Лекция 4. Кривые линии.Задание поверхности. Файл

Казанский государственный
энергетический университет
Лекция 6
Кривые линии, их образование и
задание на комплексном чертеже.
Классификация кривых.
Поверхности.
Кривые линии. Основные понятия
Кривая – это множество точек пространства, координаты
которых являются функциями одной переменной. Термин
«кривая» в разных разделах математики определяется по
разному. В геометрическом моделировании кривую рассматривают как:
траекторию, описанную движущейся точкой;
проекцию другой кривой;
линию пересечения двух поверхностей;
как множество точек, обладающих каким-либо общим для
всех их свойством.
Различают следующие способы задания кривой:
аналитический – кривая задана математическим уравнением;
графический – кривая задана визуально на носителе
графической информации;
табличный – кривая задана координатами последовате льного ряда точек.
В основу классификации кривых положена природа их
уравнений. Уравнением кривой линии называется такое соотношение между переменными, которому удовлетворяют
координаты точки, принадлежащей кривой.
Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные в зависимости от вида их уравнения в прямоугольной системе координат.
Алгебраическую кривую линию, которая описывается
уравнением второй степени, называют кривой второго порядка. Примерами таких кривых являются эллипс, окружность, парабола, гипербола.
Простейшими примерами трансцендентных кривых служат
графики функций логарифмической, показательной, тригонометрической, а также все спирали, циклоиды и т. п.
До широкого применения компьютерных технологий для
воспроизведения сложных кривых использовались графический и табличный способы задания. В настоящее время
отдается преимущество аналитическому способу.
Кривые линии. все точки которых принадлежат одной
плоскости, называют плоскими, остальные пространственными.
Изображение кривой на
ортогональном чертеже
На ортогональном чертеже кривые линии задают проекциями.
По чертежу кривой без дополнительных построений можно определить плоская она или пространственная.
Пространственные кривые линии
Пространственные кривые линии в геометрическом моделировании обычно рассматриваются как результат пересечения поверхностей или как траекторию движения точки.
Пространственную, так же как и плоскую, кривую линию
на чертеже задают последовательным рядом точек.
Классическим примером пространственных кривых линий
являются цилиндрическая и коническая винтовые линии.
Цилиндрическую винтовую линию можно рассматривать
как траекторию движения точки, равномерно вращающейся вокруг оси и одновременно равномерно перемещающейся в направлении этой оси.
Винтовая линия однозначно определяется своей осью i,
шагом P и радиусом R.
Шаг винтовой линии (Р) – величина перемещения точки
в направлении оси, соответствующая одному полному обороту вокруг оси.
Для построения проекций винтовой линии а задаем
цилиндрическую поверхность вращения с осью i, радиусом
винтовой линии - R. Откладываем на оси i отрезок равный
шагу P.
Горизонтальная проекция цилиндрической поверхности есть горизонтальная проекция а1 данной
винтовой линии.
Для построения фронтальной проекции а2 делим проекцию а1 на
равное число частей, например на
8 частей.
Фронтальные проекции точек винтовой линии находятся как точки
пересечения одноименных горизонтальных и вертикальных прямых проведенных через точки деления.
Угол a, составленный касательной t к винтовой линии с
плоскостью перпендикулярной оси i, постоянен для любой
ее точки и называется углом подъема винтовой линии.
Винтовая линия может быть правой или левой. Она называется правой, если наблюдатель смотрит вдоль оси винтовой линии и видит ее при подъеме закручивающейся против
часовой стрелки. На чертеже показана левая винтовая
линия.
В технике используются винтовые линии принадлежащие
коническим поверхностям, реже – некоторым поверхностям
вращения.
Поверхности. Способы образования и
задания поверхности
Поверхность, одно из основных геометрических понятий.
Поверхности составляют широкое многообразие объектов
трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с конструированием, расчетом и, изготовлением различных поверхностей. Способы
формообразования и отображения поверхностей составляют
основу инструментальной базы трехмерного моделирования
современных графических систем.
Наиболее широкое применение в инженерной практике
получил кинематический способ образования поверхностей.
Поверхности, получаемые этим способом, называют кинематическими. Кинематический способ основан на непрерывном перемещении линии в пространстве по определенному
закону.
Кинематической поверхностью называется поверхность,
которая образуется непрерывным перемещением в пространстве линии по определенному закону.
В процессе образования кинематической поверхности линия может оставаться неизменной или менять свою форму изгибаться или деформироваться. Подвижную линию принято называть образующей, неподвижные - направляющими.
По виду образующей различают поверхности линейчатые и
нелинейчатые, образующая первых – прямая линия, вторых – кривая.
Значительный класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса.
Это так называемые циклические поверхности.
По закону движения образующей линии и производящей
поверхности, большинство встречающихся в технике
поверхностей можно разделить на:
поверхности вращения;
винтовые поверхности;
поверхности с плоскостью параллелизма;
поверхности параллельного переноса.
Особое место занимают нелинейные поверхности, образование которых не подчинено ни какому закону.
Оптимальная форма таких поверхностей определяется
теми физическими условиями, в которых они работают, например, поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов
морских судов и самолетов и некоторые др.
Для графического изображения поверхности на чертеже
используется её каркас - множество линий, заполняющих
поверхность таким образом, что через каждую точку по верхности проходит в общем случае одна линия этого множества.
Поверхность может быть задана конечным множеством точек, которое принято называть точечным каркасом.
Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задающих
поверхность в пространстве и на чертеже.
Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую.
Геометрическая часть определителя представляет собой
набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не входить в состав поверхности.
Вторая часть – алгоритмическая или описательная содер–
жит перечень операций, позволяющих реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу.
Поверхности вращения
Поверхности вращения – это поверхности созданные при
вращении образующей m вокруг оси i.
Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i.
Алгоритмическая часть включает две операции:
1. на образующей m выделяют ряд точек A, B, C, …F,
2. каждую точку вращают вокруг оси i.
Поверхности вращения
Поверхности вращения – это поверхности созданные при
вращении образующей m вокруг оси i.
Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i.
Алгоритмическая часть включает две операции:
1. на образующей m выделяют ряд точек A, B, C, …F,
2. каждую точку вращают вокруг оси i.
Так создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно оси i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.
Наиболее распространенными примерами линейчатых
поверхностей являются цилиндрическая и коническая поверхности.
коническая поверхность (конус) – образуется при движении прямой, которые пересекаются в собственной точке S,
называемой вершиной, и пересекают направляющую m.
цилиндрическая поверхность (цилиндр) - прямолинейная
образующая при движении пересекает направляющую m и
остается параллельной сама себе и указанному направлению S, стремящемуся к бесконечности. Цилиндрическая
поверхность является частным случаем конической, когда
вершина S удалена в бесконечность.
Наиболее распространенными поверхностями вращения с
криволинейными образующими являются:
сфера – образуется вращением окружности вокруг её диаметра;
тор – образуется при вращении окружности вокруг оси, не
проходящей через центр окружности;
 параболоид
вращения – образуется при вращении параболы вокруг своей оси;
гиперболоид вращения – различают одно и двух полостной гиперболоиды вращения. Первый получается при вращении вокруг мнимой оси, а второй – вращением гиперболы вокруг действительной оси.
параллельного переноса - поверхность, образованная поступательным плоскопараллельным перемещением образующей - плоской кривой линии m по криволинейной направляющей n.
Позиционные задачи.
Определение точек и линий на поверхности
На чертеже изображаются линии и точки, определяющие
данную поверхность и линии очерка проекции. Очерковые
линии являются на чертеже границами поверхности и
разделяют поверхность на видимую и невидимую части.