поверхности. kскольж  Fтр N . Значения силы трения качения малы по сравнению с силами трения
скольжения.
При качении цилиндра (шара) всегда имеет место сила трения
качения - сила, связанная с “потерями” энергии, т.е. с переходом механической энергии в тепловую. Поэтому цилиндр, катящийся без
скольжения, постепенно останавливается. В этом случае сила трения
качения зависит от свойств материала цилиндра (шара) и плоскости. Трение качения обусловлено взаимной деформацией тел, которая при качении без скольжения является неупругой и поэтому
несимметрична относительно катящегося тела (цилиндр, шар, колесо).
Ввиду такой несимметричности деформации (рис.1) сила реакции N имеет и горизонтальную, и вертикальную составляющие, при-
23
чем вертикальная составляющая силы N равна силе тяжести mg .
Точка приложения силы N должна находиться впереди цилиндра, а
линия N должна проходить выше центра масс цилиндра (рис 1).
Рис. 1
Только в этом случае возможно качение тела без скольжения,
т.е. выполняется условие v  R , где R – радиус катящегося шара
или цилиндра. При этом возникающий вращательный момент сообщает телу отрицательное ускорение, что согласуется с уменьшением
величины скорости v .
Обозначим расстояние, соответствующее смещению точки приложения силы N , через r к . Так как это смещение очень мало по сравнению с радиусом R , и угол наклона  мал (рис. 1), имеем
M  Nr к ,
(1)
где M – момент силы N .
Расстояние r к и называется коэффициентом трения качения.
Коэффициент трения качения имеет размерность длины, в отличие от безразмерного коэффициента трения скольжения.
Записанное выше выражение (1) следует рассматривать как первое приближение. Теоретическое рассмотрение процесса перекатывания с учетом величин, характеризующих материал тел, скорости их
24
движения, давления на них приводит к сложным выражениям для величины силы трения качения.
III. Описание установки и принцип ее работы.
Общий вид установки показан на рис. 2.
На вертикальной стойке 2 основания 1 размещается червячный
редуктор, который осуществляет поворот и фиксацию нижнего
кронштейна 3. Червячный редуктор приводится во вращение маховичком, и отсчет угла наклона образца производится по шкале 4.
Нижний кронштейн 3 представляет собой литую деталь сложной
конфигурации, на которой крепятся: шкала отсчета амплитуды колебаний маятника 5, вертикальный стержень 6, предназначенный для
крепления верхнего кронштейна, датчик фотоэлектрический 9.
Шкала 5 представляет собой пластину, в которой сделано
гнездо, предназначенное для установки сменных образцов. По шкале
определяется угол отклонения маятника от положения равновесия до
11º.
Шкала 5 снабжена зеркальным отражателем, который служит
для уменьшения параллакса при отсчете угла отклонения маятника.
Образец представляет собой прямоугольную пластинку, выполненную из различных материалов. Каждый образец имеет две рабочие поверхности с разной чистотой обработки.
В верхнем кронштейне 7 размещается механизм подвеса маятника, который позволяет регулировать его длину.
Маятник 8 представляет собой тонкую эластичную нить с подвешенным на ней испытываемым шаром, который в свою очередь,
имеет конус, предназначенный для пересечения оптической оси фотоэлектрического датчика 9.
Фотоэлектрический датчик 9 размещается на нижнем кронштейне и служит для выдачи электрического сигнала на миллисекундомер 10.
Миллисекундомер 10 является прибором с цифровой индикацией времени и количества полных периодов колебаний маятника.
Миллисекундомер жестко закреплен на основании 1 и соединен кабелем с фотоэлектрическим датчиком.
Пусть в начальный момент маятник занимает положение ОА
(рис 2).
Если отклонить шарик от положения равновесия на угол  0 , а
затем отпустить, маятник начнет совершать затухающие колебания.
25
Через некоторое время, когда маятник совершит n полных колебаний, угол его отклонения от положения равновесия примет значение
26
Рис. 2
 n . Потенциальная энергия маятника при этом уменьшится на
величину
(2)
E P  mg  h
( m – масса маятника, h – разность высот положения его центра тяжести относительно начального). Это изменение энергии равно работе A при качении тел по плоскости.
Рис. 3
A  M  ,
(3)
где   – сумма всех углов отклонения шара от равновесного положения за n колебаний, M – вращательный момент.
Итак, получим:
(4)
M    mg h
Из рис. 4 и 5 видно, что
(5)
h  L sin ,
(6)
N  mgcos .
Подсчитаем сумму всех углов отклонений шара за n колебаний
S
(7)
  R ,
27
где S – расстояние, проходимое шаром при качении вдоль дуги за n
колебаний, R – радиус шара.
Расстояния S и L вычисляются по формулам (8, 9), исходя из
геометрических соображений
S  20  n n
(8)
(9)
L  L  02   n2  2
L – длина стержня, на котором прикреплен шар.
Выразим величину момента трения качения из (4), учитывая
(5 - 9). Получим:
mg  h mg  L  R sin  NR tg 
M 


