Вероятностно-статистический анализ материалов наблюдений

Методические указания и рабочие формулы (3 стр.)
1
Вероятностно-статистический анализ материалов наблюдений (проверка согласия
эмпирического распределения с нормальным)
Исходные данные: результаты измерений
x i ( i = 1,2,.., n)
некоторой случайной величины Х, рассматриваемые как случайная выборка
объема n из генеральной совокупности; n = 120.
1.
План.
Преобразовать исходную выборку в статистический группированный
ряд, построить график эмпирических частот
(многоугольник распределения) и выдвинуть гипотезу о законе распределения генеральной совокупности. Выдвинуть гипотезы
об асимметрии и эксцессе кривой распределения.
2.
Вычислить теоретические (гипотетические) частоты для каждого интервала группированного ряда. Построить график
теоретических частот и вычислить эмпирическое значение критерия согласия Пирсона.
3.
Проверить все выдвинутые гипотезы и дать заключение по результатам анализа.
Методические указания к выполнению задания
1. Преобразование исходной выборки в группированный статистический ряд выполняется в следующем порядке:
R  xmax  xmin , где
а). Определить размах выборки
б). Вычислить длину интервала (группы)
в). Рассчитать границы интервалов
xmax - максимальный,
xmin
а
- минимальный элементы выборки;
C R k где k - принятое число интервалов. Принять k = 10.
yi :
yi1  yi  C ,
где i = 1,2,…,k;
y1  xmin
,
yk  1  xmax .
Номера интервалов и данные расчета их границ занести в Таблицу 1 (графы 1 и 2).
Вычисление эмпирических характеристик
№№
интер.
Границы
интерв.
i
yi
1
2
Таблица 1
Фиксация
частот в
интервалах
ni
i
ni  i
3
4
5
6
7
8
9
10
n1
1
n2
2
...
...
...
...
...
...
...
nk
k



ni ( i  x ) ni ( i  x )2 ni ( i  x )3
i  x
y1  xmin
1
y2
2
y3
...
...
...
yk
10

yk 1  xmax


г). Для определения эмпирических частот ni ( i=1,2,..,k ) попадания значений x i (i = 1,2,..,n) случайной величины X в
намеченные интервалы выполнить их фиксацию в интервалах следующим образом: произвести последовательный просмотр всех
элементов исходной выборки  от первого до последнего  и, ориентируясь на границы интервалов, одновременно с просмотром
заносить отметку (например, вертикальную черту или точку) в подходящий интервал, т.е. в тот интервал, в который по своему
значению попадает данный элемент:
y x y
i
j
i 1
Все отметки заносить последовательно в графу 3 Таблицы 1.
( j = 1,2,..,n ; i = 1,2,..,k ).
,
По завершении фиксации, подсчитав количество отметок в каждом интервале, получим эмпирические частоты
случайной величины X в намеченные интервалы (графа 4 Таблицы 1), при этом
k
n
i 1
В графе 5 Таблицы 1 зафиксируем середины интервалов
i 
i
 n.
yi  yi 1
2
( i = 1,2,..,k).
ni
попадания
Методические указания и рабочие формулы (3 стр.)
2
Данные графы 5 и графы 4 составляют статистический группированный ряд, в который преобразована исходная выборка.
д). По данным статистического группированного ряда построить график эмпирических частот (многоугольник распределения), для
чего в прямоугольной системе координат отметить точки с координатами
( i ,ni )
и соединить их последовательно отрезками
прямой линии.
е). По внешнему виду графика эмпирических частот выдвинуть нулевую гипотезу Н0 о законе распределения генеральной
совокупности, например:
Н0 = { Распределение нормальное } .
2. По данным статистического группированного ряда вычислить:
а) статистическую оценку x математического ожидания случайной величины  среднее арифметическое:
x
б) статистическую оценку
~x
1 k
 n
n i 1 i i
i
;
среднего квадратического отклонения :
k
2
 n (  x )
i
i
  i 1
x
n 1
в) статистические оценки
3
и
4
;
центральных моментов третьего и четвертого порядков соответственно:
1 k
3
 n (  x ) ,
3 ni 1 i i
1 k
   n (   x )4 ;
4 ni 1 i i
 
