Презентация к лекции №3. Динамика

Курс дистанционного обучения
Физика
Лекция 03
Динамика
А.С.Ольчак, к.ф.-м.н., доцент,
кафедра «Общая Физика» НИЯУ МИФИ,
эксперт ЕГЭ
16.01.2013
Лекция 03: Основные темы лекции
Основные принципы динамики
Виды сил: тяжести, упругости, реакции
опоры, трения
Закон сохранения импульса
Домашние задачи
1. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты H . За какое время тело
пройдет отрезок пути длиной h перед поверхностью Земли? Какое
расстояние тело пройдет за интервал времени t перед падением на
землю?
2. Тело двигалось прямолинейно и равноускоренно с начальной скоростью V.
Известно, что, пройдя расстояние S, тело остановилось. Через какое
время t после начала движения скорость тела была в N раз меньше
начальной?
3. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты H. За какое время тело
пройдет первую, вторую, третью и четвертую четверти своего пути до
поверхности Земли?
4. Тело брошено горизонтально со скоростью V с башни высотой H. На каком
расстоянии S от основания башни тело упадет на землю?
5. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью V. Определить скорость
тела на высоте h.
6. Под каким углом α к горизонту надо пустить снаряд со скоростью V , чтобы
он упал точно на расстоянии S от точки выстрела? При каких скоростях
полета это в принципе возможно?
Домашние задачи
1. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты H . За какое время тело
пройдет отрезок пути длиной h перед поверхностью Земли? Какое
расстояние тело пройдет за интервал времени t перед падением на
землю?
Y
H
h
Домашние задачи
1. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты H . За какое время тело
пройдет отрезок пути длиной h перед поверхностью Земли? Какое
расстояние тело пройдет за интервал времени t перед падением на
землю?
V(t) = -gt
Y(t) = H - gt2/2
Y
H
h
Домашние задачи
1. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты H . За какое время тело
пройдет отрезок пути длиной h перед поверхностью Земли? Какое
расстояние тело пройдет за интервал времени t перед падением на
землю?
V(t) = -gt
Y(t) = H - gt2/2
Время падения: tf = (2H/g)1/2
Y
H
h
Домашние задачи
1. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты H . За какое время тело
пройдет отрезок пути длиной h перед поверхностью Земли? Какое
расстояние тело пройдет за интервал времени t перед падением на
землю?
V(t) = -gt
Y(t) = H - gt2/2
Время падения: tf = (2H/g)1/2
Время прохождения высоты h:
Y
H
th = (2(H-h)/g)1/2
h
Домашние задачи
1. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты H . За какое время тело
пройдет отрезок пути длиной h перед поверхностью Земли? Какое
расстояние тело пройдет за интервал времени t перед падением на
землю?
V(t) = -gt
Y(t) = H - gt2/2
Время падения: tf = (2H/g)1/2
Время прохождения высоты h:
Y
H
th = (2(H-h)/g)1/2
Искомое время: tf - th = (2H/g)1/2 -(2(H-h)/g)1/2
h
Домашние задачи
1. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты H . За какое время тело
пройдет отрезок пути длиной h перед поверхностью Земли? Какое
расстояние тело пройдет за интервал времени t перед падением на
землю?
V(t) = -gt
Y(t) = H - gt2/2
Время падения: tf = (2H/g)1/2
Время прохождения высоты h:
Y
H
th = (2(H-h)/g)1/2
Искомое время: tf - th = (2H/g)1/2 -(2(H-h)/g)1/2
Высота за t секунд до падения%
Y(tf - t) = H – g(tf-t)2/2 = gtft – gt2/2
h
Домашние задачи
3. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты H. За какое время тело
пройдет первую, вторую, третью и четвертую четверти своего пути до
поверхности Земли?
V(t) = -gt
Y(t) = H - gt2/2
Y
H
Домашние задачи
3. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты H. За какое время тело
пройдет первую, вторую, третью и четвертую четверти своего пути до
поверхности Земли?
V(t) = -gt
Y(t) = H - gt2/2
Время прохождения ЛЮБОЙ высоты h:
t(h) = (2(H-h)/g)1/2
Y
H
Домашние задачи
3. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты H. За какое время тело
пройдет первую, вторую, третью и четвертую четверти своего пути до
поверхности Земли?
V(t) = -gt
Y(t) = H - gt2/2
Время прохождения ЛЮБОЙ высоты h:
t(h) = (2(H-h)/g)1/2
Искомые времена:
t1 = t(3/4 H) – t(H) = (H/2g)1/2 – 0 = (H/2g)1/2
t2 = t(1/2 H) – t(3/4 H) = (H/g)1/2 - (H/2g)1/2
t3 = t(1/4 H) – t(1/2 H) = (3H/2g)1/2 - (H/g)1/2
t4 = t(0) – t(1/4 H) = (2H/g)1/2 - (3H/2g)1/2
Y
H
Домашние задачи
2. Тело двигалось прямолинейно и равноускоренно с начальной скоростью V.
Известно, что, пройдя расстояние S, тело остановилось. Через какое
время t после начала движения скорость тела была в N раз меньше
начальной?
