3.6. С-2. Произвольная плоская система сил. Определение реакций связей составной конструкции.

3.6. С-2. Произвольная плоская система сил. Определение реакций
связей составной конструкции.
3.6.1. Задача С2
Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в
точке С или соединены друг с другом шарнирно (рис. С2.0 — С2.5), или
свободно опираются друг о друга (рис. С2.6 — С2.9). Внешними связями,
наложенными на конструкцию, являются в точке А или шарнир, или жесткая
заделка; в точке В или гладкая плоскость (рис. 0 и 1), или невесомый
стержень ВВ' (рис. 2 и 3), или шарнир (рис. 4—9); в Точке D или невесомый
стержень D D ' (рис. 0, 3, 8), или шарнирная опора на катках (рис. 7).
На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом М =
= 60 кН • м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q =
= 20 кН/м и еще две силы. Эти силы, их направления и точки приложения указаны в табл. С2; там же в столбце «Нагруженный
участок» указано, на каком участке действует распределенная нагрузка (например, в условиях № 1 на конструкцию действуют сила F2 под
углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке L, сила F4 под
углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке Е , и нагрузка,
распределенная на участке СК).
Определить реакции связей в точках А, В, C (для рис. 0, 3, 7, 8 еще и
в точке В), вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах
принять а = 0,2 м. Направление распределенной нагрузки на различных по
расположению участках указано в табл. С2а.
Указания. Задача С2 — на равновесие системы тел, находящихся под
действием плоской системы сил. При ее решении можно или рассмотреть
сначала равновесие всей системы в целом, а затем равновесие одного из тел
системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и
рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учтя при этом закон о
равенстве действия и противодействия. В задачах, где имеется жесткая
заделка, учесть, что ее реакция представляется силой, модуль и направление
которой неизвестны, и парой сил, момент которой тоже неизвестен.
Сила
F1
F2
α1
F1=10 кН
Номер
условия
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Точка
приложения
K
L
L
E
H
α3
α2
α1 –
град.
60
15
30
60
30
F3
F4
F2=20 кН
F3=30 кН
Точка
приложения
Точка
приложения
L
K
L
H
K
-
α2 –
град.
60
30
75
60
30
-
Нагруженный
участок
α4
H
K
E
K
L
-
F4=40 кН
α3 –
град.
30
60
60
75
30
-
Точка
приложения
E
H
K
E
L
α4 –
град.
30
60
30
15
60
CL
CK
AE
CL
CK
AE
CL
CK
CL
CK
3.2.1 ЗАДАЧА Д2
Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной
плиты 1 массой
m1 =18 кг, движущейся вдоль горизонтальных
направляющих, и груза D массой m2 =6 кг (рис. Д2.0-Д2.9, табл. Д2). В
момент времени t0 =0, когда скорость плиты U0 =2 м/с, груз под действием
внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты.
На рис 0-3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза
расстояние S=АД изменяется по закону S  f1 (t ) , а на рисунке 4-9 желоб –
окружность радиуса
R=0,8 м и при движении груза угол   AC1 D
изменяется по закону   f 2 (t ) . В таблице Д2 эти зависимости даны отдельно
для рисунков 0 и 1 , для рис. 2 и 3 и.т.д., где S- выражено в метрах, φ- в
радианах, t - в секундах.
Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми
сопротивлениями, определить зависимость U  f (t ) , т.е. скорость плиты как
функцию от времени.
Указания. Задача Д2 на применение теоремы об изменении
количества движения системы. При решении составить уравнение,
выражающее теорему, в проекции на горизонтальную ось.
Таблица Д 2
Рис.0,1
0
  f 2 (t )
S  f1 (t )
Номер
условия
0,8 sin( t )
2
Рис. 2,3
Рис 4,5,6
Рис. 7,8,9
0,4(3t  2)
 (3  2t )
 (2t 2  1)
2
2
3
t
1
1,2 cos(
2
0,6(2t  1)
2
)
0,6 sin(
2
t 2
2
0,8 cos(t )
)
 (1  3t 2 )
 (1  4t 2 )
4
3
 (t 2  3)
 (3  4t 2 )
6
3
4
0,4 sin(
t
2
3
t
0,5 cos( )
6
)
0,5 sin(
t
6
t
1,2 cos( )
3
6
 (2  t )
2
2
)
 (t  1)
2
2
 (1  2t )
 (1  5t 2 )
6
4
2
5
6
7
8
9
0,6 sin(
t 2
)
4
0,8(2  3t 2 )
0,6 cos(
1,2 sin(
t
)
3
t 2
0,8 cos(
6
t
4
)
)
0,5(3  4t 2 )
0,8 sin(
t 2
)
 (5t 2  1)
 (t 2  4)
4
3
 (t 2  2)
t 2
4
 (3t 2  1)
6
3
t
0,4 cos( )
4
2
 (3  t 2 )
3
1,2 sin( t 2 )
t 2
2
 (t 2  2)
6
0,6 cos(
t
6
)
 (t 2  3)
2
 (2  t 2 )
4
3.2.2. Пример решения задачи Д2. В центре тяжести А тележки
массой m1 , движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, укреплен
невесомый стержень АD длиной l с грузом D массой m2 на конце (Рис.
Д2). В момент времени
t0 =0 , когда скорость тележки U=U0 стержень АD начинает вращаться вокруг
оси А по закону    (t ) .
Д а н о : m1 =24 кг, m2 =12 кг, U0 =0,5 м/с, l =0,6 м,  
 (1  2t 3 )
3
рад (t-в
секундах). О п р е д е л и т ь : U  f (t ) -закон изменения скорости тележки.
Решение.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из тележки и груза D, в
произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние
силы: силы тяжести Р1 и Р2 и реакции плоскости N  , N  . Проведем
координатные оси Оху так, чтобы ось х была горизонтальна.
Чтобы определить U, воспользуемся теоремой об изменении
количества движения системы Q в проекции на ось х. Так как все
действующие на систему внешние силы вертикальны (рис. Д2), то  Fkxe  0 и
теорема дает
dQx

