Роговой А.А. Пермь, Россия О ПОСТРОЕНИИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ

О ПОСТРОЕНИИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ
УПРУГО-НЕУПРУГИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Роговой А.А.
Пермь, Россия
Кинематические соотношения
В работах [1-5] развивается подход к построению определяющих уравнений сложных сред при конечных упруго-неупругих деформациях, последовательное, хотя и в определенной степени реферативное, изложение которого приведено в [6]. Кинематика процесса в этих работах описывается соотношением, отражающим реальную историю процесса упруго-неупругого деформирования:
F  f  F* .
(1)
Здесь F, f и F* - упруго-неупругие градиенты места, переводящие, соответственно, начальную конфигурацию в
текущую, промежуточную конфигурацию, близкую к текущей, в актуальную и начальную в промежуточную.
Причем, в силу близости промежуточной и текущей конфигураций, f  f E  f IN  f IN  f E , где f E и f IN - упругий и
неупругий градиенты места (см. рис.). В работе [3] из кинематики (1) выделена чисто упругая FE и неупругая FIN
кинематика
FE  [g   (eE  d E )]  FE ,
FIN  [g   FE1  (eIN  d IN )  FE ]  FIN  ,
(2)
Рисунок. Кинематика процесса
и соответствующее ей напряженное состояние
где g - единичный тензор, e E и d E - малые упругие деформации и повороты, а e IN и d IN - малые неупругие
деформации и повороты относительно промежуточной конфигурации 1 ,  - малый положительный параметр, характеризующий близость промежуточной и текущей конфигураций, и соотношение (1) представлено в виде
F  FE  FIN  [g   (eE  eIN  d E  d IN )]  F* ,
F  FE  FIN  ,
(3)
совпадающем по форме с известным разложением Ли, но свободном от недостатков последнего. В частности, из этого представления следует, что полная деформация скорости
перемещений D есть сумма деформаций скоростей упругих D E и неупругих DIN перемещений (в данном случае скорость деформации совпадает с деформацией скорости),
упругий градиент места FE не меняется при чисто неупругом изменении конфигурации, а
неупругий – при чисто упругом ее изменении [3]. В соответствии с соотношением (3), меT
ра деформаций Коши-Грина C  FT  F записывается в виде C  FIN
 CE  FIN ,
(CE  FET  FE ). С учетом (2) эту меру можно представить как
C  C  2  FT  (eE  eIN )  F ,
где F  FE  FIN , C  FT  F , или как
(4)
C  C  2  FT  e E  F ,
(5)
где F  FE  FIN , C  FT  F . Здесь величины с индексом «  » соответствуют конфигурации 1 , величины с индексом « » - конфигурации  2 (см. рис.) в один и тот же момент
времени t . В соответствии с этими соотношениями при стремлении промежуточной конфигурации 1 к текущей (F  F, C  C) и промежуточной упругой конфигурации  2 к
текущей (F  F, C  C) предельным переходом можно получить два приращения и две
скорости изменения меры деформаций C [4]:
(dC)1  2 FT  (de E  de IN )  F,
(C)1  2 FT  (e E  e IN )  F  2 FT  (D E  D IN )  F
относительно конфигурации 1 и
(dC) 2  2 FT  de E  F,
(C) 2  2 FT  e E  F  2 FT  D E  F
(6)
относительно конфигурации  2 . Поэтому тензор, определяемый соотношением (4), будем
обозначать C1 , а тензор, определяемый соотношением (5) - C 2 .
Для того чтобы учесть влияние температуры, кинематику термо-упруго-неупругого
процесса представим, аналогично (1), в виде F  f E  f IN  f  F* , где f  - градиент места,
соответствующий малым температурным деформациям, F* - термо-упруго-неупругий
градиент места, переводящий начальную конфигурацию в промежуточную. При этом все
градиенты места, определяемые малыми деформациями, коммутируют между собой. В результате имеем разложение [4]
F  FE  FIN  F  [g   (h E  h IN  h )]  F* ,
F  FE  FIN   F .
(7)
Здесь FE и FIN определяются соотношениями (2), h  - градиент температурных перемещений относительно конфигурации F* ,
1
1
F  [g   FIN
  FE  h  FE  FIN  ]  F .
(8)
(Заметим, что в соотношениях (7), (8) индексы IN и  можно поменять местами). В результате полные малые деформации и повороты определяются выражениями
e  e E  e IN  e , d  d E  d IN  d , где e и d  симметричная и кососимметричная части
h  . Приращение и скорость изменения меры деформаций Коши-Грина относительно
промежуточной конфигурации  2 определяется соотношениями (6), в которых полный
градиент места F дается выражением (7).
В работе [4] показано, основываясь на термодинамике и принципе объективности,
что неупругий и температурный градиенты места должны быть чистыми деформациями
без вращений. Этим определяется связь между малыми неупругими деформациями e IN ,
для которых известны определяющие соотношения, и малыми неупругими вращениями
d IN , а также между малыми температурными деформациями e , для которых определяющие соотношения тоже известны, и малыми температурными вращениями d  [5].
Термодинамика упруго-неупругого процесса
В термодинамическом неравенстве Клаузиуса-Дюгема из требований принципа
объективности аргументами у свободной энергии  выбраны тензор Ck2 , температура 
и конечное число внутренних параметров  i (i  1,..., m) - объективных скалярных функций, характеризующих изменение внутренней структуры материала в процессе упругонеупругого деформирования. В результате свободная энергия представлена в виде [4]
(Ck2 , i , )  1 (Ck2 , i , )   2 () , где 1  0 , если Ck2  0 , и  2  0 , если   0 ,
где  0 - температура приведения в градусах Кельвина. Первому условию удовлетворяет
функционал W1 , введенный в работе [3],
 2W
W1   [ 
 Ck2 d1 ]  Ck2 d ,
2
0 0  CE
t 
(9)
где W - упругий потенциал: W  W (CE ( ),  i (t ), (t )) . Тогда
W1 
t  2W
 W1
 W1
W
 Ck2 
  1   [
 Ck2 d ]  Ck2 
2
 Ck 2
 i