Домашние задачи
2. Тело двигалось прямолинейно и равноускоренно с начальной скоростью V.
Известно, что, пройдя расстояние S, тело остановилось. Через какое
время t после начала движения скорость тела была в N раз меньше
начальной?
V(t) = V - at
X(t) = Vt - at2/2
Домашние задачи
2. Тело двигалось прямолинейно и равноускоренно с начальной скоростью V.
Известно, что, пройдя расстояние S, тело остановилось. Через какое
время t после начала движения скорость тела была в N раз меньше
начальной?
V(t) = V - at
X(t) = Vt - at2/2
Время остановки: Т = V/a; X(Т) = S = V2/2a
Домашние задачи
2. Тело двигалось прямолинейно и равноускоренно с начальной скоростью V.
Известно, что, пройдя расстояние S, тело остановилось. Через какое
время t после начала движения скорость тела была в N раз меньше
начальной?
V(t) = V - at
X(t) = Vt - at2/2
Время остановки: Т = V/a; X(Т) = S = V2/2a
Ускорение: а = V2/2S
Домашние задачи
2. Тело двигалось прямолинейно и равноускоренно с начальной скоростью V.
Известно, что, пройдя расстояние S, тело остановилось. Через какое
время t после начала движения скорость тела была в N раз меньше
начальной?
V(t) = V - at
X(t) = Vt - at2/2
Время остановки: Т = V/a; X(Т) = S = V2/2a
Ускорение: а = V2/2S
Искомое время находим из условия:
V(t) = V - аt = V - tV2/2S = V/N => 2S(1-1/N)/V
Домашние задачи
4. Тело брошено горизонтально со скоростью V с башни высотой H. На каком
расстоянии S от основания башни тело упадет на землю?
Vx(t) = V
Vy(t) = gt
X(t) = Vt
Y(t) = gt2/2
Время падения: Т = (2H/g)1/2
Искомое расстояние: S = VT
Домашние задачи
5. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью V. Определить скорость
тела на высоте h.
Домашние задачи
5. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью V. Определить скорость
тела на высоте h.
Vx(t) = V cos(α)
Vy(t) = Vsin(α) - gt
X(t) = Vcos(α)t
Y(t) = Vsin(α)t - gt2/2
Домашние задачи
5. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью V. Определить скорость
тела на высоте h.
Vx(t) = V cos(α)
Vy(t) = Vsin(α) - gt
X(t) = Vcos(α)t
Y(t) = Vsin(α)t - gt2/2
Время достижения высоты h:
h = Vsin(α)T - gT2/2 => T = Vsin(α)/g + (V2sin2(α)/g2 – 2h/g)1/2
Домашние задачи
5. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью V. Определить скорость
тела на высоте h.
Vx(t) = V cos(α)
Vy(t) = Vsin(α) - gt
X(t) = Vcos(α)t
Y(t) = Vsin(α)t - gt2/2
Время достижения высоты h:
h = Vsin(α)T - gT2/2 => T = Vsin(α)/g + (V2sin2(α)/g2 – 2h/g)1/2
Искомая скорость: u2 = V2cos2(α) + (Vsin(α) – gT)2
Домашние задачи
5. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью V. Определить скорость
тела на высоте h.
Vx(t) = V cos(α)
Vy(t) = Vsin(α) - gt
X(t) = Vcos(α)t
Y(t) = Vsin(α)t - gt2/2
Время достижения высоты h:
h = Vsin(α)T - gT2/2 => T = Vsin(α)/g + (V2sin2(α)/g2 – 2h/g)1/2
Искомая скорость: u2 = V2cos2(α) + (Vsin(α) – gT)2
Искомая скорость: u2 = V2 – 2gh
Домашние задачи
6. Под каким углом α к горизонту надо пустить снаряд со скоростью V , чтобы
он упал точно на расстоянии S от точки выстрела? При каких скоростях
полета это в принципе возможно?
Домашние задачи
Под каким углом α к горизонту надо пустить снаряд со скоростью V , чтобы он
упал точно на расстоянии S от точки выстрела? При каких скоростях полета
это в принципе возможно?
Y
v
0
g
Х=S
α
Х
Домашние задачи
Под каким углом α к горизонту надо пустить снаряд со скоростью V , чтобы он
упал точно на расстоянии S от точки выстрела? При каких скоростях полета
это в принципе возможно?
Уравнения движения
ах = 0
Y
v
0
g
Х=S
α
Х
VX (t) = Vcos(α)
Х(t) = Vcos(α)t
аY = -g
VY(t) = Vsin(α) - gt
Y(t) = Vsin(α)t - gt2/2
Домашние задачи
Под каким углом α к горизонту надо пустить снаряд со скоростью V , чтобы он
упал точно на расстоянии S от точки выстрела? При каких скоростях полета
это в принципе возможно?
Уравнения движения
ах = 0
Y
v
0
g
Х=S
α
Х
Время полета t = 2Vsin(α)/g; S = Vcos(α)t = V 2sin(2α)/g
VX (t) = Vcos(α)
Х(t) = Vcos(α)t
аY = -g
VY(t) = Vsin(α) - gt
Y(t) = Vsin(α)t - gt2/2
Домашние задачи
Под каким углом α к горизонту надо пустить снаряд со скоростью V , чтобы он
упал точно на расстоянии S от точки выстрела? При каких скоростях полета
это в принципе возможно?