г) оценку
A
асимметрии кривой распределения
A

3
 3
x
и выдвинуть нулевую гипотезу Н0 об асимметрии кривой распределения:
H 0   A  0 ;
д) оценку
E
эксцесса кривой распределения
E
и выдвинуть нулевую гипотезу Н0 об эксцессе:

4 3
4

x
H 0   E  0
Вспомогательные вычисления поместить в графы 6 - 10 Таблицы 1.
3.
отклонение) теоретического
ni
теоретических частот
ni  pi  n
где
MX
На основе метода моментов, т.е. полагая параметры
( математическое ожидание) и
распределения, равными их статистическим оценкам ( M X
x
и
x
(среднее квадратическое
 x  ~x ),
выполнить расчет
( i = 1,2,..,k ) попадания случайной величины во все намеченные интервалы по формуле
,
pi  P( yi  X  yi 1 )  F( ti 1  F( ti )
ti 
yi  x
x
- вероятность попадания случайной величины Х в i-й интервал;
ti 1 
;
yi 1  x
x
-нормированные центрированные значения границ интервалов ( i =1,2,..,k );
F ( t ) - функция нормального распределения (в таблицах)
F( t ) 
t2
t 
 e 2 dt .
2 
1
Вычисления поместить в графы 1 - 6 Таблицы 2 .
Построить график теоретических частот, совместив его с графиком эмпирических частот. Вычислить в графе 9 Таблицы 2 слагаемые
2
эмпирического значения критерия согласия Пирсона (критерия  ):
Методические указания и рабочие формулы (3 стр.)
3
2
k ( ni  ni )
2
  
э i 1
n
i
,
необходимого для проверки гипотезы о распределении
Проверку выдвинутых гипотез осуществить на уровне значимости q = 0.05 (5%) сравнением эмпирического значения
tÝ -
tТ .
2
2
2
2
Для проверки гипотезы о распределении t   , а t   , где 
выбирается из таблиц распределения  по
э
э
Т
Т
Т
уровню значимости q и числу степеней свободы  = k - S; S– число связей, накладываемых на расчет теоретического распределения.
При проверке гипотезы о нормальном распределении S = 3 .
критерия проверки (или теста) - с допустимым в рамках нулевой гипотезы критическим его значением
Вычисление теоретических характеристик
№№
интервалов
i
1
Границы
интервалов
yj
tj
Pi
ni
5
6
P1
n1
n1
P2
n2
...
Pk
2
73
4
t1
F ( t1 )
1
t2
y3
t3
F ( t3 )
...
...
...
yk
tk
F ( tk )
k
yk  1  xmax t k 1
ni  ni
( ni  ni )2
ni
8
9
n1  n1
( n1  n1 )2
n1
n2
n2  n2
( n2  n2 )2
n2
...
...
...
...
nk
nk
nk  nk
( nk  nk )2
nk
F ( t2 )
2
...
ni
F( t j )
y1  x min
y2
Таблица 2
F ( tk  1 )
k

 э2 

При проверке гипотезы об асимметрии критерий проверки
t э   A ,
а
t э = 3 A ,
i 1
где

A
( ni  ni )2
ni

6
n
24
n
 оценка среднего
- оценка среднего
квадратического отклонения асимметрии.
При проверке гипотезы об эксцессе критерий проверки
t э   E ,
а
tТ  3 E , где 
E

квадратического отклонения эксцесса.
Результаты проверки гипотез занести в cводную таблицу проверки гипотез  Таблицу 3.
Сводная таблица проверки гипотез
Таблица 3
№№
гипотез
Нулевая гипотеза Н0
Условная запись нулевой
гипотезы
1
о распределении
Н0 ={X N( M X
2
об асимметрии
Н0 ={
3
об эксцессе
Н0 ={
 x ,  x  ~x )}
Проверка
гипотез
Заключение по
гипотезе
tЭ
tT
 э2
 T2
A0
}
A
3 6
n
E 0
}
E
3 24
n
Работа завершается общим выводом по результатам анализа.