0  CE
t 
  [ (
0 0
3W
3W


)  Ck2 d1 ]  Ck2 d
i
  i  C2E
  C2E
.
В результате 0 1  W1 и   W1 / 0   2 () , где  0 - плотность массы в начальной
конфигурации, и неравенство Клаузиуса-Дюгема принимает вид:
(T  2 J 1F 
 W1 T
 F )  e E  T  e IN  T  e 
 Ck 2
 J 1
 W1
1  W1   2
 i  J 1 0 (

 s )   q ln   0
 i
0    
( T - тензор истинных напряжений, J - якобиан, определяющий относительное изменение
объема, e E , e IN и e - скорости изменения упругих, неупругих и температурных деформаций, s - энтропия и q - тепловой поток). Построив локальное продолжение процесса и
связав e с изменением температуры простейшим законом линейного температурного
расширения, получаем
T  J 1 F  PII  FT ,
 2W
 Ck2 d ,
2
0  CE
t
PII  2
(10)
где PII - симметричный тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа,
sJ

1  W1   2
I1 (T) 

,
0
0    
T  e IN  J 1
 W1
 i  q ln   0 .
 i
Здесь  - коэффициент линейного температурного расширения, I1 - первый инвариант.
Термодинамическое неравенство выполняется, если положить e IN  1 T, 1  0 , что соответствует дифференциальному закону вязкости, или e IN   2 S,  2  0 , S - девиатор
T,
тензора
что
соответствует
ассоциированному
закону
пластичности,
i  3 (  /   i ), 3  0 , и принять, в частности, уравнение Фурье для теплового потока.
Представим в соотношении (10) интеграл в PII суммой двух интегралов: от 0 до t
и от t до близкого текущего времени t , а температуру (t ) и скалярные структурные параметры  i (t ), которые являются аргументами упругого потенциала W и зависят от времени t , в виде       , i  i    i , где величины, помеченные «звездочкой», соответствуют времени t , а члены с  - их приращениям к моменту времени t. Тогда, с точностью до линейного разложения по  ,
 2W (CE ,     ,  i   i )  2W (CE ,  ,  i )