Уравнения движения
ах = 0
Y
v
0
g
Х=S
α
Х
Время полета t = 2Vsin(α)/g; S = Vcos(α)t = V 2sin(2α)/g
sin(2α) = gS/V2 < 1
У задачи 2 решения: α < 450 и α > 450
VX (t) = Vcos(α)
Х(t) = Vcos(α)t
аY = -g
VY(t) = Vsin(α) - gt
Y(t) = Vsin(α)t - gt2/2
Домашние задачи
Под каким углом α к горизонту надо пустить снаряд со скоростью V , чтобы он
упал точно на расстоянии S от точки выстрела? При каких скоростях полета
это в принципе возможно?
Уравнения движения
ах = 0
Y
v
0
g
Х=S
α
Х
Время полета t = 2Vsin(α)/g; S = Vcos(α)t = V 2sin(2α)/g
sin(2α) = gS/V2 < 1
У задачи 2 решения: α < 450 и α > 450
VX (t) = Vcos(α)
Х(t) = Vcos(α)t
аY = -g
VY(t) = Vsin(α) - gt
Y(t) = Vsin(α)t - gt2/2
Y
0
Задача 7*
С каких расстояний S снаряд, пущенный со скоростью v под углом α
к горизонту перелетит стену высоты Н ?
Уравнения движения
Y
Ymax
H
v
0
α
tS
ах = 0
VX (t) = Vcos(α)
g
Х(t) = Vcos(α)t
S-
S+
X(tS) = Vcos(α)tS = S => tS = S/Vcos(α)
Х
Y(tS) = Vsin(α)tS - gtS2/2 = Stg(α) – g(S/Vcos(α))2/2 >= H
аY = -g
VY(t) = Vsin(α) - gt
Y(t) = Vsin(α)t - gt2/2
S+,- = (V2sin(2α)/2g)(1 + (1- 2gH/V 2sin2(α))1/2) = (Lmax /2)(1 + (1 - H/Hmax)1/2)
S+ > S > S- если H < Hmax = V 2sin2(α)/2g
Лекция 03: Основные темы лекции
Основные принципы динамики
Виды сил: тяжести, упругости, реакции
опоры, трения
Закон сохранения импульса
Основные положения механики.
Законы Ньютона
Основные
принципы механики
• Наблюдаемая скорость частицы зависит от выбора системы отсчета
• Изменение скорости тела всегда вызывается воздействием на него
других тел.
• Первый закон Ньютона: Существуют такие системы отсчета,
называемые инерциальными, где тела, на которые не действуют
никакие силы (или действие разных сил скомпенсировано) либо
покоятся, либо движутся равномерно и прямолинейно.
• Принцип относительности: Все механические процессы протекают
одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Все инерциальные
системы - равноправны.
Второй закон Ньютона
• Наблюдаемое ускорение в инерциальных системах отсчета не
зависит от конкретной системы отсчета
• Ускорение, с которым движутся тела в инерциальных системах
отсчета, определяется действием на них какой-либо силы, или
нескольких сил со стороны других тел, не компенсирующих друг друга, и
равно:
a=
1
m
(F1 + F2 + F3 + …) =
ΣF
m
масса m - мера инерции тела, не зависящая от его движения.
Третий закон Ньютона
• Силы возникают в результате взаимодействия материальных тел.
• При взаимодействии двух тел, сила F12 , с которой первое тело
действует на второе, точно равна по величине и противоположна по
направлению силе F21, действующей со стороны второго тела на первое.
F12 = - F21
F12
m2
P =-N
N (реакция опоры)
F21
m1
P (вес)
Задача 1
F
m
M
Трения нет
Как найти натяжение нити ?
Задача 1
m
T2
T1
F
M
Трения нет
Натянутая нить означает существование кинематической
связи между движущимися телами – одинаковое
ускорение.
В проекциях на направление действия силы:
Ма = F-T1
ma = T2
T1=T2=T
T=(m/(m+M))F
T=F/2, M = m
Задачи 2, 3
На тело массой m  2 кг, находящееся на гладкой
горизонтальной поверхности, действуют две
горизонтальные силы, направленные перпендикулярно
друг другу: F1 =30 Н и F2 =40Н (см. рисунок; вид сверху).
Найти ускорение тела.
1. a=10 м/с2
2. a=15 м/с2
F1
F2
4. a=25 м/с2
3. a=30м/с2
a
На рисунке показаны векторы скорости v и
ускорения a некоторого тела. Какая из
стрелок – 1,2,3 или 4 – правильно даёт
направление равнодействующих всех сил,
действующих на тело?
1.

2.
3.

4.
v
Задачи 2, 3
На тело массой m  2 кг, находящееся на гладкой
горизонтальной поверхности, действуют две
горизонтальные силы, направленные перпендикулярно
друг другу: F1 =30 Н и F2 =40Н (см. рисунок; вид сверху).
Найти ускорение тела.
