Методы решения систем нелинейных уравнений.

Методы решения систем нелинейных уравнений.
( Работа педагога дополнительного образования Куца Федора Ивановича, МБОУ ДОД
ДДТ г, Зверево РО, объединение "Школа решения нестандартных задач по математике")
1) Метод подстановки.
a) Метод прямой подстановки.
Идея метода. Выбирается уравнение, в котором одна из переменных наиболее просто
выражается через остальные переменные. Полученное выражение этой переменной
подставляется в оставшиеся уравнения системы.
х2 + у2 = 10,
{
х − у = 2.
2
2
(2 + у) + у = 10,
22 + 4у + у2 + у2 = 10,
{
{
х = 2 + у;
х = 2 + у;
Решить систему уравнений
{
х2 + у2 = 10,
х = 2 + у;
4 + 4у + 2у2 − 10 = 0,
у2 + 2 у − 3 = 0,
{
х = 2 + у;
х = 2 + у;
2
Корнями уравнения у +2у –3 = 0 являются у1 = 1, у2 = - 3.
{
у1 = 1, у2 = −3,
х = 2 + у.
Ответ. (3;1), (-1;-3).
{
(1) {
у1 = 1,
х1 = 3;
или
(2) {
у2 = −3,
х2 = −1.
b) Комбинирование с другими методами.
Идея метода. Если метод прямой подстановки не применим на начальном этапе решения,
то используются равносильные преобразования систем (почленное сложение, вычитание,
умножение, деление), а затем проводят непосредственно прямую подстановку.
х2 у3 = 16,
Решить систему уравнений { 3 2
х у = 2.
Поскольку х и у не могут принимать нулевые значения, разделим первое уравнение
системы на второе, в результате получим линейное уравнение.
х2 у3
{
х3 у2
3 2
= 8,
х у = 2;
у
= 8,
х
3 2
{
х у = 2;
у = 8х, х = 1 ,
у = 8х,
у = 8х,
2
1
{ 3 2
{
{
{
х у = 2; х3 (8х)2 = 2; х5 = 32 ; у = 4.
𝟏
Ответ. (𝟐;4)
2) Метод независимого решения одного из уравнений.
Идея метода. Если в системе содержится уравнение, в котором находятся взаимно
обратные выражения, то вводится новая переменная и относительно её решается
уравнение. Затем система распадается на несколько более простых систем.
х+3
у−3
17
+
= ,
Решить систему уравнений {у−3 х+3 4
ху = 4.
х +3
у −3
17
Рассмотрим первое уравнение системы: у −3 + х + 3 = 4 .
х +3
1
Сделав замену t = у −3, где t ≠ 0, получаем t + t =
17
4
, 4t2 - 17t + 4 = 0.
1
Откуда t1 = 4, t2 = 4.
Возвращаясь к старым переменным, рассмотрим два случая.
х+3
х = 4у − 15,
= 4,
х = 4у − 15,
х + 3 = 4( у − 3), х = 4у − 15,
1) {у−3
{
{
{
{ 2
ху = 4;
(4у − 15)у = 4; 4у − 15у = 4;
ху = 4;
ху = 4;
х = 4у − 15,
4у − 15у − 4 = 0.
1
Корнями уравнения 4у2 – 15у – 4 = 0 являются у1 = 4, у2 = - .
{
2
1
{
у1 = 4, у2 = − 4 ,
х = 4у − 15.
х+3
2)
у = 4,
(1) { 1
х1 = 1;
{у−3
1
= 4,
ху = 4;
{
4
1
или
(2) {
у2 = − 4 ,
х2 = −16.
у = 4х + 15,
у = 4х + 15,
{
{ 2
(4х + 15)х = 4; 4х + 15х = 4;
4(х + 3) = у − 3, у = 4х + 15,
{
ху = 4;
ху = 4;
у = 4х + 15,
4х + 15х − 4 = 0.
