Курс общей физики Томский политехнический университет
advertisement
Томский политехнический университет ЕНМФ щей физики н Юрий Иванович Адрес: пр. Ленина, 43, г.Томск, Россия, 634034 tyurin@fnsm.tpu.edu.ru, Тел. 8-3822-563-621 Факс 8-3822-563-403 Сегодня: четверг, 5 мая 2016 г. Тема: Лекция 5 РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ Содержание лекции: Введение 1. Работа 2. Мощность 3.Кинетическая энергия 4. Потенциальная энергия 5. Консервативные силы 6.Закон сохранения полной механической энергии 7.Фундаментальные силы и поля Введение Недопустимость вечного движения говорит о том, что есть некая физическая величина сохраняющаяся со временем. Эта величина в физике получила название энергии. Энергия (от греческого energeia действие, деятельность) общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исчезает, она может переходить из одной формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления природы. Закон сохранения энергии налагает строгие ограничения на возможности преобразования и использования энергии. Закон сохранения энергии является строгим законом природы, справедливым для всех известных взаимодействий. Он связан с однородностью времени, т.е. с тем фактом, что все моменты времени эквивалентны и физические законы не меняются со временем. Закон сохранения энергии для механических процессов установлен Г.В. Лейбницем (1646 1716) в 1686 г. Для немеханических явлений Ю.Р. Майером (1814 1878) в 1845 г., Дж.П. Джоулем в 1843 1850 и Гельмгольцем в 1847. 5.1. . Работа Сила, действующая на движущееся тело, совершает над ним работу. Работа измеряется в единицах произведения силы на расстояние. Количественно совершаемая силой работа равна произведению составляющей силы в направлении движения на пройденное расстояние. Например, на рис. 5.1 человек перемещает санки с детьми на расстояние r, прилагая к веревке постоянную силу F. Работа равна A = Fr r. Fr – составляющая полной силы F в направлении r: Fr = Fcos. A = Frcos. Определим теперь работу с помощью скалярного произведения. Если r – перемещение тела, то работа, произведенная действующей на это тело постоянной силой F, дается выражением A = (F,r). Если сила не постоянна, то производимое при движении приращение работы на бесконечно малом отрезке пути dr запишется в виде dA = (F,dr). Полная работа, производимая при перемещении тела из точки C в точку D, равна A = Fi , d ri Fr i dri i i Для бесконечно малых dri сумма превращается в определенный интеграл от (F,dr) в пределах от C до D. (Знак интегрирования можно понимать как видоизмененный знак суммы). Таким образом, имеем (рис. 5.2) . D А ( F , dr ) C Рис. 5.2. Путь из точки С в точку D состоит из отдельных приращений dri. Работа сил при перемещении тела из точки С в точку D равна А В механике работа служит мерой передачи движения от одного тела к другому, или мерой перехода энергии от одного тела к другому. Общей мерой движения материи, одинаковой для всех форм движения материи является энергия системы тел или данного тела. Всегда, когда сила действует на движущееся тело и направления силы и скорости движения совпадают, происходит переход энергии от тела, со стороны которого действует сила, к тому, на которое она действует. В этом случае работу силы считают положительной. Положительное значение работы соответствует переходу энергии со стороны «двигающего тела» к «телу движимому». Если же направление силы и перемещения противоположны, то энергия переходит к телу, со стороны которого действует сила. Работу силы в этом случае считают отрицательной. Работа и энергия измеряются в СИ в единицах произведения силы на расстояние, т.е. в ньютонах на метр (Нм); размерность этой величины МL2T–2. Эта единица нашла довольно широкое употребление и называется джоулем (Дж). В системе СГС работа и энергия измеряются в динах на сантиметр. Эта единица называется эргом:1 Дж = 1 Н 1 м = (105 дин)(102 см) = 107 динсм = 107 эрг. В атомной и ядерной физике в качестве единицы измерения энергии широко используется электроновольт (эВ): 1 эВ = 1,61019 Дж. 5.2. Мощность В процессе совершения работы энергия передается от одной системы тел к другой. Скорость совершения работы (передачи энергии) называется мощностью и обозначается W. Согласно определению можем записать dA dt W Величина W характеризует мгновенное значение скорости передачи энергии. В СИ единицей измерения мощности является джоуль в секунду (Дж/с). Эта единица имеет размерность ML2T–3 и называется ваттом (Вт). Электрическая лампочка мощностью 100 Вт расходует 100 Дж/с. В примере с санками производимая человеком мощность также равна 100 Вт. Произведение мощности на время дает энергию. Широко используется единица энергии киловаттчас (кВтч): 1 кВтч = 103 Вт 3600 с = 3,6106 Дж. В России ежедневно потребляется в среднем 1,31013 кВтч энергии. Лошадиная сила (л.