КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 Функции многих переменных

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Функции многих переменных: дифференцирование и поиск экстремумов
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Понятие о функции двух переменных, область определения и линии уровня (знать определения и
уметь находить)
2. Частные и полное приращения функции f(x,y), определение частных производных первого порядка,
понятие о частных производных f(x,y) второго порядка и теорема о совпадении смешанных частных
производных
3. Направляющие косинусы, определение производной функции f(x,y) по направлению и теорема о
формуле для вычисления такой производной (с доказательством).
4. Градиент функции f(x,y) в точке, его величина и смысл, связь с производной функции по направлению
(с доказательством).
5. Определение точек безусловного экстремума функции f(x,y). Стационарные точки. Необходимое
условие экстремума (с доказательством)
6. Вывод формулы наименьших квадратов для линейного приближения и ее применение
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ (вопросы уровня «4» и «5» отмечены значком *)
1. Уметь находить частные производные 1-го и 2-го порядка функции двух переменных.
2. Уметь находить дифференциалы 1-го порядка функции двух переменных.
3. Уметь находить дифференциалы 2-го порядка функции двух переменных.
3. Уметь находить градиент функции двух переменных, величину градиента, производную по
направлению (в указанной и произвольной точке).
4. Уметь проверить необходимые условия для точки безусловного экстремума функции двух переменных
(найти стационарные точки).
5. Уметь проверить, выполняются ли для предложенной точки достаточные условия безусловного
экстремума функции двух переменных.
6. Уметь найти точки безусловного экстремума функции двух переменных.
7. Уметь найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в заданной области.
8. Уметь найти условный экстремум функции двух переменных в простейших случаях (подстановкой).
9. Уметь найти условный экстремум функции двух переменных с помощью функции Лагранжа (например,
найти экстремум функции f ( x, y )  2 xy при условии x 2  y 2  2, x  0, y  0 ).
10. Уметь найти производную сложной функции (например: а) найти F ' x ( x, y) , F ' y ( x, y ) для функции
F ( x, y )  f (2 x  3 y, xy) ; б) найти F ' x ( x, y) , F ' y ( x, y ) в точке М(-1; 2) для функции
F ( x, y)  f ( x 2  2 y, x / y) ).
ОБРАЗЕЦ ЗАДАНИЯ
Критерии оценок: «3» - от 6 до 8,5 баллов по заданиям 1-5; «4» - 9-11 баллов, «5» - 11,5-13 баллов.
1. (2б) Найти градиент функции f ( x, y )  y x 2  xy3  7 y в точке M(2;1) и его величину
2. (2б) Для функции f ( x, y )  ln( xy  5x  y 4 ) найти смешанные частные производные
2 f 2 f
,
и
x y y x
доказать их равенство.
3. (1,5 б) Найти и охарактеризовать точки экстремума функции f ( x, y )  4  x 3  6 y 2  3xy  6 x при
условии x  y  1 .
4. (1,5 б) Стационарные точки. Необходимое условие экстремума (с доказательством). Найдите
стационарные точки функции f ( x, y )  x3  3xy  y 2  4
5. (3б) С помощью функции Лагранжа найти экстремумы функции f ( x, y )  x  2 y при условии
x 2  y 2  20  0 .
6. (1,25 б) Найдите производную функции f ( x, y )  arcsin ( x / y ) в точке M(1;2) в направлении луча,
образующего с осью ОХ угол в 1350.
7. (1,75 б) Выведите формулу наименьших квадратов для линейного приближения
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Линейное программирование
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (формулировки определений и утверждений)
1. Определения граничной точки множества, ограниченного множества, замкнутого множества, выпуклого
множества, выпуклой многогранной области и выпуклого многогранника.
2. Формулировки теоремы об области допустимых решений задачи линейного программирования и теоремы
о целевой функции задачи линейного программирования.
3. Понятие о линиях уровня целевой функции и опорных прямых, теорема о поведении целевой функции в
точках линий уровня.
4. Основная теорема линейного программирования.
5. Три теоремы для метода искусственного базиса(признак оптимальности, признак несовместности
системы ограничений, признак неограниченности целевой функции).
6. Формулировки первой и второй теорем двойственности.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Определение вида задачи линейного программирования и переход от одной задачи к другой
(каноническая задача, стандартная симметричная задача)
2. Составление математических моделей, сводящихся к задаче линейного программирования.
3. Графическое решение задач линейного программирования: случай двух переменных и общий случай.
4. Решение задач линейного программирования симплекс-методом (построение опорного плана, проверка
опорного плана на оптимальность, выбор разрешающего элемента и переход к новому опорному плану).
5. Применение метода искусственного базиса: построение расширенной задачи и проведение
преобразований.
6. Построение двойственной задачи и определение оптимального решения одной из задач по известному
оптимальному решению другой.
ОБРАЗЕЦ ЗАДАНИЯ
Критерии оценок: «3» - более 5 баллов, «4» - более 8 баллов, «5» - более 10 баллов
1. Какое из множеств
является выпуклым?
(0,75б)
А)
f ( X )  4 x1  x2  max,
2. Решить задачу
линейного
программирования
графически (2 б);
записать в
стандартном
симметричном виде
(0,5б); записать в
каноническом виде
(0,5б)
 2 x1  x2  7
 x  3x  6
 1
2