1
Корнями уравнения 4х2 + 15х – 4 = 0 являются х1 = - 4, х2 = 4.
{
{
2
х1 = − 4, х2 =
1
,
4
х1 = −4,
(3) { у = −1;
1
у = 4х + 15.
𝟏
𝟏
Ответ.(1;4), (-16; - 𝟒), (-4;-1), (𝟒;16).
1
или
х = 4,
(4) { 2
у2 = 16.
3)Сведение системы к объединению более простых систем.
a) Разложение на множители способом вынесения общего множителя.
Идея метода. Если в одном из уравнений есть общий множитель, то это уравнение
раскладывают на множители и, учитывая равенство выражения нулю, переходят к
решению более простых систем.
х2 + у2 = 25,
Решить систему уравнений {
у(х − 3) = 5(х − 3).
Разложим на множители второе уравнение системы.
{
х2 + у2 = 25,
у(х − 3) − 5(х − 3) = 0;
1) {
х2 + у2 = 25,
или
х − 3 = 0;
Решим первую систему {
{
у1 = 4, у2 = −4,
х = 3.
2) {
{
х2 + у2 = 25,
(х − 3)(у − 5) = 0.
Откуда:
х2 + у2 = 25,
у − 5 = 0.
х2 + у2 = 25, х2 + у2 = 25, 9 + у2 = 25, у2 = 16,
{
{
{
х − 3 = 0;
х = 3;
х = 3;
х = 3;
у1 = 4,
у2 = −4,
(1) {
или
(2) {
х1 = 3;
х2 = 3.
х2 + у2 = 25, х2 + у2 = 25, х2 + 25 = 25,
{
{
у = 5;
у − 5 = 0;
у = 5;
х = 0,
(3) { 3
у3 = 5.
Решим вторую систему {
{
х2 = 0,
у = 5;
Ответ. (3;4), (3; -4), (0;5).
b) Разложение на множители через решение однородного уравнения.
Идея метода. Если одно из уравнений представляет собой однородное уравнение (aх2 +
bху + cу2 = 0), то решив его относительно одной из переменных, раскладываем на
множители, например: a(x-x1)(x-x2) и, учитывая равенство выражения нулю, переходим к
решению более простых систем.
х2 − 5ху + 4у2 = 0,
Решить систему уравнений {
3х2 − 2у = 8.
Решим уравнение х2 − 5ху + 4у2 = 0 относительно х.
D = (-5у)2 – 4 ∙1 ∙ 4у2 = 25у2 – 16у2 = 9у2.
х1,2 =
5у ±√9у2
2
5у ±3у
=
. х1 = 4у, х2 = у.
2
(х − у)(х − 4у) = 0,
Система принимает вид: {
3х2 − 2у = 8.
1) {
х − у = 0,
или
3х2 − 2у = 8;
2) {
Решим первую систему {
Откуда:
х − 4у = 0,
3х2 − 2у = 8.
х − у = 0,
3х2 − 2у = 8;
х = у,
{ 2
3х − 2у − 8 = 0;
{
х = у,
3у − 2у − 8 = 0;
2
Решим уравнение 3у2 − 2у − 8 = 0.
D = (-2)2 – 4 ∙3 ∙ (−8) = 4 + 96 = 100.
у1,2 =
2 ±√100
2∙3
=
2 ±10
6
4
. у1 = 2, у2 = - 3.
х = у,
х = 2,
(1) { 1
у1 = 2;
{ у = 2, у = − 4 .
1
2
3
Решим вторую систему {
х − 4у = 0,
3х2 − 2у = 8;
Решим уравнение 48у2 − 2у − 8 = 0,
1 ±√385
2∙24
.
у1 =
1+√385
48
, у2 =
1−√385
48
или
(2) {
у2 = −
х = 4у,
{ 2
3х − 2у − 8 = 0;
24у2 − у − 4 = 0.