1. a=10 м/с2
2. a=15 м/с2
F1
F2
4. a=25 м/с2
3. a=30м/с2
a
На рисунке показаны векторы скорости v и
ускорения a некоторого тела. Какая из
стрелок – 1,2,3 или 4 – правильно даёт
направление равнодействующих всех сил,
действующих на тело?
1.

2.
3.

4.
v
Силы в механике
Силы в механике
• Гравитационные силы.
Гравитационные силы действуют между всеми телами,
обладающими массой. В задачах различают два случая:
• Притяжение малых тел большими вблизи их поверхности
(сила тяжести)
• Гравитационные силы на космических расстояниях
Силы в механике
• Гравитационные силы.
Гравитационные силы действуют между всеми телами,
обладающими массой. В задачах различают два случая:
• Притяжение малых тел большими вблизи их поверхности
(сила тяжести)
• Гравитационные силы на космических расстояниях
• Силы электромагнитной природы
Эти силы возникают при контакте двух тел и связаны со
взаимодействием электронных оболочек их атомов.
В механике в разных задачах различают силы
• Трения
• Сопротивления среды
• Упругости
• Натяжения
• Реакция опоры и вес
Сила тяжести
вблизи поверхности Земли
F = mg
Сила тяжести почти не зависит от расстояния до
поверхности (до тех пор, пока оно невелико) и направлена
всегда в одну сторону (вниз, к центру притяжения)
g ~ 9,8 м/с2 - ускорение свободного падения
Ускорение свободного падения несильно зависит от
географической широты, что связано с вращением Земли и
её не совсем сферической формой
Задача 4
Hmax
2
Чему равна величина и направление
ускорения тела в точках 1,2 и 3 ?
3
1
v
Hmax/2
Задача 4
Y
Hmax
2
Чему равна величина и направление
ускорения тела в точках 1,2 и 3 ?
mg
3
1
Hmax/2
Величина и направление ускорения во всех
точках одинаковы и определяются только силой
mg
v
тяжести, действующей на тело.
Это ускорение - ускорение свободного падения
g
Вес.
Реакция опоры
Вес P и нормальная реакция опоры N: Вектора этих сил направлены
перпендикулярно поверхности контакта взаимодействующих тел.
P = -N
mg (сила тяжести)
N (реакция опоры)
P (вес)
Вес - сила, с которой тело действует на опору или растягивает подвес

 
ma  N  mg
+

N

mg
P


P  N
В проекциях на положительную ось

a
 ma  N  mg
N  mg  ma
 P  N
P  m( g  a )
При a=g исчезнет вес, но не тяжесть
Наступит невесомость
Чему будет равен вес,
если ускорение
направлено вверх?
Вес.
Реакция опоры
P = - N (если нет трения !)
P =-N
N (реакция опоры)
N (реакция опоры)
P (вес) (= mg ,
если нет других сил и
опора не движется
ускоренно )
P (вес)
T = - mg
mg
Задача 5
Веревка выдерживает груз массой m1 при его подъеме с некоторым ускорением a,
направленным вверх, и груз массой m2 при его опускании с таким же ускорением,
направленным вниз. Груз какой максимальной массы M можно подвесить к веревке
в покое?
y
Задача 5
Веревка выдерживает груз массой m1 при его подъеме с некоторым ускорением a,
направленным вверх, и груз массой m2 при его опускании с таким же ускорением,
направленным вниз. Груз какой максимальной массы M можно подвесить к веревке
в покое?
m1a = T – m1g
-m2a = T – m2g
y
Задача 5
Веревка выдерживает груз массой m1 при его подъеме с некоторым ускорением a,
направленным вверх, и груз массой m2 при его опускании с таким же ускорением,
направленным вниз. Груз какой максимальной массы M можно подвесить к веревке
в покое?
m1a = T – m1g
-m2a = T – m2g
a = (m2 – m1)g/(m2 + m1)
y
Задача 5
Веревка выдерживает груз массой m1 при его подъеме с некоторым ускорением a,
направленным вверх, и груз массой m2 при его опускании с таким же ускорением,
направленным вниз. Груз какой максимальной массы M можно подвесить к веревке
в покое?
m1a = T – m1g
-m2a = T – m2g
a = (m2 – m1)g/(m2 + m1)
T = 2m2m1g/(m2 + m1)
y
Задача 5
Веревка выдерживает груз массой m1 при его подъеме с некоторым ускорением a,
направленным вверх, и груз массой m2 при его опускании с таким же ускорением,
направленным вниз. Груз какой максимальной массы M можно подвесить к веревке
в покое?
m1a = T – m1g
-m2a = T – m2g
a = (m2 – m1)g/(m2 + m1)
T = 2m2m1g/(m2 + m1)
M = T/g = 2m2m1/(m2 + m1)
y
Задача 6
На горизонтальной поверхности находится куб, на котором укреплены два блока.
Через блоки перекинута нить с грузами массами m, и 3m. Какой горизонтальной
силой надо действовать на куб, чтобы он покоился? Трение отсутствует.
Т2
Т1
y
х
Задача 6
На горизонтальной поверхности находится куб, на котором укреплены два блока.
Через блоки перекинута нить с грузами массами m, и 3m. Какой горизонтальной
силой надо действовать на куб, чтобы он покоился? Трение отсутствует.