dt
F
e
kx
 0 , откуда Q x  C1
(1)
Для рассматриваемой механической системы
Q  QT  Q D
, где Q T  m1U
и Q D  m2VD - количества движения тележки
и груза D соответственно (U- скорость тележки, VD- скорость груза по
отношению к осям Оху).Тогда из равенства (1) следует, что
Q xT  Q xD  C1 или m1U x  m2VDx  C1
(2)
Для определения VDx рассмотрим движение груза D как сложное,
считая его движение по отношению к тележке относительным (это
движение, совершаемое при вращении стержня АD вокруг оси А), а
движение самой тележки – переносным. Тогда
VD  VDпер  VDотн
Но VDпер  U
пер
отн
и VDx  VDx
 VDx
.
(3)
пер
и следовательно, VDx
Ux .
Вектор VDотн направлен перпендикулярно стержню VDотн  l   AD  l   2lt 2 .
Изобразив этот вектор на рисунке Д2 с учетом знака   , найдем , что
отн
VDx
 VDотн cos  . Окончательно из равенства ( 3) получим
VDx  U x  VDотн cos   U x  2lt 2 cos(

3

2 3
t )
3
(4)
( В данной задаче величину VDx можно найти другим путем, определив
абсциссу X D груза D , для которой, как видно из рисунка Д2 , получим
x D  x A  l sin  ;
VDx  x D  x A  l  cos  , где x A  U x , а    2t 2 .)
При найденном значении VDx равенство (2), если учесть , что Ux=U,
примет вид
m1U  m2U  m2 2lt 2 cos(

3

2 3
t )  C1
3
(5)
Постоянную интегрирования С1 определим по начальным условиям:
при t0 =0 U=U0. Подстановка этих значений в уравнение (5) дает
C1  (m1  m2 )U 0 и тогда из ( 5) получим
(m1  m2 )U  2m2 lt 2 cos(

3

2 3
t )  (m1  m2 )U 0
3
Отсюда находим следующую зависимость скорости U от времени:
U  U0 
2lm2 2
 2 3
t cos( 
t ).
m1  m2
3 3
(6)
Подставив сюда значения соответствующих величин, находим
искомую зависимость U от t.

О т в е т: U  0,5  0,4t 2  cos( 
3
2t 3
) м/с.
3