D = (-1)2 – 4 ∙24 ∙ (−4) = 1 + 384 = 385.
у1,2 =
4
х2 = − 3 ,
.
4
3
.
х = 4у,
{
2
48у − 2у − 8 = 0.
х = 4у,
{
1+√385
у1 =
48
1−√385
, у2 =
48
𝟒
𝟒
(3) {
;
1+√385
у1 =
𝟏+√𝟑𝟖𝟓
Ответ. (2;2), (− 𝟑 ; − 𝟑), (
х1 =
𝟏𝟐
;
12
1+√385
48
𝟏+√𝟑𝟖𝟓
𝟏−√𝟑𝟖𝟓
𝟒𝟖
𝟏𝟐
), (
,
или
(4) {
у2 =
;
𝟏−√𝟑𝟖𝟓
;
х2 =
𝟒𝟖
1−√385
12
1=√385
48
,
.
),
c) Использование однородности.
Идея метода. Если в системе есть выражение, представляющее собой произведение
переменных величин, то применяя метод алгебраического сложения, получают
однородное уравнение, а затем используют метод разложение на множители через
решение однородного уравнения.
3х2 − ху + у2 = 5,
Решить систему уравнений { 2
х + 2у2 = 3.
Умножим первое уравнение на (-3), второе — на 5 и сложим.
{
−9х2 + 3ху − 3у2 = −15,
5х2 + 10у2 = 15;
{
−4х2 + 3ху + 7у2 = 0,
х2 + 2у2 = 3.
Решим уравнение −4х2 + 3ху + 7у2 = 0 относительно х.
D = (3у)2 – 4 ∙(-4) ∙ 7у2 = 9у2 +112у2 = 121у2.
х1,2 =
−3у ±√121у2
2∙(−4)
=
−3у ±11у
7
. х1 = 4у,
−8
х2 = - у.
7
(х + у)(х − у) = 0,
4
Система принимает вид: {
2
2
х + 2у = 3.
Откуда 1) {
х + у = 0,
или
х + 2 у2 = 3;
2
7
2) {
х − 4 у = 0,
х2 + 2у2 = 3.
Решим первую систему {
{
х = − у,
у2 = 1.
х = −у,
{ 2
у + 2у2 = 3;
х + у = 0,
2
х + 2у2 = 3;
х = − у,
{у = 1, у = −1.
1
2
Откуда: (1) {
{
х2 + 2у2 = 3;
(3){
{
{
48
у2 = 81 .
у1 =
х1 =
у1 =
7√3
9
4√3
9
,
;
х1 = −1,
или
у1 = 1;
{49
16
х = 4 у,
у2 + 2у2 = 3.
7
7
81у2 = 48.
Откуда
х − 4 у = 0,
х = 4 у,
х = 4 у,
7
х = 4 у,
4√3
9
или (4) {
х = −у,
3у2 = 3;
7
7
Решим вторую систему {
{
, у2 = −
х2 = −
у2 = −
4√3
9
7√3
,
9
4√3
9
.
.
х2 = 1,
(2) {у = −1.
2
7
{
х = 4 у,
49у2 + 32у2 = 48.
Ответ. (1;-1), (-1;1), (
𝟕√𝟑 𝟒√𝟑
;
𝟗
𝟗
), (−
𝟕√𝟑
𝟗
;−
𝟒√𝟑
𝟗
).
4) Метод алгебраического сложения.
Идея метода. В одном из уравнений избавляемся от одной из неизвестных, для этого
уравниваем модули коэффициентов при одной из переменных, затем производим или
почленное сложение уравнений, или вычитание.
5х2 + 2у = 9,
Решить систему уравнений {
7х − 3у = 1.
Уравняем модули коэффициентов при переменной величине у, для этого первое уравнение
умножим на 3, а второе на 2.
{
15х2 + 6у = 27,
14х − 6у = 2.
