Тела вращения: Сфера и Шар Математический диктант 1. Напишите формулу площади боковой поверхности цилиндра 2. Напишите 2 формулы площади боковой поверхности конуса. 3. Напишите формулу площади полной поверхности конуса 4. Напишите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса. 5. Осевое сечение конуса-правильный треугольник со стороной 10см. Найдите площадь полной повехности конуса. 6. Высота и радиус основания конуса равны 2см. Через две образующие, угол между которыми равен 30°, проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром шара. А данное расстояние радиусом шара. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром. Тело,ограниченное сферой, называется шаром. О Уравнение сферы МС ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 МС R МС 2 R 2 ( х х0 ) ( у у0 ) ( z z0 ) R 2 2 R-радиус сферы С(х0; у0; z0)-центр сферы 2 2 Составьте уравнение сферы радиуса R с центром О, если: О(2; 5; 3), R=2 (х-2)2+(у-5)2+(z-3)2=4 О(-2;-6; 7), R=1 (х+2)2+(у+6)2+(z-7)2=1 О(0; 0; 1), R= 5 х2+у2+(z-1)2=5 ÀÂ ? ÎÌ А В М О Укажите координаты центра и радиус сферы: (х-4)2+(у-8)2+(z-1)2=4 х2+у2+(z+9)2=1 (х+52)2+(у+8)2+z2=3 Взаимное расположение сферы и плоскости М(х;у;z) х2 +у2+(z-d)2=R2 z=0 х2 +у2 =R2 –d2 М 1 случай d<R х2 +у2 =R2 –d2 R2 –d2>0 Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность. Сечение шара плоскостью Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара называется большим кругом. А сечение сферы - большой окружностью. O 2 случай d=R х2 +у2 =R2 –d2 R2 –d2=0 х2 +у2 =0 Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку. 3 случай d>R х2 +у2 =R2 –d2 R2 –d2<0 Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Расстояние от центра шара радиуса 7см до секущей плоскости равно 3см. Найдите площадь сечения. S-? о1 о 7см А Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы, равного 8см так, что угол между диаметром и плоскостью равен 30°. Найдите длину окружности, получившейся в сечении. С-? о1 В о 8см 30° А Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр, равна 36м2.Найдите площадь сферы. о S-? Касательная плоскость к шару Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Теорема. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Теорема. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере. А О Площадь сферы Многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней. За площадь сферы примем предел последовательности площадей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани S 4R 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Математический диктант Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: (х-2)2+(у+3)2+z2=25 Напишите уравнение сферы радиуса R=7 с центром А(2;0;-1) Докажите, что данное уравнение является уравнением сферы: х2+у2+z2+2х-2у=2. Расстояние от центра шара радиуса 10см до секущей плоскости равно 4см. Найдите площадь сечения. Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы, равного 6см так, что угол между диаметром и плоскостью равен 60°. Найдите длину окружности, получившейся в сечении. Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр, равна 36м2.Найдите площадь сферы. Вписанные и описанные многогранники Многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара. Многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются поверхности шара. О О Шар, вписанный в цилиндр, конус Шар, описанный около цилиндра, конуса К задаче №630 O1 А1 B1 C1 А O C B К задаче №630 К В С О N r А L Д Теорема: Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку- точку касания. Дано: Шар с центром в точке О; а- плоскость, касательная к шару; А- точка касания. Доказать: точка касания плоскости с шаром единственная. Доказательство. Возьмем произвольную точку Х плоскости а, отличную то А. Так как ОА- перпендикуляр, а ОХ- наклонная, то ОХ>ОА = R Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана. a Х А О Оглавление Объем шара Введем декартовы координаты, приняв центр шара за начало координат. Плоскость ху пересекает поверхность шара радиуса R по окружности, которая задается уравнением y X2+Y2=R2 0 =>Полуокружность над осью х, задается уравнением -R y f ( x) R 2 x 2 , R x R R Поэтому объем шара определяется по формуле вычисления объема тел вращения: R 3 R x 4 3 V ( R x )dx ( R x ) R 3 _R 3 R 2 2 Объем шара равен: 2 4 3 V R 3 Оглавление x Объем шарового сегмента Шаровым сегментом называется часть шара , отсекаемая от него плоскостью. O Для вычисления объема шарового сектора применяется формула вычисления объема тел вращения : x3 R3 ( R H )3 3 3 2 V ( R x )dx ( R x ) (( R ) (R R H )) 3 3 3 RH RH R R 2 2 2 R3 ( R H )3 R3 R3 H3 3 2 2 2 2 (R R R H ) ( R H R H RH ) 3 3 3 3 3 3R H H 2 ( ) 3 3 Где R – радиус шара, а H – высота соответствующего шарового сегмента. Оглавление Объем шарового сектора Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара , а основание является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара то указанный конус из него удаляется. Для вычисления объема шарового сектора применяется формула: 2 2 V R H 3 O Где R – радиус шара, а H – высота соответствующего шарового сектора. Оглавление Задача Чему равно отношение площади поверхности куба и вписанного в него шара? Решение: 1) Покажем диаметральное сечение шара. O Сторона куба равна двум радиусам шара (a=2R) => Sш 4R 2 Sк 6a 2 6 4 R 2 2) Найдем отношение Sк 6 4 R 2 6 2 Sш 4R Отношение площади поверхности куба к площади поверхности 6 вписанного в него шара равно R О Оглавление