с.) в качестве единицы мощности использовалась давно. Она характеризует мощность, которую может обеспечить усиленно работающая лошадь, и появилась задолго до создания системы СИ, причем 1 л.с. = 746 Вт. В общем случае согласно определению работа, совершаемая в единицу времени или мощность равна dA d r W F, F, v dt dt Понятие мощности является одной из важнейших характеристик различных машин и механизмов. Мощность показывает, насколько быстро могут совершить одну и ту же работу различные механические устройства. 5.3. Кинетическая энергия тела Движущееся тело представляет собой самую простейшую форму движения материи. Мерой величины этого движения является некоторый запас энергии движения, его и называют кинетической энергией. Величину кинетической энергии или энергии движения тела можно определить по величине работы, которую необходимо совершить, чтобы вызвать данное движение тела. Эта работа при перемещении тела из точки C в точку D записывается в виде D D D dv A F, d r = m vdt =m vdv m 1 v 2 1 mv D2 1 mv C2 2 dt 2 C 2 C C C D Этот результат показывает, что работа, совершаемая силой при перемещении тела из точки С в точку D, равна разности кинетических энергий в точках D и C. Иными словами, кинетическая энергия возрастает на величину работы, совершаемой силой. Если в точке C скорость тела была равна нулю, то кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью v, равна mv K 2 2 Размерность кинетической энергии совпадает с размерностью работы (Дж). K 5.4. Потенциальная энергия Взаимосвязь работы и энергии очень широко используется при рассмотрении различных физических процессов. Оказывается, что для многих видов сил, называемых консервативными, D интеграл F, dr C не зависит от пути интегрирования между точками C и D, а определяется только начальным и конечным положением точек C и D. Для сил, обладающих таким свойством, интеграл называют потенциальной энергией и обозначают буквой U: . U F, dr Потенциальную энергию можно представить себе как энергию, запасенную для дальнейшего использования. Во многих случаях при желании ее можно преобразовать в другие полезные формы энергии. Потенциальная энергия определяется как взятая с обратным взаимодействия. знаком Изменение работа сил потенциальной энергии равно положительной работе, которую следует совершить над телом, чтобы медленно переместить его из точки C в точку D при наличии сил взаимодействия. 5.5.Консервативные силы Понятие потенциальной энергии применимо лишь для сил определенного типа – консервативных сил. Работа, совершаемая действующей на тело консервативной силой, не зависит от пути, по которому тело перемещается из произвольной точки А в точку В. Математически эквивалентно следующее утверждение: в поле консервативных сил интеграл (F,dr), вычисленный по любому замкнутому пути, должен быть равен нулю. Следовательно, в случае консервативных сил нельзя непрерывно приобретать (или терять) энергию, повторяя один и тот же замкнутый путь. По определению- если F – консервативная сила, то (рис. 5.5) B B B A A A F, d r F, d r F, d r Путь 1 Путь 2 Путь 3 Рис. 5.5. Возможные пути между точками А и В. В случае консервативных сил работа по перемещению тела из А в В не зависит от пути Оказывается, что все четыре типа фундаментальных сил, действующих между элементарными частицами, консервативные. То же должно быть верно в отношении силы, которую можно свести к одной из фундаментальных сил. Решим обратную задачу – найдем силу, если известна потенциальная энергия. Выберем точки А и В расположенными очень близко друг от друга на пути dr. Тогда dU = Fdr. Разделив обе части этого равенства на dr, получим dU Fr dr Например, если известна потенциальная энергия U как функция координат x, y и z, то U Fx x U Fy y U Fz z здесь U – приращения U в направлениях x, y и z. 5.7. Закон сохранения полной механической энергии Закон сохранения энергии – один из центральных моментов всей физики и техники. Этот закон налагает строгие ограничения на возможности извлечения энергии и ее преобразования из одной формы в другую. Закон сохранения энергии запрещает существование вечных двигателей, в которых замкнутая система непрерывно "поставляет" механическую энергию наружу. Пусть на материальную точку действует некоторая фундаментальная сила F(r), которая не может явно зависеть от времени ввиду его однородности. Движение материальной точки под действием этой силы описывается вторым законом Ньютона dv m Fr dt