Прибавив к первому уравнению второе, получаем {
15х2 + 14х = 29,
7х − 3у = 1;
Решим первое уравнение системы 15х2 + 14х = 29, 15х2 + 14х − 29 = 0.
29
Так как 15 + 14 - 29 = 0, то х1 = 1, х2 = - 15.
29
х1 = 1, х2 = − 15 ,
29
{
х1 = 1, х2 = − 15 ,
{
3у = 7х − 1.
𝟐𝟗
Ответ. (1;2). (- 𝟏𝟓; -
𝟐𝟏𝟖
𝟒𝟓
у=
7х−1
3
х1 = 1,
(1) { у = 2;
1
.
29
или
х2 = − 15 ,
(2) {
218
у2 = − 45 .
).
5) Метод умножения уравнений.
Идея метода. Если нет таких пар (х;у), при которых обе части одного из уравнений
обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить произведением обоих
уравнений системы.
3
Решить систему уравнений
х
{
3
√х − √у = −2 ∙ √у .
у
х
(√х + √у )(√х − √у ) = 2 ∙ √х ∙ (−2) ∙ √у ,
х
{
у
√х + √у = 2 ∙ √х ,
√х − √у = −2 ∙ √у ;
х = у − 3,
{
у−3
√у − 3 − √у = −2 ∙ √ у .
х − у = −3,
{
х = у − 3,
х
√х − √у = −2 ∙ √у ;
х
{
√х − √у = −2 ∙ √у ;
Решим второе уравнение системы.
у−3
√у − 3 − √у = −2 ∙ √
у
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем:
√у − 3 ∙ (√у + 2) = у.
(у – 3)(√у+ 2)2 = у2;
; √у ∙ √у − 3 − у = −2 ∙ √у − 3; √у ∙ √у − 3 + 2 ∙ √у − 3 = у;
(у – 3)(у + 4√у + 4) = у2;
у2 + 4у√у+ 4у – 3у - 12√у -12 = у2;
4у√у + 4у – 3у - 12√у - 12 = 0.
Пусть √у = t, тогда 4t3 + t2 -12t -12 = 0.
Применяя следствие из теоремы о корнях многочлена, имеем t1 = 2.
Р(2) = 4∙23 + 22 - 12∙2 – 12 = 32 + 4 - 24 - 12 = 0.
Понизим степень многочлена, используя метод неопределенных коэффициентов.
4t3 + t2 -12t -12 = (t – 2) (at2 + bt + c).
4t3 +t2 -12t -12 = at3 + bt2 + ct - 2at2 -2bt - 2c.
4t3 + t2 - 12t -12 = at3 + (b – 2a) t2 + (c -2b) t - 2c.
a = 4,
b − 2a = 1,
{
c − 2b = −12,
−2c = −12;
a = 4,
{b = 9,
c = 6.
Получаем уравнение 4t2 + 9t + 6 = 0, которое не имеет корней, так как D = 92- 4∙4∙6 = -15<0.
Возвращаясь к переменной у, имеем √у = 2, откуда у = 4.
{
х = у − 3,
у = 4;
{
х = 1,
у = 4.
Ответ. (1;4).
6) Метод деления уравнений.
Идея метода. Если нет таких пар (х; у), при которых обе части одного из уравнений
обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить уравнением, которое
получается при делении одного уравнения системы на другое.
х2 + 3ху = 18,
Решить систему уравнений { 2
3у + ху = 6.
х2 +3ху
Разделим первое уравнение на второе{
18
х(х+3у)
х
= 3,
у
{
{
2
3у2 + ху = 6; 3у2 + ху = 6; 3у + ху = 6;
3у2 +ху
=
6
,
= 3,
у(3у+х)
{
х = 3у,
3у + ху = 6;
х = 3у,
{ 2
3у + 3у2 = 6;
2
Откуда: (1) {
х1 = 3,
или
у1 = 1;
{
х = 3у,
6у2 = 6;
{
х = 3у,
у2 = 1;
{
х = 3у,
у1 = 1, у2 = −1;
х2 = −3,
(2) {у = −1.