 x1  x2  1
 x1  0, x2  0
B)
3. Решить задачу
линейного
программирования
методом
искусственного
базиса
(2 б)
C)
f ( X )  2 x1  2 x2  3x3  max,
 x1  x2  2 x3  2
 x x 4

1
3

  5 x1  x3  6
 xi  0, i  1,2,3
4. Составить задачу, двойственную к задаче из задания 2 (1 б). Сформулировать вторую теорему
двойственности (0,5б) Зная решение исходной задачи, найденное в задании 2, найти решение двойственной
задачи (1,5 б)
5. У Вас есть запасы драпа (22 м2) и велюра (36 м2) из которых можно шить
юбки и жилеты. Нормы расхода материала (на 10 изделий) в таблице.
Прибыль от продажи юбки 5 у.е., жилета 2 у.е. Составить математ. модель
задачи определения количества выпущенных изделий, приносящего
максимальную прибыль (1 б)
x5
x3
x2
f
x1
1
2
-3
-7
x4
-2
2
1
2
B
3
4
8
-12
Виды
ресурсов
Драп
Велюр
Затраты (м2)
Юбки Жилеты
3
2
4
6
6. Дана симплекс-таблица задачи линейного программирования, f(x) max.
Выписать опорное решение и значение функции для него, проверить, является
ли оно оптимальным (объяснить, почему). В случае неоптимальности перейти
к новому опорному плану, выписать полученное решение и значение функции,
определить, оптимальное ли. (1,25 б)
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 3
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
«3» - от 4 до 6 баллов, «4» - 6,5-7,5 баллов, «5» - более 7,5 баллов
1. Для предложенной транспортной задачи:
выписать начальные опорные решения методом
северо-западного угла и методом минимальной
стоимости и сравнить значения целевой
функции (2б.)
2. Проверить оптимальность предложенного
опорного плана транспортной задачи методом
потенциалов (1,5 б). В случае неоптимальности
завершить решение задачи (2 б.).
В
А
100
200
200
450
1
3
4
4
6
8
7
4
12
3
9
2
300
300
400
В
А
300
200
400
1
200
3
2
300
3
800
4
2
5
4
200
4
7
500
3. Решить предложенную транспортную задачу
с ограничениями на пропускную способность:
x32  30, x33  30 . (2,5 б.)
В
А
40
60
90
90
300
100
6
500
700
30
1
9
3
5
90
3
5
4
7
60
4
2
5
2
9
300
100
5
4
4
6