Найдем для данной точки сохраняющуюся со временем величину, при изменении состояния движения точки под действием фундаментальной силы F(r). dv Домножив скалярно уравнение Fr m на dt dr, получим dv dr m , dr m , dv mv, dv (F,dr) dt dt 2 Воспользовавшись равенством v = (v,v), из которого следует vdv = (v, dv), имеем 2 mv . d F, d r 0 2 Если сила F(r) обладает тем свойством, что скалярное произведение (F,dr) является полным дифференциалом от некоторой функции координат потенциальной энергии U(x,y,z), dU = –(F, dr), а таким свойством обладают все фундаментальные взаимодействия, то мы можем записать mv 2 mv 2 . F, d r d 0 d U 2 2 Таким образом, для материальной точки, находящейся в поле фундаментальных сил, неизменной со временем остается величина 2 mv E U, 2 называемая полной материальной точки. механической энергией Первое слагаемое в выражении для полной механической энергии мы определили как кинетическую энергию материальной точки (измеряется в джоулях, СИ): ([1Дж] = [1Н][1м] = [1кг1м2/1c2]). Кинетическая энергия связана с движением материальной точки и не зависит от того, под действием каких сил это движение происходит. Данная формула справедлива для скоростей движения, много меньших скорости света. Величина, определяемая силовым действием на материальную точку U(r), в выражении для полной механической энергии была названа потенциальной энергией. Закон сохранения механической энергии имеет общий характер и применим для всех замкнутых консервативных систем. Под замкнутой мы понимаем систему, в которой отсутствуют любые внешние силы, тогда как консервативность означает, что все силы взаимодействия в системе консервативны и могут быть выражены через потенциальную энергию. Согласно этому закону, сумма кинетической и потенциальной энергий всех тел в любой замкнутой системе остается постоянной, независимо от типа взаимодействий и столкновений, происходящих между телами в системе. На расстоянии RЗ + h от центра Земли ускорение свободного падения дается выражением g g RЗ2 R З h 2 Приравнивая друг другу g’ и g v 2 RЗ h Откуда g 2 RЗ . v 2 , получаем RЗ h RЗ h 2 , RЗ RЗ v gRЗ vc . RЗ h RЗ h Мы видим, что в этом случае скороcть меньше первой космической. Если космический корабль находится на удаленной круговой орбите, то для перехода на более низкую орбиту нужно включить ракетные двигатели, направив навстречу движению корабля (т.е. создать силу тяги, тормозящую движение). За время работы тормозных двигателей космический корабль будет постепенно терять скорость, медленно «падая» по направлению к Земле. Заметим, что если бы подобные тормозные двигатели были установлены на автомобиле, то они замедлили бы его движение, в то время как скорость космического корабля вопреки здравому смыслу должна возрастать при уменьшении высоты h. 4.7. Вторая космическая скорость Пусть снарядом, масса которого m, произведен выстрел вертикально вверх со скоростью v1. На какую высоту поднимется снаряд и сможет ли он покинуть Землю и уйти к r = ? Пусть на максимальной высоте расстояние снаряда до центра Земли равно r2; при этом его скорость v2 и кинетическая энергия обратится в нуль, т.е. K2 = 0. Но в любой момент времени сумма K + U должна оставаться постоянной. Таким образом, можно 2 записать mv 2 mv1 1 1. 2 U 1 0 U 2 2. 2 U 2 U 1 Здесь U – потенциальная энергия снаряда в поле силы тяжести Земли. Используя выражение для U, получим (1/2)mv12 = mgRЗ2[(1/RЗ) – (1/r2)]. Отсюда находим максимальное расстояние, на которое улетит снаряд от центра Земли (2 = 0): 1 r2 2 R З 2 gRЗ 2 v1 1 (RЗ – радиус Земли). Из последней формулы следует, что если скорость 1 достаточно велика, то r2 может стать бесконечным. Минимальная скорость, при которой тело массой m достигает бесконечности, называется второй космической скоростью 0. Полагая r2 = , находим v02/2 = gRЗ2(1/RЗ 0), v0 2 gRЗ (вторая космическая скорость). Величина – первая космическая скорость, необходимая для выхода тела на низкую круговую орбиту. Видно, что v0 в раз превышает vс. Поскольку vс = 8 км/с, вторая космическая скорость v0 = 11,2 км/с. вычисляя ее, совсем не учитывали гравитационное поле Солнца. Найдем вторую космическую скорость, необходимую для ухода тела из Солнечной системы с орбиты Земли R0 = 155 млн км от Солнца (расстояние между Землей и Солнцем). Скорость, с которой спутник движется вокруг Солнца на расстоянии R0 от него, равна vс = 2R0/T0. Земля также является одним из спутников Солнца, причем T0 = 1 год = 3,15107 с. Таким образом, 2 155 10 vс км/с 30 км/с 7 3,15 10 6 Вторая космическая скорость должна быть в раз больше, т.е. 2R0 v0 2 42 км/с T0 Лекция окончена Нажмите клавишу <ESC> для выхода