2
Ответ. (1;1), (-3;-3).
7) Метод введения новых переменных.
Идея метода. Некоторые выражения от исходных переменных принимаются за новые
переменные, что приводит к более простой, чем первоначальная, системе от этих
переменных. После того как новые переменные будут найдены, нужно найти значения
исходных переменных.
х
х + у + у = 9,
Решить систему уравнений{ (х+у)∙х
= 20.
у
Введем новые переменные: х + у = u,
х
у
= v.
u = 4,
u = 5,
u + v = 9,
{
Откуда (1){ 1
или (2) { 2
v1 = 5;
v2 = 4.
uv = 20.
Возвращаясь к старым переменным, имеем:
1) {
х + у = 4,
х
= 5;
у
и
2) {
х + у = 5,
х
= 4.
у
Решаем первую систему.
х + у = 4,
{
х = 5у;
5у + у = 4,
{
х = 5у;
6у = 4,
{
х = 5у;
2
(1) {
у = 3,
х=
10
3
.
Находим решение второй системы.
{
х + у = 5,
х = 4у;
𝟏𝟎
{
4у + у = 5,
х = 4у;
{
5у = 5,
х = 4у;
(2) {
у = 1,
х = 4.
𝟐
Ответ. ( 𝟑 ; 𝟑), (4;1).
8) Применение теоремы Виета.
Идея метода. Если система составлена так, одно из уравнений представлено в виде суммы,
а второе - в виде произведения некоторых чисел, которые являются корнями некоторого
квадратного уравнения, то применяя теорему Виета составляем квадратное уравнение и
решаем его.
х + у = 5,
Решить систему уравнений {
ху = 4.
х, у корни уравнения: а2 - 5а + 4 = 0. Откуда а1 = 1, а2 = 4.
Следовательно(1) {
х2 = 4,
(2) {у = 1.
2
х1 = 1,
или
у1 = 4;
Ответ. (1;4), (4;1).
9) Симметричные системы.
Идея метода. (Многочлен от двух переменных х и у называется симметричным, если он
не изменяется при замене х на у и у на х.). Свойство симметричных систем: если пара
чисел (х0;у0) является решением системы, то и пара (у0;х0) также является ее решением.
Для решения симметричных систем применяется подстановка: х + у = а; ху = в.
При решении симметричных систем используются следующие преобразования:
х2 + у2 = (х + у)2 – 2ху = а2 – 2в;
х2у + ху2 = ху (х + у) = ав;
1
х
1
+у=
х+у
х∙у
х3 + у3 = (х + у)(х2 – ху + у2) = а(а2 -3в);
(х +1)∙(у +1) = ху +х +у+1 =а + в +1;
а
= в.
х2 − 3ху + у2 = −1,
Решить систему уравнений {
х + у − ху = 1 .
Сделаем замену: х + у = а; ху = в; х2 + у2 = (х + у)2 – 2ху = а2 – 2в.
{
(а2 − 2в) − 3в = −1, а2 − 5в = −1, а2 − 5(а − 1) = −1, а2 − 5а + 6 = 0,
{
{
{
а − в = 1;
а − в = 1;
в = а − 1;
в = а − 1;
Решим уравнение:
а2 − 5а + 6 = 0.
а = 2,
а = 2, а2 = 3,
{ 1
Откуда (1) { 1
в1 = 1;
в = а − 1.
а1= 2, а2 = 3.
или
(2){
а2 = 3,
в2 = 2.
Возвращаясь к исходным переменным, рассмотрим два случая.
1) {
2) {
х + у = 2,
х = 1,
Откуда (1) {
у = 1.
ху = 1.
х + у = 3,
Откуда
ху = 2.