C2E
C2E
3W (CE , ,  i )
3W (CE ,  ,  i )
 
|    i
|i  i ,
 C2E
 i C2E
и учитывая соотношение (3), приходим, сохраняя только линейные слагаемые по  , к следующему определяющему уравнению
T  [1   I1 (e)] T   h  T   T  hT    (T, )    i (T,  i )   LIV  e E ,
(11)
структура и конкретное выражение для тензора LIV которого приведена в [3], а выражения
для T, и T,  - в [4]. Это соотношение легко приводится к точному эволюционному
i
Tr
T
  T,   i T,  i  LIV  e E с производной Трусделла. Учитывая, что e  e E  e IN  e и
задавая e IN и e своими уравнениями состояния, замыкаем построение определяющего
соотношения (11).
Считая, что теплоемкость при постоянном (нулевом) напряжении cT зависит только от температуры, имеем
 2  cT 0 [ ln

0

 (  0 )]   [ ln
 (  1 )] cT 1 (1 ) d 1.

1
0
В результате соотношение для энтропии записывается в виде


J  1  W1

s

 cT 0 ln 0   ln
cT 1 (1 ) d 1.
0 0  
 0 1
(12)
Возвращаясь теперь к первому закону термодинамики, выписываем соотношение
для производства энтропии
 W1
i       ( )
 i
(  - удельная скорость производства тепла внутренними источниками,  - коэффициент
теплопроводности), подставляя в левую часть которого выражение (12), получаем уравнение теплопроводности
  s  T  e IN  J 1
c   QE  QIN       ( ),
где теплоемкость
t
c  J 1 0 cT   [(  ,  2  2 ) I1 (T)   I1 (T, )  J 1  J T,  e E d ],
0
скорость производства тепла упругими деформациями
QE   [T,  2  T   (g  LIV )]  e E
и скорость производства тепла неупругими деформациями и структурными изменениями
в материале
t
QIN  (1   ) T  e IN   i [ J 1  J ((t ) T, i  T,  i )  e E d    I1 (T,  i )].
0
При выводе этих соотношений использовалась зависимость
W1 
t
1t
P

C
d


 II
 J T  e E d ,
k2
20
0
полученная из (9) с учетом (10).
Примеры применения
Развиваемый подход использовался при построении определяющих уравнений для
конечных упругопластических [1], вязкоупругих [2] и термоупругих (с уравнением теплопроводности) [6] деформаций. Полученные соотношения аттестованы на некоторых задачах, имеющих экспериментальное подтверждение.
Литература
1. Р.С. Новокшанов, А.А. Роговой. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных
деформаций. Известия РАН. Механика твердого тела. 2002, № 4, 77-95.
2. Р.С. Новокшанов, А.А. Роговой. Эволюционные определяющие соотношения для конечных вязкоупругих
деформаций. Известия РАН. Механика твердого тела. 2005, № 4, 122-140.
3. А.А. Роговой. Определяющие соотношения для конечных упруго-неупругих деформаций. Прикладная механика и техническая физика. 2005, Т.46, № 5, 138-149.
4. А.А. Роговой. Термодинамика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях. Прикладная механика и техническая физика. 2007, Т.48, № 4, 144 - 153.
5. А.А. Роговой. Кинематика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях. Прикладная механика и техническая физика. 2008, Т.49, № 1, 165 - 172.
6. А.А. Роговой. Кинематика и термодинамика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях.
Всероссийская Школа-семинар «Аэрофизика и физическая механика классических и квантовых систем». Сб.
научн. тр. М.: Институт проблем механики РАН. 2007, 141-148.
Работа выполнена в ведущей научной школе (грант Президента РФ НШ8055.2006.1) по разделам Программы Отделения энергетики, машиностроения, механики
и процессов управления РАН и интеграционной Программы УрО РАН, СО РАН и ДВО
РАН, при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-0100050).