- ma = T1– mg
3ma = 3mg – T2
Т2
Т1
y
2ma = T2 – T1
х
Задача 6
На горизонтальной поверхности находится куб, на котором укреплены два блока.
Через блоки перекинута нить с грузами массами m, и 3m. Какой горизонтальной
силой надо действовать на куб, чтобы он покоился? Трение отсутствует.
- ma = T1– mg
3ma = 3mg – T2
Т2
Т1
y
2ma = T2 – T1
0 = 1,41(T2 – T1 ) - F
х
Задача 6
На горизонтальной поверхности находится куб, на котором укреплены два блока.
Через блоки перекинута нить с грузами массами m, и 3m. Какой горизонтальной
силой надо действовать на куб, чтобы он покоился? Трение отсутствует.
- ma = T1– mg
3ma = 3mg – T2
Т2
Т1
y
2ma = T2 – T1
0 = 1,41(T2 – T1 ) - F
F = 1,41mg
х
Силы упругости.
Закон Гука.
В механике и технике используют специальные устройства,
упругие свойства которых проявляются при заметных
деформациях. Это пружины, эластичные шнуры, изгибающиеся
пластины и т.п.
(Fупр )х = - kΔx (при заданном направлении оси X)
k - коэффициент упругости
Δx=l-l0, где l – длина деформированной пружины,
l0- длина недеформированной пружины
Δx - изменение длины
Fупр = - F
Пружина
неподвижна
X
F
Закон Гука: при упругой деформации сжатия или
растяжения величина силы упругости прямо
пропорциональна абсолютному значению изменения
длины тела и направлена против деформации
Fупр=k·|Δx|
Важно:закон Гука справедлив, если деформация не очень
велика
Задача 7*
Тело массой m падает с некоторой высоты на пружину с
жёсткостью K , стоящую вертикально на поверхности стола. Длина
пружины в недеформированном состоянии равна l. На какой высоте
h от поверхности стола тело будет иметь максимальную скорость?
1.
hl
2.
h  l  (mg / k )
3.
h  l  2(mg / k )
4.
h  l  3(mg / k )
Задача 7
Тело массой m падает с некоторой высоты на пружину с
жёсткостью K , стоящую вертикально на поверхности стола. Длина
пружины в недеформированном состоянии равна l. На какой высоте
h от поверхности стола тело будет иметь максимальную скорость?
1.
V0
hl
2.
h  l  (mg / k ) 3. h  l  2(mg / k )
4. h  l  3(mg / k )
Fупр
mg
mg
l
h
X
Проекция скорости на выбранное направление
достигает экстремума (max или min), когда
проекция ускорения на это направление равна нулю.
Vmaх
max  mg  Fупр  mg  k (l  h)  0
mg
hl
k
Правильный ответ - 2
Задача 8*
Тело массой m падает с некоторой высоты на пружину массы М и с
жёсткостью K , стоящую вертикально на поверхности стола. С
какой высоты h должно падать тело, чтобы пружина подпрыгнула?
h
Задача 8*
Тело массой m падает с некоторой высоты на пружину массы М и с
жёсткостью K , стоящую вертикально на поверхности стола. С
какой высоты h должно падать тело, чтобы пружина подпрыгнула?
h h+Δx
Задача 8*
Тело массой m падает с некоторой высоты на пружину массы М и с
жёсткостью K , стоящую вертикально на поверхности стола. С
какой высоты h должно падать тело, чтобы пружина подпрыгнула?
h h+Δx
Задача 8*
Тело массой m падает с некоторой высоты на пружину массы М и с
жёсткостью K , стоящую вертикально на поверхности стола. С какой
высоты h должно падать тело, чтобы пружина подпрыгнула?
Пружина с телом подпрыгнут, если сила упругости
превысит их общий вес
h h+Δx
kΔX > (M + m)g
Задача 8*
Тело массой m падает с некоторой высоты на пружину массы М и с
жёсткостью K , стоящую вертикально на поверхности стола. С
какой высоты h должно падать тело, чтобы пружина подпрыгнула?
Пружина с телом подпрыгнут, если сила упругости
превысит их общий вес
h h+Δx
kΔX > (M + m)g
Максимальное сжатие определяется ЗСЭ:
kΔX2/2 =mg(h + ΔX)
Задача 8*
Тело массой m падает с некоторой высоты на пружину массы М и с
жёсткостью K , стоящую вертикально на поверхности стола. С
какой высоты h должно падать тело, чтобы пружина подпрыгнула?
Пружина с телом подпрыгнут, если сила упругости
превысит их общий вес
h h+Δx
kΔX > (M + m)g
Максимальное сжатие определяется ЗСЭ:
kΔX2/2 =mg(h + ΔX)
KΔX = mg + (m2g2 + 2mghk)1/2 > (M + m)g
m2g2 + 2mghk > M2g2
Задача 9*
На подставке лежит тело, подвешенное к потолку с помощью пружины.
Вначале пружина не растянута. Подставку начинают опускать вниз с
ускорением a. Через какой промежуток времени t тело оторвется от
подставки? Коэффициент жесткости пружины k, масса тела m. Куда
направлено ускорение тела сразу после его отрыва от подставки?
a
Задача 9*
На подставке лежит тело, подвешенное к потолку с помощью пружины.