(2) {
х1 = 2,
у1 = 1;
или
(3) {
х2 = 1,
у2 = 2.
Ответ. (1;1), (1;2), (2;1).
10) «Граничные задачи».
Идея метода. Решение системы получаются путем логических рассуждений, связанных со
структурой области определения или множества значений функций, исследование знака
дискриминанта квадратного уравнения.
х2 + 4 = √у𝑧,
Решить систему уравнений{ 2
у − 16 = 3х𝑧√16 − у𝑧.
Особенность этой системы в том, что число переменных в ней больше числа уравнений.
Для нелинейных систем такая особенность часто является признаком «граничной задачи».
Исходя из вида уравнений, попытаемся найти множество значений функции у𝑧, которая
встречается и в первом, и во втором уравнении системы. Так как х2 + 4 ≥ 4, то из первого
уравнения следует, что √у𝑧 ≥ 4, а значит, у𝑧 ≥ 16. С другой стороны, исходя из области
определения функции √16 − у𝑧, получаем, что 16 – у𝑧 ≥ 0, откуда у𝑧 ≤ 16.Таким
Образом,16 ≤ у𝑧 ≤ 16, т. е. у𝑧 = 16. Подставим полученное значение в систему:
у𝑧 = 16,
у𝑧 = 16,
у𝑧 = 16,
𝑧 = 4,
𝑧 = −4,
2
2
х = 0,
х + 4 = 4,
{
{ х = 0,
{
(1) { х = 0, или (2) { х = 0,
2
2
у1 = 4;
у2 = −4.
у1 = 4, у2 = −4;
у − 16 = 3х ∙ 𝑧 ∙ 0; у = 16;
Ответ (0;4;4), (0;-4;-4).
11) Графический метод.
Идея метода. Строят графики функций в одной системе координат и находят координаты
точек их пересечения.
2х2 − у = 0,
Решить систему уравнений{
ху = 2.
1) Переписав первое уравнение систем в виде у = х2,
приходим к выводу: графиком уравнения является
парабола.
2
2) Переписав второе уравнение систем в виде у = х ,
приходим к выводу: графиком уравнения является
гипербола.
3) Парабола и гипербола пересекаются в точке А.
Точка пересечения только одна, поскольку правая
ветвь параболы служит графиком возрастающей
функции, а правая ветвь гиперболы - убывающей.
Судя по построенной геометрической модели точка
А имеет координаты (1;2). Проверка показывает, что пара (1;2) является решением обоих
уравнений системы.
Ответ (1;2).
Дидактический материал.
Решите системы уравнений.
1) {
4){
х8 у6 = 64,
х2 + у2 + х + у = 23,
2х2 − 3ху + 5у = 5,
2)
{
3)
{
(у − 1)(х − 2) = 0;
х6 у8 = 256;
х2 + у2 + 2ху = 9;
2х − у = 1,
у2 + х = 2,
х2 − 4у2 = 9,
5)
{
6)
{
х2 + 4у2 + х + 3у = 1;
х2 + 2у2 = 3;
2у2 + ху = 18;
7){
х2 у3 + х3 у2 = 12,
2х2 − 3ху + 3у2 = 80,
8){
х2 у3 − х3 у2 = 4;
х2 + ху − 2у2 = −56;
х + у = 12,
9) {
х+у
5х
34
√ 5х + √х+у = 15 ;
х2 + 3 = √у𝑧,
10) { 2
у − 9 = 3х𝑧√9 − у𝑧;
Список литературы.
1.Алгебра. ЕГЭ: шаг за шагом / А.А.Черняк, Ж.А.Черняк.- Волгоград: Учитель,2012.
2.Методы решения задач по математике: Пособие для поступающих в НПИ. Ч1 / Ред.
журн. « Изв. вузов. Электромеханика». Новочеркасск,1993.
3.Алгебра, 9 класс, В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/
А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 12-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2010.