L

S
S

и, окончательно:
 R0  n 

(10)
M N
tg 
4
n


Выражение, стоящее в фигурных скобках, – коэффициент трения
качения r к .
R  0   n 
rк 
tg 
(11)
4n
IV. Порядок выполнения работы
1. Включить в сеть шнур питания миллисекундомера.
2. Нажать на кнопку сеть, расположенную на лицевой панели миллисекундомера (при этом должны загореться цифровые индикаторы).
3. Поместить в гнездо шкалы исследуемый образец, коэффициент
трения которого при качении по нему шара надо определить. Установить угол наклона образца   30 .
4. Отклонить маятник от положения равновесия на угол  0  6 . При
достижении амплитуды колебаний  n  2 нажать на кнопку “стоп”
миллисекундомера и записать число полных колебаний ( n ).
5. Измерить штангенциркулем радиус шара R .
6. Описанные в пункте 4 измерения проделать три раза, изменяя значения  0 и  n .
7. Измерения повторить для углов наклона   45 и   60 .
8. Все измеренные значения внести в таблицу 1.
28
Таблица.
0 ,
0 ,
n ,
n ,
,
градус. градус. радиан. градус. радиан.
n
rк ,
м
rк i ,
м
r к i ,
м2
2
30
45
60
R
V. Обработка результатов измерений
1. Выразить  0 и  n в радианах и вычисления записать в таблицу.
2. Подсчитать среднее значение r к для каждого  при помощи
формулы (11). Полученные значения записать в таблицу.
3. Определить погрешность результата серии измерений r к отдельно для каждого угла  . Вычисления выполнять как для серии
прямых измерений.
2
rк i

rк  t  n
nn  1
где rк i – отклонение каждого измерения от среднего,
t  n  – коэффициент Стьюдента.
4. Окончательный результат записать в виде:
rк  rк  rк
29
VI. Контрольные вопросы
1. Объясните возникновение силы трения качения при движении тела
без проскальзывания?
2. Каково условие качения тела без скольжения?
3. Что называется коэффициентом трения скольжения? Его размерность?
4. Что называется коэффициентом трения качения? Его размерность?
5. Опишите метод измерения коэффициента трения качения в установке наклонного маятника.
6. Как рассчитать абсолютную и относительную погрешность в данной работе?
7. Какие факторы влияют на величину коэффициента трения качения?
Литература
1. Стрелков С.П. Механика. -М. Наука. 1975, гл. 8.
30
СОДЕРЖАНИЕ
Работа № 111. Равноускоренное движение ............................................. 3
Приложение. Метод наименьших квадратов ................. 8
Работа № 112. Изучение закона движения центра масс ....................... 13
Работа № 121. Определение коэффициента трения качения ............... 22
Барышева Татьяна Борисовна, Соколов Валерий Петрович,
Светличный Александр Иванович
Лабораторные работы №№ 111, 112, 121. Механика
Методическое пособие
Сводный тем.план 1999-2000
Подписано в печать 28.02.00
Объем 1,3 уч.-изд. л.
Формат 6090/22
Тираж 400 экз.
Заказ №
Отдел оперативной полиграфии РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина
117917, Москва, ГСП-1, Ленинский пр., 65