Вначале пружина не растянута. Подставку начинают опускать вниз с
ускорением a. Через какой промежуток времени t тело оторвется от
подставки? Коэффициент жесткости пружины k, масса тела m. Куда
направлено ускорение тела сразу после его отрыва от подставки?
Условие отрыва – нет реакции опоры:
ma = mg – kΔX => ΔX = m(g – a)/k
a
Задача 9*
На подставке лежит тело, подвешенное к потолку с помощью пружины.
Вначале пружина не растянута. Подставку начинают опускать вниз с
ускорением a. Через какой промежуток времени t тело оторвется от
подставки? Коэффициент жесткости пружины k, масса тела m. Куда
направлено ускорение тела сразу после его отрыва от подставки?
Условие отрыва – нет реакции опоры:
ma = mg – kΔX => ΔX = m(g – a)/k
Кинематика равноускоренного движения:
a
ΔX = at2/2 => t = (2m(g – a)/ka)1/2
Задача 10
Маятник массы m раскачивается на подвесе длины l.
Найти силу натяжения нити подвеса при прохождении маятником
положения равновесия, если в этот момент его скорость равна V
T
Vmaх
mg
Задача 10
Маятник массы m раскачивается на подвесе длины l.
Найти силу натяжения нити подвеса при прохождении маятником
положения равновесия, если в этот момент его скорость равна V
В проекциях на ось к центру
v2
maцс  m  T  mg
l
2
v
T  mg  m
l
T
Vmaх
mg
Силы трения
Силы трения возникают при соприкосновении двух тел и действуют
вдоль поверхности их соприкосновения.
Силы трения связаны со взаимодействием электронных оболочек
атомов соприкасающихся тел.
В механике различают:
• трение покоя
• трение скольжения
• трение качения
• ...
Отдельный случай - силы сопротивления движению твердых тел в
газах и жидкостях
Трение существует везде и всюду. Оно может быть полезным
(например, помогая нам ходить и заставляя двигаться автомобили)
или вредным (например, мешая скольжению в подшипниках)
Силы трения
Трение покоя
N
Fтр = - F
mg
F<μN
Трение скольжения
F>μN
N
F
Fтр
F’тр - действует со
ma
mg
стороны бруска на подложку
Fтр
F
F’тр
Fтр = μ N
ma = F - μ N
Fтр = μ N
Fприлож= μN
Fсдвиг
Fтр = μ N - максимальное значение величины силы трения покоя,
пропорциональное величине реакции опоры N.
μ - коэффициент трения, зависящий от материала и качества
обработки трущихся поверхностей
Задача 11*
Тело массы m=1,5 кг аккуратно кладут на горизонтальную
поверхность и затем действуют на него силой F,
направленной под углом α=45º к горизонту. Коэффициент
трения между телом и поверхностью равен µ=0.5.
При каком минимальном значении F тело начнёт двигаться?
g=10, cos 45º =0,71
1. F  7 Н
2. F
 8Н
3. F
 9Н 4. F  10 Н

F
α
Задача 11*
Тело массы m=1,5 кг аккуратно кладут на горизонтальную
поверхность и затем действуют на него силой F,
направленной под углом α=45º к горизонту. Коэффициент
трения между телом и поверхностью равен µ=0.5.
При каком минимальном значении F тело начнёт двигаться?
g=10, cos 45º =0,71
1. F  7 Н
2. F
 8Н
3. F
0  N  mg  F sin 
F cos α  μ  mg  F sin α 
μmg
F
7Н
cos α  μ sin α

F
 9Н 4. F  10 Н
N
Fтр
mg
α
Силы трения и вес.
y
0
x: ma = mg sin(α) - Fтр
y: 0 = - mg cos(α) + N
N
Fтр
Случай 1: Fтр < μ N (трение покоя)
а = 0; Fтр = mg sin(α)
N = mg cos(α)
α
N - нормальная реакция опоры
Fтр - тангенциальная реакция опоры
mg
α
x
N + Fтр = - mg - полная реакция опоры
Вес Р = mg
Силы трения и вес.
x: ma = mg sin(α) - Fтр
y: 0 = - mg cos(α) + N
y
Случай 2: Fтр = μ N (трение скольжения)
N = mg cos(α)
Fтр = μ N = μmgcos(α)
ma = mg sin(α) - μ mg cos(α) =
= mg(sin(α) - μ cos(α)) > 0
a = g (sin(α) - μ cos(α))
N
0
Fтр
ma
α
mg
α
Условие скольжения: tg(α) > μ
x
|N + Fтр| < mg - полная реакция опоры
Вес Р < mg
Задача 12
Тело находится на наклонной плоскости. Коэффициент трения равен k.
Построить график зависимости силы трения от угла наклона плоскости
Задача 12
Тело находится на наклонной плоскости. Коэффициент трения равен k.
Построить график зависимости силы трения от угла наклона плоскости
Fтр < kN => а = 0; Fтр = mg sin(α) <kN = kmg cos(α) => tg(α) < k
Fтр = kN => а > 0; Fтр = kmg cos(α) если tg(α) > k
Задача 12
Тело находится на наклонной плоскости. Коэффициент трения равен k.
Построить график зависимости силы трения от угла наклона плоскости
Fтр < kN => а = 0; Fтр = mg sin(α) <kN = kmg cos(α) => tg(α) < k
Fтр = kN => а > 0; Fтр = kmg cos(α) если tg(α) > k
Fтр
α
arctg(k)
π/2
Задача 13
На шероховатой горизонтальной поверхности лежит тело. На тело начинает
действовать внешняя сила F, направленная горизонтально. Какой график - 1, 2,
3 или 4 - правильно показывает зависимость ускорения тела a от внешней
силы F ?
a
a
a
1.
2.
3.
F
F
a
4.
F
F
Задача 13
На шероховатой горизонтальной поверхности лежит тело. На тело начинает
действовать сила F, направленная горизонтально. Какой график - 1, 2, 3 или 4 правильно показывает зависимость ускорения тела a от силы F ?
a
a
a
1.
2.
3.
F
F
a
4.
F
F
Для значений сдвигающей силы, не превосходящих максимальную силу
трения, тело покоится и его ускорение равно нулю. Если сдвигающая сила
превосходит максимальную силу трения
,
F  μmg
то
a  F / m  μg


Задача 14*
На шероховатой горизонтальной поверхности лежит тело. На тело начинает
действовать сила F, направленная под углом a к горизонту вниз. Коэффициент
трения между телом и поверхностью равен k. При каких углах тело не
сдвинется с места ни при каких значениях силы F ?
Задача 14*
На шероховатой горизонтальной поверхности лежит тело. На тело начинает
действовать сила F, направленная под углом a к горизонту вниз. Коэффициент
трения между телом и поверхностью равен k. При каких углах тело не
сдвинется с места ни при каких значениях силы F ?
N
Fтр<kN
mg
F
Задача 14*
На шероховатой горизонтальной поверхности лежит тело. На тело начинает
действовать сила F, направленная под углом a к горизонту вниз. Коэффициент
трения между телом и поверхностью равен k. При каких углах тело не
сдвинется с места ни при каких значениях силы F ?
a = 0;
N = mg - Fsin(α)
Fcos(a) = Fтр <kN = k(mg + Fsin(a))
N
Fтр<kN
mg
F
Задача 14*
На шероховатой горизонтальной поверхности лежит тело. На тело начинает
действовать сила F, направленная под углом a к горизонту вниз. Коэффициент
трения между телом и поверхностью равен k. При каких углах тело не
сдвинется с места ни при каких значениях силы F ?
a = 0;
N = mg - Fsin(α)
Fcos(a) = Fтр <kN = k(mg + Fsin(a))
F(cos(a) - ksin(a)) < kmg
N
Fтр<kN
mg
F
Задача 14*
На шероховатой горизонтальной поверхности лежит тело. На тело начинает
действовать сила F, направленная под углом a к горизонту вниз. Коэффициент
трения между телом и поверхностью равен k. При каких углах тело не
сдвинется с места ни при каких значениях силы F ?
a = 0;
N = mg - Fsin(α)
Fcos(a) = Fтр <kN = k(mg + Fsin(a))
F(cos(a) - ksin(a)) < kmg
cos(a) - ksin(a) < 0 => tg(a) >k
N
Fтр<kN
mg
F
Задача 15*
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a,
коэффициент трения k (k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует
горизонтальная сила F, направленная параллельно плоскости. При каком
минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Задача 15*
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a,
коэффициент трения k (k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует
горизонтальная сила F, направленная параллельно плоскости. При каком
минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Y
Z
X
Задача 15*
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a,
коэффициент трения k (k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует
горизонтальная сила F, направленная параллельно плоскости. При каком
минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Y
a => 0; N = mg cos(α)
Fтр_x = F; Fтр_y = mg sin(α)
Z
X
Задача 15*
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a,
коэффициент трения k (k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует
горизонтальная сила F, направленная параллельно плоскости. При каком
минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Y
a => 0; N = mg cos(α)
Fтр_x = F; Fтр_y = mg sin(α)
(m2g2 sin2(α) + F2)1/2=>kmg cos(α)
Z
X
Задача 15*
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a,
коэффициент трения k (k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует
горизонтальная сила F, направленная параллельно плоскости. При каком
минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Y
a => 0; N = mg cos(α)
Fтр_x = F; Fтр_y = mg sin(α)
(m2g2 sin2(α) + F2)1/2=>kmg cos(α)
F >= mg(k2cos2(a) - sin2(α))1/2
Z
X
Общий алгоритм решения задач на
динамику
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a, коэффициент трения k
(k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует горизонтальная сила F, направленная параллельно
плоскости. При каком минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Общий алгоритм решения задач на
динамику
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a, коэффициент трения k
(k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует горизонтальная сила F, направленная параллельно
плоскости. При каком минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
Y
1. Сделать рисунок с указанием всех
сил, действующих на все тела задачи
Z
X
Общий алгоритм решения задач на
динамику
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a, коэффициент трения k
(k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует горизонтальная сила F, направленная параллельно
плоскости. При каком минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
1. Сделать рисунок с указанием всех
сил, действующих на все тела задачи
Y
2. Записать второй закон Ньютона для
Z
каждого тела в проекциях на актуальные оси
a = 0;
Nz = mg - Fsin(α)
Fтр_x = F; Fтр_y = mg sin(α)
X
Общий алгоритм решения задач на
динамику
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a, коэффициент трения k
(k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует горизонтальная сила F, направленная параллельно
плоскости. При каком минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
1. Сделать рисунок с указанием всех
сил, действующих на все тела задачи
Y
2. Записать второй закон Ньютона для
Z
каждого тела в проекциях на актуальные оси
a = 0;
Nz = mg - Fsin(α)
Fтр_x = F; Fтр_y = mg sin(α)
3. Учесть специальные условия задачи
(m2g2 sin2(α) + F2)1/2=>kmg cos(α)
X
Общий алгоритм решения задач на
динамику
На наклонной плоскости находится тело. Угол наклона плоскости a, коэффициент трения k
(k>tg(a) ), масса тела m. На тело действует горизонтальная сила F, направленная параллельно
плоскости. При каком минимальном значении F тело начнет двигаться? ?
1. Сделать рисунок с указанием всех
сил, действующих на все тела задачи
Y
2. Записать второй закон Ньютона для
Z
каждого тела в проекциях на актуальные оси
a = 0;
Nz = mg - Fsin(α)
Fтр_x = F; Fтр_y = mg sin(α)
3. Учесть специальные условия задачи
(m2g2 sin2(α) + F2)1/2=>kmg cos(α)
4. Решить систему уравнений и найти ответ
F >= mg(k2cos2(a) - sin2(α))1/2
X
Силы трения.
Трение качения
V
F’тр
Fтр
Трение качения - частный случай трения покоя.
Именно сила трения покоя, действующая со стороны дороги на
колесо, заставляет колесо катиться.
В отсутствии трения колесо будет проскальзывать, оставаясь на
месте.
Силы сопротивления
движению твердого тела
в сплошной среде (газ, жидкость)
Fc(V)
V
Сила сопротивления среды - особый вид трения.
Сила сопротивления существенно зависит от размеров, формы и
скорости тела.
Для тел простой, симметричной формы сила сопротивления
направлена против скорости тела и пропорциональна
Fc ~ V (для невысоких скоростей)
Fc ~ V2 (для более высоких скоростей)
Для ассиметричных, сложной формы тел (осенний лист, парусник,
параплан, бумажный самолетик и т.п.) все намного сложнее.
Домашнее задание по лекции 3
1.
2. Цепочка длиной L и массой m начинает соскальзывать со стола,
если со стола свешивается на n-ая часть ее длины (L /n). Найти
коэффициент трения между цепочкой и столом.
3.
Домашнее задание по лекции 3 (продолжение)
4.
5.
Равномерное движение
по окружности
v(t)
При движении по окружности с постоянной
по величине скоростью ускорение направлено
перпендикулярно к скорости и направлено
к центру вращения
v(t+Δt)
Δφ
an
v(t)
Δv
v(t+Δt)
an = V2/ r = ω2 r
V => линейная скорость движения материальной
точки по окружности;
ω = V / r => угловая скорость движения
материальной точки по окружности
an = > нормальное (центростремительное)
ускорение
V(t+Δt) = V по абсолютной величине, но не по направлению!
Задача 14
Тело движется по окружности с постоянной скоростью. Во сколько раз
изменится центростремительное ускорение, если радиус вращения
уменьшится в 2 раза, а угловая скорость увеличится в 2 раза?
1. увеличится в 2раза
3. увеличится в 8 раз
2. уменьшится в 1,41 раз
4. уменьшится в 8 раз
Задача 14
Тело движется по окружности с постоянной скоростью. Во сколько раз
изменится центростремительное ускорение, если радиус вращения
уменьшится в 2 раза, а угловая скорость увеличится в 2 раза?
1. увеличится в 2раза
3. увеличится в 8 раз
2. уменьшится в 1,41 раз
4. уменьшится в 8 раз
an = ω2 r => (2ω)2 (r/2) = 2an
Равноускоренное движение по окружности
Тангенциальное и центростремительное ускорение.
at
an
a(t)
at
a(t+Δt)
an
an = V2/ r
V = V0 + att
Задача 15
Трамвай тормозит на закругленном участке пути с радиусом 100м от
скорости V = 10 м/с до полной остановки за t = 10 секунд. Чему
равняется ускорение a1 (полное) в начале пути торможения и a2 - в
самом его конце?
Задача 15
Трамвай тормозит на закругленном участке пути с радиусом 100м от
скорости V = 10 м/с до полной остановки за t = 10 секунд. Чему
равняется ускорение a1 (полное) в начале пути торможения и a2 - в
самом его конце?
В начале пути трамвай имеет как нормальное, так и тангенциальное
ускорение:
an = V2/r = 1м/с2;
at = V/t = 1м/с2;
a = (an2 + at2 )1/2 = 1,41 м/с2
В конце пути трамвай имеет почти нулевую скорость и нулевое
нормальное ускорение, а тангенциальное ускорение останется
прежним:
a = at = V/t = 1м/с2;